Կոորդինատային առանցքի վրա հատվածի երկարությունը հայտնաբերվում է բանաձևով.

Հատվածի երկարությունը կոորդինատային հարթությունորոնված բանաձևով.

Եռաչափ կոորդինատային համակարգում հատվածի երկարությունը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

Հատվածի միջին մասի կոորդինատները (կոորդինատային առանցքի համար օգտագործվում է միայն առաջին բանաձևը, կոորդինատային հարթության համար՝ առաջին երկու բանաձևերը, եռաչափ կոորդինատային համակարգի համար՝ բոլոր երեք բանաձևերը) հաշվարկվում են բանաձևերով.

Գործառույթձևի համապատասխանություն է y= զ(x) փոփոխականների միջև, որոնց շնորհիվ յուրաքանչյուրը որոշի արժեք է համարում փոփոխական x(փաստարկ կամ անկախ փոփոխական) համապատասխանում է մեկ այլ փոփոխականի որոշակի արժեքին, y(կախյալ փոփոխական, երբեմն այս արժեքը պարզապես կոչվում է ֆունկցիայի արժեք): Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիան ենթադրում է արգումենտի մեկ արժեքը Xկախված փոփոխականի միայն մեկ արժեք կարող է լինել ժամը. Այնուամենայնիվ, նույն արժեքը ժամըկարելի է ձեռք բերել տարբեր X.

Գործառույթի շրջանակըանկախ փոփոխականի բոլոր արժեքներն են (գործառույթի փաստարկը, սովորաբար X) որի համար սահմանված է ֆունկցիան, այսինքն. դրա իմաստը գոյություն ունի. Նշված է սահմանման տիրույթը Դ(y) Մեծ հաշվով, դուք արդեն ծանոթ եք այս հայեցակարգին։ Ֆունկցիայի շրջանակը այլ կերպ կոչվում է վավեր արժեքների տիրույթ կամ ODZ, որը դուք կարողացել եք գտնել երկար ժամանակ:

Ֆունկցիոնալ տիրույթայս ֆունկցիայի կախյալ փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքներն են: Նշվում է Ե(ժամը).

Ֆունկցիան բարձրանում էայն միջակայքի վրա, որի վրա արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին: Գործառույթի նվազումայն միջակայքի վրա, որի վրա արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի փոքր արժեքին:

Գործառույթների միջակայքերըանկախ փոփոխականի այն ընդմիջումներն են, որոնց դեպքում կախված փոփոխականը պահպանում է իր դրական կամ բացասական նշանը:

Գործառույթների զրոներարգումենտի այն արժեքներն են, որոնց համար ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի: Այս կետերում ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է աբսցիսային առանցքը (OX առանցքը): Շատ հաճախ ֆունկցիայի զրոները գտնելու անհրաժեշտությունը նշանակում է պարզապես լուծել հավասարումը։ Նաև հաճախ մշտական ​​նշանի միջակայքերը գտնելու անհրաժեշտությունը նշանակում է անհավասարությունը պարզապես լուծելու անհրաժեշտություն:

Գործառույթ y = զ(x) կոչվում են նույնիսկ X

Սա նշանակում է, որ փաստարկի ցանկացած հակադիր արժեքի դեպքում զույգ ֆունկցիայի արժեքները հավասար են: Ժամանակացույց նույնիսկ գործառույթմիշտ սիմետրիկ y-ի y առանցքի նկատմամբ:

Գործառույթ y = զ(x) կոչվում են տարօրինակ, եթե այն սահմանված է սիմետրիկ բազմության վրա և ցանկացածի համար Xսահմանման տիրույթից հավասարությունը կատարվում է.

Սա նշանակում է, որ փաստարկի ցանկացած հակադիր արժեքի դեպքում կենտ ֆունկցիայի արժեքները նույնպես հակադիր են: Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը միշտ սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Զույգ և-ի արմատների գումարը տարօրինակ հատկանիշներ(x առանցքի OX-ի հատման կետերը) միշտ զրո է, քանի որ յուրաքանչյուր դրական արմատի համար Xհաշվի համար բացասական արմատ –X.

Կարևոր է նշել, որ որոշ ֆունկցիաներ պարտադիր չէ, որ լինեն զույգ կամ կենտ: Կան բազմաթիվ գործառույթներ, որոնք ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ: Նման գործառույթները կոչվում են գործառույթները ընդհանուր տեսարան , և վերը նշված հավասարություններից կամ հատկություններից ոչ մեկը չի համապատասխանում նրանց:

Գծային ֆունկցիակոչվում է ֆունկցիա, որը կարող է տրվել բանաձևով.

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է և ընդհանուր դեպքում այսպիսի տեսք ունի (օրինակ է տրված այն դեպքի համար, երբ. կ> 0, այս դեպքում ֆունկցիան մեծանում է. գործի համար կ < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ (պարաբոլա)

Պարաբոլայի գրաֆիկը տրվում է քառակուսի ֆունկցիայով.

Քառակուսային ֆունկցիան, ինչպես ցանկացած այլ ֆունկցիա, հատում է OX առանցքը այն կետերում, որոնք նրա արմատներն են. x 1 ; 0) և ( x 2; 0): Եթե ​​արմատներ չկան, ապա քառակուսի ֆունկցիան չի հատում OX առանցքը, եթե կա մեկ արմատ, ապա այս կետում ( x 0; 0) քառակուսի ֆունկցիան դիպչում է միայն OX առանցքին, բայց չի հատում այն: Քառակուսային ֆունկցիան միշտ հատում է OY առանցքը կոորդինատներով մի կետում՝ (0; գ) Քառակուսային ֆունկցիայի (պարաբոլա) գրաֆիկը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ (նկարը ցույց է տալիս օրինակներ, որոնք հեռու են պարաբոլների բոլոր հնարավոր տեսակներից).

Որտեղ:

• եթե գործակիցը ա> 0, ֆունկցիայի մեջ y = կացին 2 + bx + գ, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
• եթե ա < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները կարող են հաշվարկվել հետևյալ բանաձևերի միջոցով. X գագաթներ (էջ- վերևի նկարներում պարաբոլայի (կամ այն ​​կետի, որտեղ քառակուսի եռանկյունը հասնում է իր առավելագույն կամ նվազագույն արժեքին).

Y գագաթներ (ք- վերևի նկարներում) պարաբոլայի կամ առավելագույնը, եթե պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև ( ա < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ա> 0), արժեքը քառակուսի եռանկյուն:

Այլ գործառույթների գրաֆիկներ

հզորության գործառույթ

Ահա ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների մի քանի օրինակներ.

Հակադարձ համեմատական ​​կախվածությունկանչել բանաձևով տրված ֆունկցիան.

Կախված թվի նշանից կՀակադարձ համեմատական ​​գրաֆիկը կարող է ունենալ երկու հիմնական տարբերակ.

