Odeslat svou dobrou práci do znalostní báze je jednoduché. Použijte níže uvedený formulář
Studenti, postgraduální studenti, mladí vědci, kteří využívají znalostní základnu ve svém studiu a práci, vám budou velmi vděční.
Vloženo na http://www.allbest.ru/
Úvod
1. Teoretický základ formování zájmu o matematiku
1.1 Podstata pojmu „zájem“
1.2 Nestandardní úlohy a jejich typy
1.3 Metody řešení nestandardních problémů
2. Formování dovedností školáků řešit nestandardní úkoly
2.1 Nestandardní úlohy pro žáky ZŠ
2.2 Nestandardní úkoly pro kmenovou školu
Závěr
Literatura
Úvod
Strategie moderní vzdělání je poskytnout všem studentům příležitost ukázat svůj talent a kreativitu, což znamená možnost realizace osobních plánů. Proto je dnes aktuální problém hledání prostředků pro rozvoj rozumových schopností spojený s tvůrčí činností žáků, a