Ասիմպտոտայն ուղիղն է, որին ֆունկցիայի գրաֆիկի տողը մոտենում է անսահմանորեն մոտ, բայց չի հատվում։ Ասիմպտոտներ գրաֆիկների համար հակադարձ համեմատականությունվերևի նկարում ներկայացված են կոորդինատային առանցքները, որոնց ֆունկցիայի գրաֆիկը մոտենում է անսահմանորեն, բայց չի հատում դրանք:

էքսպոնենցիալ ֆունկցիահիմքով Ականչել բանաձևով տրված ֆունկցիան.

աժամանակացույցը էքսպոնենցիալ ֆունկցիակարող է ունենալ երկու հիմնարար տարբերակ (մենք կտանք նաև օրինակներ, տես ստորև).

լոգարիթմական ֆունկցիականչել բանաձևով տրված ֆունկցիան.

Կախված նրանից, թե թիվը մեկից մեծ է, թե փոքր աԼոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը կարող է ունենալ երկու հիմնական տարբերակ.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y = |x| Ինչպես նշված է հետեւյալում:

Պարբերական (եռանկյունաչափական) ֆունկցիաների գրաֆիկներ

Գործառույթ ժամը = զ(x) կոչվում է պարբերական, եթե կա այդպիսի ոչ զրոյական թիվ Տ, Ինչ զ(x + Տ) = զ(x), ցանկացածի համար Xգործառույթի շրջանակից դուրս զ(x) Եթե ​​ֆունկցիան զ(x) պարբերական է ժամանակաշրջանով Տ, ապա ֆունկցիան.

Որտեղ: Ա, կ, բհաստատուն թվեր են, և կհավասար չէ զրոյի, նաև պարբերական կետով Տ 1, որը որոշվում է բանաձևով.

Պարբերական ֆունկցիաների օրինակների մեծ մասը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ են: Ահա հիմնականի գրաֆիկները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկի մի մասը y= մեղք x(ամբողջ գրաֆիկը շարունակվում է անորոշ ձախ և աջ), ֆունկցիայի գրաֆիկը y= մեղք xկանչեց սինուսոիդ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y= cos xկանչեց կոսինուսային ալիք. Այս գրաֆիկը ներկայացված է հետևյալ նկարում. Քանի որ սինուսի գրաֆիկը, այն շարունակվում է անորոշ ժամանակով OX առանցքի երկայնքով դեպի ձախ և աջ.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=tg xկանչեց տանգենոիդ. Այս գրաֆիկը ներկայացված է հետևյալ նկարում. Ինչպես մյուս պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկները, այս գրաֆիկը կրկնվում է անորոշ ժամանակով OX առանցքի երկայնքով դեպի ձախ և աջ:

Եվ վերջապես ֆունկցիայի գրաֆիկը y=ctg xկանչեց կոտանգենտոիդ. Այս գրաֆիկը ներկայացված է հետևյալ նկարում. Ինչպես մյուս պարբերական և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները, այս գրաֆիկը կրկնվում է անորոշ ժամանակով OX առանցքի երկայնքով դեպի ձախ և աջ:

Սովորեք ֆիզիկայի բոլոր բանաձեւերն ու օրենքները, իսկ մաթեմատիկայի բանաձեւերն ու մեթոդները: Իրականում դա անելը նույնպես շատ պարզ է, ֆիզիկայում կա ընդամենը մոտ 200 անհրաժեշտ բանաձև, իսկ մաթեմատիկայում նույնիսկ մի փոքր ավելի քիչ: Այս առարկաներից յուրաքանչյուրում առկա են բարդության հիմնական մակարդակի խնդիրների լուծման մոտ մեկ տասնյակ ստանդարտ մեթոդներ, որոնք նույնպես կարելի է սովորել և, այդպիսով, ամբողջովին ինքնաբերաբար և առանց դժվարության լուծել թվային վերափոխման մեծ մասը ճիշտ ժամանակին: Դրանից հետո ձեզ մնում է միայն մտածել ամենադժվար գործերի մասին։

Մասնակցեք ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի փորձարկման բոլոր երեք փուլերին: Յուրաքանչյուր RT կարելի է երկու անգամ այցելել երկու տարբերակները լուծելու համար: Կրկին CT-ի վրա, բացի խնդիրներ արագ և արդյունավետ լուծելու կարողությունից և բանաձևերի և մեթոդների իմացությունից, անհրաժեշտ է նաև կարողանալ ճիշտ պլանավորել ժամանակը, բաշխել ուժերը և ամենակարևորը ճիշտ լրացնել պատասխանի ձևը. , առանց շփոթելու ո՛չ պատասխանների ու առաջադրանքների թվերը, ո՛չ էլ ձեր սեփական անունը։ Բացի այդ, RT-ի ժամանակ կարևոր է ընտելանալ առաջադրանքներում հարցեր տալու ոճին, որը կարող է շատ անսովոր թվալ DT-ում անպատրաստ անձի համար:

Այս երեք կետերի հաջող, ջանասիրաբար և պատասխանատու իրականացումը թույլ կտա Ձեզ ցույց տալ գերազանց արդյունք CT-ի վրա՝ առավելագույնը, ինչի ընդունակ եք:

Սխա՞լ եք գտել:

Եթե ​​կարծում եք, որ սխալ եք գտել ուսումնական նյութեր, ապա գրեք, խնդրում եմ, այդ մասին փոստով։ Կարող եք նաև հայտնել սխալի մասին սոցիալական ցանց(). Նամակում նշեք թեման (ֆիզիկա կամ մաթեմատիկա), թեմայի կամ թեստի անվանումը կամ համարը, առաջադրանքի համարը կամ տեքստի (էջի) այն տեղը, որտեղ, ըստ Ձեզ, սխալ կա։ Նաև նկարագրեք, թե որն է ենթադրյալ սխալը: Ձեր նամակն աննկատ չի մնա, սխալը կա՛մ կուղղվի, կա՛մ ձեզ կբացատրեն, թե ինչու դա սխալ չէ։

Տարրական ֆունկցիաները և դրանց գրաֆիկները

Ուղիղ համաչափություն։ Գծային ֆունկցիա.

Հակադարձ համամասնություն. Հիպերբոլա.

քառակուսի ֆունկցիա. Քառակուսի պարաբոլա.

Հզորության գործառույթ: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

լոգարիթմական ֆունկցիա. եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

1.	համամասնական արժեքներ. Եթե ​​փոփոխականներ yԵվ x ուղղակիորեն համամասնական, ապա նրանց միջև ֆունկցիոնալ կախվածությունն արտահայտվում է հավասարմամբ. y = կ x , Որտեղ կ- հաստատուն արժեք ( համաչափության գործոն). Ժամանակացույց ուղիղ համաչափություն- ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է ծագման միջով և ձևավորվում առանցքի հետ Xանկյուն, որի շոշափողն է կ:tan= կ(նկ. 8): Հետեւաբար, կոչվում է նաեւ համաչափության գործակից թեքության գործոնը. Նկար 8-ում ներկայացված են երեք գծապատկերներ կ = 1/3, կ= 1 և կ = 3 .
2.	Գծային ֆունկցիա. Եթե ​​փոփոխականներ yԵվ xկապված է 1-ին աստիճանի հավասարմամբ. Կացին + Ըստ = Գ , որտեղ թվերից առնվազն մեկը Ակամ Բհավասար չէ զրոյի, ապա այս ֆունկցիոնալ կախվածության գրաֆիկն է ուղիղ գիծ. Եթե Գ= 0, ապա այն անցնում է ծագման միջով, հակառակ դեպքում՝ ոչ։ Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկներ տարբեր համակցությունների համար Ա,Բ,Գներկայացված են Նկ.9-ում:
3.	Հակադարձ համաչափություն։ Եթե ​​փոփոխականներ yԵվ x ետ համամասնական, ապա նրանց միջև ֆունկցիոնալ կախվածությունն արտահայտվում է հավասարմամբ. y = կ / x , Որտեղ կ- հաստատուն արժեք. Հակադարձ համամասնական սյուժեն - հիպերբոլա (նկ. 10): Այս կորը երկու ճյուղ ունի. Հիպերբոլաները ստացվում են, երբ շրջանաձև կոնը հատվում է հարթությամբ (կոնային հատվածների համար տե՛ս «Կոն» բաժինը «Ստերեոմետրիա» գլխում): Ինչպես ցույց է տրված Նկար 10-ում, հիպերբոլայի կետերի կոորդինատների արտադրյալը հաստատուն արժեք է, մեր օրինակում հավասար է 1-ի: Ընդհանուր դեպքում այս արժեքը հավասար է. կ, որը հետևում է հիպերբոլայի հավասարումից. xy = կ. Հիպերբոլայի հիմնական բնութագրերն ու հատկությունները. Գործառույթի շրջանակը. x 0, միջակայք: y 0 ; Ֆունկցիան միապաղաղ է (նվազող) ժամը x< 0 և ժամը x > 0, բայց չէ միապաղաղ ընդհանուր ընդմիջման կետի պատճառով x= 0 (մտածեք ինչու՞); Անսահմանափակ ֆունկցիա, մի կետում ընդհատվող x= 0, կենտ, ոչ պարբերական; - Ֆունկցիան չունի զրոներ:
4.	Քառակուսային ֆունկցիա. Սա գործառույթն է. y = կացին 2 + bx + գ, Որտեղ ա, բ, գ- մշտական, ա 0. Ամենապարզ դեպքում ունենք. բ=գ= 0 և y = կացին 2. Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը քառակուսի պարաբոլա -ծագման միջով անցնող կորը (նկ. 11): Յուրաքանչյուր պարաբոլա ունի համաչափության առանցք OY, որը կոչվում է պարաբոլայի առանցք. Կետ ՕՊարաբոլայի հատումն իր առանցքի հետ կոչվում է պարաբոլայի գագաթը. Ֆունկցիայի գրաֆիկ y = կացին 2 + bx + գնույնպես քառակուսի պարաբոլա է նույն տիպի, ինչ y = կացին 2, բայց նրա գագաթը գտնվում է ոչ թե սկզբնաղբյուրում, այլ կոորդինատներով կետում. Քառակուսի պարաբոլայի ձևը և գտնվելու վայրը կոորդինատային համակարգում ամբողջովին կախված է երկու պարամետրից՝ գործակիցից. աժամը x 2 և խտրական Դ:Դ = բ 2 – 4ակ. Այս հատկությունները բխում են քառակուսի հավասարման արմատների վերլուծությունից (տես Հանրահաշիվ գլխի համապատասխան բաժինը): Քառակուսի պարաբոլայի բոլոր հնարավոր տարբեր դեպքերը ներկայացված են Նկ.12-ում:

Խնդրում եմ, գործի համար նկարեք քառակուսի պարաբոլա ա > 0, Դ > 0 .

Քառակուսի պարաբոլայի հիմնական բնութագրերն ու հատկությունները.

Գործառույթի շրջանակը.  < x+ (այսինքն. x Ռ ), և տարածքը

արժեքներ: … (Խնդրում եմ ինքներդ պատասխանեք այս հարցին):

Ֆունկցիան որպես ամբողջություն միապաղաղ չէ, այլ գագաթից աջ կամ ձախ

իրեն միապաղաղ է պահում;

Ֆունկցիան անսահմանափակ է, ամենուր շարունակական է, նույնիսկ համար բ = գ = 0,

և ոչ պարբերական;

- ժամը Դ< 0 не имеет нулей. (А что при Դ 0 ?) .

5.	Հզորության գործառույթ: Սա գործառույթն է. y=ax n, Որտեղ ա, ն- մշտական. ժամը n= 1 մենք ստանում ենք ուղիղ համեմատականություն: y=կացին; ժամը n = 2 - քառակուսի պարաբոլա; ժամը n = 1 - հակադարձ համեմատականությունկամ հիպերբոլիա. Այսպիսով, այս ֆունկցիաները ուժային ֆունկցիայի հատուկ դեպքեր են։ Մենք գիտենք, որ զրոյից բացի ցանկացած թվի զրոյական հզորությունը հավասար է 1-ի, հետևաբար, երբ n= 0 հզորության ֆունկցիան դառնում է հաստատուն. y= ա, այսինքն. դրա գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է առանցքին X, բացառելով կոորդինատների ծագումը (բացատրեք ինչու՞)։ Այս բոլոր դեպքերը (հետ ա= 1) ցույց է տրված Նկար 13-ում ( n 0) և նկ.14 ( n < 0). Отрицательные значения xայստեղ չեն դիտարկվում, քանի որ այդ դեպքում որոշ գործառույթներ. Եթե n– ամբողջ, ուժային ֆունկցիաները իմաստ ունեն նույնիսկ այն ժամանակ, երբ x < 0, но их графики имеют տարբեր տեսակիկախված նրանից, թե nզույգ կամ կենտ թիվ. Նկար 15-ը ցույց է տալիս երկու նման ուժային ֆունկցիա՝ համար n= 2 և n = 3. ժամը n= 2 ֆունկցիան զույգ է, և դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ Յ. ժամը n= 3 ֆունկցիան կենտ է, և դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ: Գործառույթ y = x 3 զանգ խորանարդ պարաբոլա. Նկար 16-ը ցույց է տալիս ֆունկցիան: Այս ֆունկցիան քառակուսի պարաբոլայի հակառակն է y = x 2 , նրա գրաֆիկը ստացվում է քառակուսի պարաբոլայի գրաֆիկը 1-ին կոորդինատային անկյան կիսագծի շուրջ պտտելովՍա ցանկացած հակադարձ ֆունկցիայի գրաֆիկն իր սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկից ստանալու միջոց է։ Գրաֆիկից տեսնում ենք, որ սա երկարժեք ֆունկցիա է (սա ցույց է տալիս նաև քառակուսի արմատի դիմաց գտնվող  նշանը)։ Նման ֆունկցիաները տարրական մաթեմատիկայի մեջ չեն ուսումնասիրվում, հետևաբար որպես ֆունկցիա սովորաբար դիտարկում ենք նրա ճյուղերից մեկը՝ վերին կամ ստորին։
6.	Ցույց ֆունկցիան։ Գործառույթ y = ա x, Որտեղ ադրական հաստատուն թիվ է, որը կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա. Փաստարկ xընդունում է ցանկացած վավեր արժեք; քանի որ դիտարկվում են ֆունկցիայի արժեքները միայն դրական թվեր, քանի որ հակառակ դեպքում մենք ունենք բազմարժեք ֆունկցիա։ Այո, գործառույթը y = 81 xունի ժամը x= 1/4 չորս տարբեր իմաստներ: y = 3, y = 3, y = 3 եսԵվ y = 3 ես(Ստուգեք, խնդրում եմ): Բայց մենք համարում ենք միայն որպես ֆունկցիայի արժեք y= 3. համար էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները ա= 2 և ա= 1/2 ցույց է տրված Նկ.17-ում: Նրանք անցնում են կետով (0, 1): ժամը ա= 1 մենք ունենք առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի գրաֆիկ X, այսինքն. ֆունկցիան վերածվում է հաստատուն արժեքի, որը հավասար է 1. Երբ ա> 1, էքսպոնենցիալ ֆունկցիան մեծանում է, իսկ 0-ում< ա < 1 – убывает. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական բնութագրերն ու հատկությունները.  < x+ (այսինքն. x Ռ ); միջակայք: y> 0 ; Ֆունկցիան միապաղաղ է. այն մեծանում է ա> 1 և նվազում է 0-ով< ա < 1; - Ֆունկցիան չունի զրոներ:
7.	Լոգարիթմական ֆունկցիա. Գործառույթ y= մատյան ա x, Որտեղ ահաստատուն դրական թիվ է, 1-ի ոչ հավասար է կոչվում լոգարիթմական. Այս ֆունկցիան էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձն է. դրա գրաֆիկը (նկ. 18) կարելի է ստանալ՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը 1-ին կոորդինատային անկյան կիսաչափի շուրջ պտտելով։ Լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմնական բնութագրերն ու հատկությունները. Գործառույթի շրջանակը. x> 0, և արժեքների միջակայքը.  < y+ (այսինքն. y Ռ ); Սա միապաղաղ ֆունկցիա է. այն մեծանում է, քանի որ ա> 1 և նվազում է 0-ով< ա < 1; Ֆունկցիան անսահմանափակ է, ամենուր շարունակական է, ոչ պարբերական; Ֆունկցիան ունի մեկ զրո. x = 1.
8.	եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ կառուցելիս օգտագործում ենք ռադիանանկյունների չափում. Այնուհետև գործառույթը y= մեղք xներկայացված է գրաֆիկով (նկ. 19): Այս կորը կոչվում է սինուսոիդ. Ֆունկցիայի գրաֆիկ y= cos xցույց է տրված Նկ.20-ում; այն նաև սինուսային ալիք է, որը առաջանում է գրաֆիկը տեղափոխելուց y= մեղք xառանցքի երկայնքով Xդեպի ձախ 2-ով Այս գրաֆիկներից ակնհայտ են այս ֆունկցիաների բնութագրերն ու հատկությունները. Դոմեն:  < x+  միջակայք՝ -1 y +1; Այս ֆունկցիաները պարբերական են. դրանց ժամանակաշրջանը 2 է; Սահմանափակ գործառույթներ (| y| , ամենուր շարունակական, ոչ միապաղաղ, այլ ունենալով այսպես կոչված ընդմիջումներով միապաղաղություն, որի ներսում նրանք վարվել այնպես, ինչպես միապաղաղ ֆունկցիաները (տես գծապատկերները Նկար 19-ում և Նկար 20-ում); Ֆունկցիաներն ունեն անսահման թվով զրոներ (մանրամասների համար տե՛ս բաժինը «Եռանկյունաչափական հավասարումներ»): Ֆունկցիայի գրաֆիկներ y= թան xԵվ y= մահճակալ xցույց է տրված համապատասխանաբար Նկ.21-ում և Նկ.22-ում Գրաֆիկներից երևում է, որ այդ ֆունկցիաներն են՝ պարբերական (դրանց պարբերությունը , անսահմանափակ, ընդհանուր առմամբ ոչ միապաղաղ, բայց ունեն միապաղաղության ընդմիջումներ (ինչ?), ընդհատվող (ի՞նչ ընդմիջման կետեր ունեն այս ֆունկցիաները): Տարածաշրջան այս գործառույթների սահմանումները և շրջանակը.
9.	Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Հակադարձների սահմանումներ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և դրանց հիմնական հատկությունները տրված են «Եռանկյունաչափություն» գլխի համանուն բաժինը։ Հետեւաբար, այստեղ մենք սահմանափակում ենք մեզ ստացվել են միայն կարճ մեկնաբանություններ դրանց գրաֆիկների վերաբերյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները պտտելով 1-ի կիսաչափի շուրջ կոորդինատային անկյուն.

Գործառույթներ y= Arcsin x(նկ.23) և y= Arccos x(նկ.24) շատ արժեքավոր, անսահմանափակ; դրանց սահմանման տիրույթը և արժեքների տիրույթը, համապատասխանաբար՝ 1 x+1 և  < y+. Քանի որ այս գործառույթները բազմարժեք են,

Կոորդինատների համակարգ - սրանք երկու փոխադարձաբար ուղղահայաց կոորդինատային գծեր են, որոնք հատվում են այն կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրի սկզբնաղբյուրն է:

Կոորդինատային առանցքներ այն գծերն են, որոնք կազմում են կոորդինատային համակարգը:

abscissa(x-առանցք) հորիզոնական առանցքն է:

Y առանցք(y-առանցք) ուղղահայաց առանցքն է:

Գործառույթ

Գործառույթ X բազմության տարրերի քարտեզագրումն է Y բազմությանը: Այս դեպքում X բազմության յուրաքանչյուր x տարրը համապատասխանում է Y բազմության մեկ y արժեքին:

Ուղիղ

Գծային ֆունկցիա y = a x + b ձևի ֆունկցիա է, որտեղ a և b ցանկացած թվեր են:

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։

Դիտարկենք, թե ինչպիսի տեսք կունենա գրաֆիկը՝ կախված a և b գործակիցներից.

Եթե a > 0, տողը կանցնի I և III կոորդինատային քառորդներով:

Եթեա< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b-ն ուղղի հատման կետն է y առանցքի հետ:

Եթե a = 0, ֆունկցիան դառնում է y = b:

Առանձին-առանձին մենք ընտրում ենք x \u003d հավասարման գրաֆիկը:

ԿարևորԱյս հավասարումը ֆունկցիա չէ, քանի որ ֆունկցիայի սահմանումը խախտված է (ֆունկցիան կապում է X բազմության յուրաքանչյուր x տարրը Y բազմության մեկ արժեքի հետ): Այս հավասարումը կապում է մեկ x տարրը y տարրերի անսահման բազմության հետ: Այնուամենայնիվ, այս հավասարման գրաֆիկը կարելի է գծագրել: Եկեք պարզապես չանվանենք այն հպարտ բառ «Ֆունկցիա»:

Պարաբոլա

y = a x 2 + b x + c ֆունկցիայի գրաֆիկն է պարաբոլա .

Որպեսզի միանշանակ որոշեք, թե ինչպես է պարաբոլայի գրաֆիկը գտնվում հարթության վրա, դուք պետք է իմանաք, թե ինչի վրա են ազդում a, b, c գործակիցները.

1. a գործակիցը ցույց է տալիս, թե ուր են ուղղված պարաբոլայի ճյուղերը:

• Եթե ​​a > 0 , պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր։
• Եթե< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. C գործակիցը ցույց է տալիս, թե որ կետում է պարաբոլան հատում y առանցքը:
2. b գործակիցը օգնում է գտնել x-ը պարաբոլայի վերին մասի կոորդինատում:

x in \u003d - b 2 a

1. Տարբերիչը թույլ է տալիս որոշել, թե պարաբոլան հատման քանի կետ ունի առանցքի հետ:

• Եթե ​​D > 0 - հատման երկու կետ:
• Եթե ​​D = 0 - հատման մեկ կետ:
• Եթե ​​Դ< 0 — нет точек пересечения.

y = k x ֆունկցիայի գրաֆիկն է հիպերբոլա .

Հիպերբոլայի բնորոշ առանձնահատկությունն այն է, որ այն ունի ասիմպտոտներ:

Հիպերբոլայի ասիմպտոտներ - ուղիղ գծեր, որոնց նա ձգտում է, գնալով դեպի անսահմանություն:

X առանցքը հիպերբոլայի հորիզոնական ասիմպտոտն է

y առանցքը հիպերբոլայի ուղղահայաց ասիմպտոտն է:

Գրաֆիկի վրա ասիմպտոտները նշված են կանաչ կետավոր գծով:

Եթե ​​k > 0 գործակիցը, ապա հիպերոլայի ճյուղերն անցնում են I և III քառորդներով։

Եթե ​​կ<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Որքան փոքր է k գործակցի բացարձակ արժեքը (կ գործակիցը առանց նշանը հաշվի առնելու), այնքան հիպերբոլայի ճյուղերն ավելի մոտ են x և y առանցքներին։

Քառակուսի արմատ

y     =     x ֆունկցիան ունի հետևյալ գրաֆիկը.

Աճող/նվազող գործառույթներ

y ֆունկցիան =   f(x) ավելանում է ընդմիջման ընթացքում եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը (ավելի մեծ x արժեք) համապատասխանում է ավելի մեծ ֆունկցիայի արժեքին (ավելի մեծ y արժեք):

Այսինքն՝ որքան շատ է (աջ կողմում) x, այնքան (ավելի բարձր) y: Գրաֆիկը բարձրանում է (նայեք ձախից աջ)

y ֆունկցիան =   f(x) նվազում է ընդմիջման ընթացքում եթե ավելի մեծ արգումենտ արժեքը (ավելի մեծ x արժեք) համապատասխանում է ավելի փոքր ֆունկցիայի արժեքին (ավելի մեծ y արժեք):

Այն մեթոդական նյութտեղեկատու նպատակների համար է և ընդգրկում է թեմաների լայն շրջանակ: Հոդվածում ներկայացված է հիմնական տարրական գործառույթների գծապատկերների ակնարկ և դիտարկվում է ամենակարևոր խնդիրը. ինչպես ճիշտ և արագ կառուցել գրաֆիկ. Բարձրագույն մաթեմատիկա սովորելու ընթացքում առանց հիմնականի գրաֆիկները իմանալու տարրական գործառույթներդժվար կլինի, ուստի շատ կարևոր է հիշել, թե ինչպես են պարաբոլայի, հիպերբոլայի, սինուսի, կոսինուսի և այլնի գրաֆիկները, հիշեք որոշ ֆունկցիայի արժեքներ: Մենք կխոսենք նաև հիմնական գործառույթների որոշ հատկությունների մասին:

Ես չեմ հավակնում նյութերի ամբողջականության և գիտական ​​մանրակրկիտության, շեշտը դրվելու է առաջին հերթին պրակտիկայի վրա. պետք է առերեսվել բառացիորեն ամեն քայլափոխի, բարձրագույն մաթեմատիկայի ցանկացած թեմայում. Դիմերային գծապատկերներ: Դուք կարող եք այդպես ասել:

Ընթերցողների ժողովրդական պահանջով սեղմվող բովանդակության աղյուսակ:

Բացի այդ, թեմայի վերաբերյալ կա ծայրահեղ կարճ վերացական
– տիրապետեք 16 տեսակի գծապատկերների՝ ուսումնասիրելով վեց էջ:

Լուրջ, վեց, նույնիսկ ես ինքս զարմացա։ Այս համառոտագիրը պարունակում է բարելավված գրաֆիկա և հասանելի է անվանական վճարով, ցուցադրական տարբերակը կարելի է դիտել: Հարմար է ֆայլը տպել այնպես, որ գրաֆիկները միշտ ձեռքի տակ լինեն։ Շնորհակալություն նախագծին աջակցելու համար:

Եվ մենք անմիջապես սկսում ենք.

Ինչպե՞ս ճիշտ կառուցել կոորդինատային առանցքները:

Գործնականում թեստերը գրեթե միշտ կազմվում են ուսանողների կողմից առանձին տետրերում՝ շարված վանդակում։ Ինչու՞ են ձեզ անհրաժեշտ վանդակավոր գծանշումներ: Ի վերջո, աշխատանքը, սկզբունքորեն, կարելի է կատարել A4 թերթիկների վրա: Իսկ վանդակն անհրաժեշտ է միայն գծագրերի որակյալ և ճշգրիտ ձևավորման համար։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած գծագիր սկսվում է կոորդինատային առանցքներով.

Գծագրերը երկչափ և եռաչափ են:

Եկեք նախ դիտարկենք երկչափ դեպքը դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգկոորդինատները:

1) գծում ենք կոորդինատային առանցքներ. Առանցքը կոչվում է x առանցք , և առանցքը y առանցք . Մենք միշտ փորձում ենք նկարել դրանք կոկիկ և ոչ ծուռ. Նետերը նույնպես չպետք է նմանվեն Պապ Կառլոյի մորուքին։

2) առանցքները ստորագրում ենք «x» և «y» մեծատառերով։ Չմոռանաք ստորագրել կացինները.

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով. նկարել զրո և երկու միավոր. Գծանկար կատարելիս ամենահարմար և տարածված սանդղակն է. 1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում գծագրություն) - հնարավորության դեպքում կպցրեք դրան: Այնուամենայնիվ, ժամանակ առ ժամանակ պատահում է, որ գծանկարը չի տեղավորվում նոթատետրի թերթիկի վրա, այնուհետև մենք նվազեցնում ենք սանդղակը. 1 միավոր = 1 բջիջ (գծանկարը աջ կողմում): Հազվադեպ, բայց պատահում է, որ գծագրի մասշտաբը պետք է էլ ավելի կրճատվի (կամ մեծացվի):

ՄԻ խզբզեք գնդացիրից ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....Որովհետև կոորդինատային հարթությունը Դեկարտի հուշարձան չէ, իսկ ուսանողը աղավնի չէ: Մենք դնում ենք զրոԵվ երկու միավոր առանցքների երկայնքով. Երբեմն փոխարենմիավորները, հարմար է «հայտնաբերել» այլ արժեքներ, օրինակ, «երկու» աբսցիսայի առանցքի վրա և «երեք» օրդինատների առանցքի վրա, և այս համակարգը (0, 2 և 3) նույնպես եզակիորեն կսահմանի կոորդինատների ցանցը:

Ավելի լավ է գնահատել գծագրի գնահատված չափերը Նկարը նկարելուց առաջ:. Այսպիսով, օրինակ, եթե առաջադրանքը պահանջում է , , գագաթներով եռանկյունի նկարել, ապա միանգամայն պարզ է, որ հայտնի սանդղակը 1 միավոր = 2 բջիջ չի աշխատի: Ինչո՞ւ։ Եկեք նայենք կետին. այստեղ դուք պետք է չափեք տասնհինգ սանտիմետր ներքև, և, ակնհայտորեն, գծագիրը չի տեղավորվի (կամ հազիվ տեղավորվի) նոթատետրի թերթիկի վրա: Հետեւաբար, մենք անմիջապես ընտրում ենք ավելի փոքր մասշտաբ 1 միավոր = 1 բջիջ:

Ի դեպ, սանտիմետրերի և նոթատետրի բջիջների մասին: Ճի՞շտ է, որ 30 նոթատետրում 15 սանտիմետր կա: Տետրում չափեք 15 սանտիմետրը քանոնով: ԽՍՀՄ-ում, երևի թե դա ճիշտ էր… Հետաքրքիր է նշել, որ եթե այս նույն սանտիմետրերը չափեք հորիզոնական և ուղղահայաց, ապա արդյունքները (բջիջներում) տարբեր կլինեն: Խիստ ասած՝ ժամանակակից նոթատետրերը ոչ թե վանդակավոր են, այլ ուղղանկյուն։ Դա կարող է անհեթեթություն թվալ, բայց նման իրավիճակներում, օրինակ, կողմնացույցով շրջան նկարելը շատ անհարմար է։ Անկեղծ ասած, նման պահերին սկսում ես մտածել ընկեր Ստալինի կոռեկտության մասին, ով ճամբարներ էր ուղարկվել արտադրության մեջ հաքերային աշխատանքի համար, էլ չեմ խոսում հայրենական ավտոմոբիլային արդյունաբերության, ինքնաթիռների վայր ընկնելու կամ էլեկտրակայանների պայթելու մասին:

Խոսելով որակի մասին, կամ գրենական պիտույքների վերաբերյալ հակիրճ առաջարկություն: Մինչ օրս վաճառվող նոթատետրերի մեծ մասը, առանց վատ խոսքեր ասելու, լրիվ գոբլին են։ Այն պատճառով, որ դրանք թրջվում են և ոչ միայն գելային գրիչներից, այլ նաև գնդիկավոր գրիչներից: Պահպանեք թղթի վրա: Մաքրման համար հսկիչ աշխատանքներԽորհուրդ եմ տալիս օգտագործել Արխանգելսկի Ցելյուլոզիայի և Թուղթ գործարանի (18 թերթ, վանդակ) կամ Պյատերոչկայի նոթատետրերը, չնայած այն ավելի թանկ է։ Ցանկալի է ընտրել գել գրիչ, նույնիսկ ամենաէժան չինական գել լիցքավորումը շատ ավելի լավ է, քան գնդիկավոր գրիչը, որը կամ քսում է կամ պատռում թուղթը։ Իմ հիշողության միակ «մրցակցային» գնդիկավոր գրիչը Էրիխ Կրաուզեն է։ Նա գրում է պարզ, գեղեցիկ և կայուն՝ կա՛մ լրիվ ցողունով, կա՛մ համարյա դատարկ:

ԼրացուցիչՈւղղանկյուն կոորդինատային համակարգի տեսլականը վերլուծական երկրաչափության աչքերով ներկայացված է հոդվածում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորային հիմք, կոորդինատային եռամսյակների մասին մանրամասն տեղեկություններ կարելի է գտնել դասի երկրորդ պարբերությունում Գծային անհավասարություններ.

3D պատյան

Այստեղ գրեթե նույնն է:

1) գծում ենք կոորդինատային առանցքներ. Ստանդարտ: կիրառական առանցք – ուղղված դեպի վեր, առանցք – ուղղված դեպի աջ, առանցք – ներքև դեպի ձախ խստորեն 45 աստիճանի անկյան տակ:

2) Մենք ստորագրում ենք կացինները:

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով: Սանդղակ առանցքի երկայնքով - երկու անգամ փոքր, քան մյուս առանցքների երկայնքով սանդղակը. Նաև նշեք, որ ճիշտ գծագրում ես օգտագործել եմ ոչ ստանդարտ «սերիֆ» առանցքի երկայնքով (այս հնարավորությունն արդեն նշվել է վերևում). Իմ տեսանկյունից, դա ավելի ճշգրիտ է, ավելի արագ և ավելի էսթետիկորեն հաճելի. պետք չէ մանրադիտակի տակ փնտրել բջջի կեսը և «քանդակել» միավորը մինչև սկզբնաղբյուրը:

Կրկին 3D նկարչություն կատարելիս առաջնահերթություն տվեք մասշտաբին
1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում նկարված):

Ինչի՞ համար են այս բոլոր կանոնները: Կանոնները կան խախտելու համար: Հիմա ինչ եմ անելու։ Փաստն այն է, որ հոդվածի հետագա գծագրերը կկատարվեն իմ կողմից Excel-ում, իսկ կոորդինատային առանցքները ճիշտ դիզայնի առումով սխալ տեսք կունենան։ Ես կարող էի ձեռքով նկարել բոլոր գրաֆիկները, բայց դրանք նկարելը իսկապես սարսափելի է, քանի որ Excel-ը չի ցանկանում դրանք շատ ավելի ճշգրիտ գծել:

Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հիմնական հատկությունները

Գծային ֆունկցիան տրված է հավասարմամբ. Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկն է ուղիղ. Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ երկու կետ.

Օրինակ 1

Գրեք ֆունկցիան։ Գտնենք երկու կետ. Որպես կետերից մեկը ձեռնտու է ընտրել զրոն։

Եթե, ապա

Մենք վերցնում ենք մեկ այլ կետ, օրինակ, 1.

Եթե, ապա

Առաջադրանքները պատրաստելիս կետերի կոորդինատները սովորաբար ամփոփվում են աղյուսակում.

Եվ արժեքներն իրենք են հաշվարկվում բանավոր կամ սևագրի, հաշվիչի վրա:

Գտնվել է երկու կետ, եկեք նկարենք.

Գծանկար կազմելիս մենք միշտ ստորագրում ենք գրաֆիկայի վրա.

Ավելորդ չի լինի հիշել գծային ֆունկցիայի հատուկ դեպքեր.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ տեղադրել ենթագրերը, Նկարն ուսումնասիրելիս ստորագրությունները չպետք է երկիմաստ լինեն. Այս դեպքում խիստ անցանկալի էր ստորագրություն դնել գծերի հատման կետի կողքին կամ գծապատկերների միջև ներքևի աջ մասում:

1) () ձևի գծային ֆունկցիան կոչվում է ուղիղ համեմատականություն։ Օրինակ, . Ուղղակի համաչափության գրաֆիկը միշտ անցնում է սկզբնաղբյուրով։ Այսպիսով, ուղիղ գծի կառուցումը պարզեցված է, բավական է գտնել միայն մեկ կետ:

2) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ, մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ. Ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցվում է անմիջապես՝ առանց կետեր գտնելու։ Այսինքն՝ մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ՝ «y-ը միշտ հավասար է -4-ի՝ x-ի ցանկացած արժեքի համար»։

3) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ, մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ. Անմիջապես կառուցվում է նաև ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «x-ը միշտ, y-ի ցանկացած արժեքի համար, հավասար է 1-ի»:

Ոմանք կհարցնեն՝ լավ, ինչո՞ւ հիշել 6-րդ դասարանը։ Այդպես է, միգուցե այդպես է, միայն պրակտիկայի տարիներին ես հանդիպեցի մի լավ տասնյակ ուսանողների, ովքեր շփոթված էին գծապատկեր ստեղծելու առաջադրանքով, ինչպիսին կամ .

Ուղիղ գիծ գծելը գծանկարներ կատարելիս ամենատարածված գործողությունն է:

Ուղիղ գիծը մանրամասն քննարկվում է վերլուծական երկրաչափության ընթացքում, իսկ ցանկացողները կարող են անդրադառնալ հոդվածին. Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ, խորանարդ ֆունկցիայի գրաֆիկ, բազմանդամ գրաֆիկ

Պարաբոլա. Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ () պարաբոլա է: Դիտարկենք հայտնի դեպքը.

Հիշենք ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը. - հենց այս կետում է գտնվում պարաբոլայի գագաթը: Թե ինչու է դա այդպես, կարելի է սովորել ածանցյալի մասին տեսական հոդվածից և ֆունկցիայի ծայրահեղության դասից: Միևնույն ժամանակ մենք հաշվարկում ենք «y»-ի համապատասխան արժեքը.

Այսպիսով, գագաթը գտնվում է կետում

Այժմ մենք գտնում ենք այլ կետեր՝ միաժամանակ օգտագործելով պարաբոլայի համաչափությունը: Հարկ է նշել, որ ֆունկցիան – նույնիսկ չէ, բայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չեղարկեց պարաբոլայի համաչափությունը։

Ինչ կարգով գտնել մնացած միավորները, կարծում եմ վերջնական աղյուսակից պարզ կլինի.

Կառուցման այս ալգորիթմը փոխաբերական իմաստով կարելի է անվանել «մաքոքային» կամ «ետ ու առաջ» սկզբունք Անֆիսա Չեխովայի հետ։

Եկեք նկարենք.

Դիտարկված գրաֆիկներից մեկ այլ օգտակար հատկություն է մտքում գալիս.

Քառակուսային ֆունկցիայի համար () ճշմարիտ է հետևյալը.

Եթե ​​, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր.

Եթե ​​, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև.

Հիպերբոլա և պարաբոլա դասում կարելի է ստանալ կորի խորը գիտելիքներ:

Խորանարդ պարաբոլան տրվում է ֆունկցիայով. Ահա դպրոցից ծանոթ նկար.

Մենք թվարկում ենք ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Այն ներկայացնում է պարաբոլայի ճյուղերից մեկը։ Եկեք նկարենք.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս դեպքում առանցքն է ուղղահայաց ասիմպտոտ հիպերբոլայի գրաֆիկի համար ժամը .

ՄԵԾ սխալ կլինի, եթե գծագիր կազմելիս անզգուշությամբ թույլ տաս, որ գրաֆիկը հատվի ասիմպտոտի հետ։

Նաև միակողմանի սահմաններ, ասեք մեզ, որ հիպերբոլիա է վերևից չի սահմանափակվումԵվ չի սահմանափակվում ներքևից.

Եկեք ուսումնասիրենք ֆունկցիան անվերջության վրա. , այսինքն, եթե մենք սկսենք առանցքի երկայնքով շարժվել դեպի ձախ (կամ աջ) դեպի անսահմանություն, ապա «խաղերը» կլինեն բարակ քայլ: անսահման մոտմոտենալ զրոյին, և, համապատասխանաբար, հիպերբոլայի ճյուղերին անսահման մոտմոտենալ առանցքին.

Այսպիսով, առանցքը հորիզոնական ասիմպտոտ ֆունկցիայի գրաֆիկի համար, եթե «x»-ը հակված է գումարած կամ մինուս անվերջությանը:

Ֆունկցիան է տարօրինակ, ինչը նշանակում է, որ հիպերբոլան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։ Այս փաստըգծագրից ակնհայտ է, ավելին, այն հեշտությամբ կարելի է ստուգել վերլուծական եղանակով. .

() ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացնում է հիպերբոլայի երկու ճյուղ.

Եթե ​​, ապա հիպերբոլան գտնվում է առաջին և երրորդ կոորդինատային քառորդներում(տես վերևի նկարը):

Եթե ​​, ապա հիպերբոլան գտնվում է երկրորդ և չորրորդ կոորդինատային քառորդներում.

Դժվար չէ վերլուծել հիպերբոլայի բնակության վայրի նշված օրինաչափությունը գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների տեսանկյունից։

Օրինակ 3

Կառուցեք հիպերբոլայի աջ ճյուղը

Մենք օգտագործում ենք կետային շինարարության մեթոդը, մինչդեռ ձեռնտու է ընտրել արժեքները, որպեսզի դրանք ամբողջությամբ բաժանվեն.

Եկեք նկարենք.

Հիպերբոլայի ձախ ճյուղը կառուցելը դժվար չի լինի, այստեղ ֆունկցիայի տարօրինակությունը պարզապես կօգնի։ Կոպիտ ասած, կետային շինարարական աղյուսակում յուրաքանչյուր թվին մտովի ավելացրեք մինուս, դրեք համապատասխան կետերը և նկարեք երկրորդ ճյուղը։

Դիտարկվող գծի մասին մանրամասն երկրաչափական տեղեկություններ կարելի է գտնել Հիպերբոլա և պարաբոլա հոդվածում։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Այս պարբերությունում ես անմիջապես կքննարկեմ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, քանի որ բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում 95% դեպքերում տեղի է ունենում ցուցիչը:

Հիշեցնում եմ, որ սա իռացիոնալ թիվ է. սա կպահանջվի գրաֆիկ կառուցելիս, որը, փաստորեն, կկառուցեմ առանց արարողության։ Երեք միավորը հավանաբար բավական է.

Առայժմ թողնենք ֆունկցիայի գրաֆիկը, դրա մասին ավելի ուշ։

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Հիմնականում ֆունկցիաների գրաֆիկները նույն տեսքն ունեն և այլն։

Պետք է ասեմ, որ երկրորդ դեպքը գործնականում ավելի քիչ է հանդիպում, բայց այն տեղի է ունենում, ուստի հարկ համարեցի ներառել այն այս հոդվածում:

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք բնական լոգարիթմով ֆունկցիա:
Եկեք գծագրենք.

Եթե ​​մոռացել եք, թե ինչ է լոգարիթմը, դիմեք դպրոցական դասագրքերին:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Դոմեն:

Արժեքների միջակայք.

Գործառույթը չի սահմանափակվում վերևից. , թեկուզ դանդաղ, բայց լոգարիթմի ճյուղը բարձրանում է դեպի անսահմանություն։
Եկեք քննենք աջ կողմում զրոյին մոտ ֆունկցիայի վարքագիծը. . Այսպիսով, առանցքը ուղղահայաց ասիմպտոտ աջ կողմում զրոյի միտում ունեցող «x» ֆունկցիայի գրաֆիկի համար:

Համոզվեք, որ իմանաք և հիշեք լոգարիթմի բնորոշ արժեքը: .

Հիմնականում հիմքում ընկած լոգարիթմի գրաֆիկը նույն տեսքն ունի՝ , , ( տասնորդական լոգարիթմ 10-րդ բազայում) և այլն: Միևնույն ժամանակ, որքան մեծ է բազան, այնքան ավելի հարթ կլինի աղյուսակը:

Մենք գործը չենք քննարկի, մի բան, որը ես չեմ հիշում, թե վերջին անգամ երբ եմ նման հիմքով գրաֆիկ կառուցել: Այո, և լոգարիթմը կարծես թե շատ հազվադեպ հյուր է բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում:

Եզրափակելով պարբերությունը՝ կասեմ ևս մեկ փաստ. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա և լոգարիթմական ֆունկցիաերկուսը փոխադարձ են հակադարձ գործառույթներ . Եթե ​​ուշադիր նայեք լոգարիթմի գրաֆիկին, կարող եք տեսնել, որ սա նույն ցուցանիշն է, պարզապես այն գտնվում է մի փոքր այլ կերպ:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներ

Ինչպե՞ս է սկսվում եռանկյունաչափական տանջանքները դպրոցում: Ճիշտ. Սինուսից

Եկեք գծենք ֆունկցիան

Այս տողը կոչվում է սինուսոիդ.

Հիշեցնում եմ, որ «pi»-ն իռացիոնալ թիվ է, իսկ եռանկյունաչափության մեջ այն շլացնում է աչքերը։

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս ֆունկցիան է պարբերականժամանակաշրջանով։ Ինչ է դա նշանակում? Եկեք նայենք կտրվածքին: Դրանից ձախ և աջ անվերջ կրկնվում է գրաֆիկի ճիշտ նույն հատվածը:

Դոմեն:, այսինքն՝ «x»-ի ցանկացած արժեքի համար կա սինուսային արժեք։

Արժեքների միջակայք. Ֆունկցիան է սահմանափակված, այսինքն՝ բոլոր «խաղերը» խստորեն տեղավորվում են հատվածում։
Սա տեղի չի ունենում, կամ, ավելի ճիշտ, լինում է, բայց այս հավասարումները լուծում չունեն։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները հավասար են փաստարկի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներին։

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս միջին ամսական ջերմաստիճանը մեր երկրի մայրաքաղաք Մինսկ քաղաքում։

Պ

տ, Վ

Այստեղ փաստարկը ամսվա հերթական թիվն է, իսկ ֆունկցիայի արժեքը՝ օդի ջերմաստիճանը Ցելսիուսի աստիճաններով։ Օրինակ, այս աղյուսակից տեղեկանում ենք, որ ապրիլին միջին ամսական ջերմաստիճանը 5,3 °C է։

Ֆունկցիոնալ կախվածությունը կարող է տրվել գրաֆիկով:

Նկար 1-ում ներկայացված է 20 մ/վ սկզբնական արագությամբ 6СГ անկյան տակ դեպի հորիզոնը նետված մարմնի շարժման գրաֆիկը։

Օգտագործելով ֆունկցիայի գրաֆիկը, կարող եք գտնել ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը փաստարկի արժեքով: Նկար 1-ի գրաֆիկի համաձայն մենք որոշում ենք, որ, օրինակ, շարժման սկզբից 2 վրկ հետո մարմինը գտնվել է 15 մ բարձրության վրա, իսկ 3 վրկ հետո՝ 7,8 մ բարձրության վրա (նկ. 2):

Հնարավոր է նաև լուծել հակադարձ խնդիրը, այն է՝ ֆունկցիայի տրված a արժեքով գտնել արգումենտի այն արժեքները, որոնց համար ֆունկցիան ընդունում է այս արժեքը a. Օրինակ, ըստ Նկար 1-ի գրաֆիկի, մենք գտնում ենք, որ 10 մ բարձրության վրա մարմինը շարժման սկզբից գտնվում էր 0,7 վրկ և 2,8 վրկ-ում (նկ. 3),

Կան սարքեր, որոնք գծում են մեծությունների միջև կախվածության գրաֆիկները: Սրանք բարոգրաֆներ են՝ մթնոլորտային ճնշման կախվածությունը ժամանակից ֆիքսելու սարքեր, ջերմագրիչներ՝ ջերմաստիճանի կախվածությունը ժամանակից ֆիքսող սարքեր, կարդիոգրաֆներ՝ սրտի ակտիվության գրաֆիկական գրանցման սարքեր և այլն: Նկար 102-ը սխեմատիկորեն ցույց է տալիս թերմոգրաֆը: Նրա թմբուկը հավասարաչափ պտտվում է: Թմբուկի վրա փաթաթված թուղթը դիպչում է ձայնագրիչին, որը, կախված ջերմաստիճանից, բարձրանում և իջնում ​​է և որոշակի գիծ գծում թղթի վրա։

Ֆունկցիայի բանաձևով ներկայացումից կարող եք անցնել աղյուսակում և գրաֆիկում դրա ներկայացմանը: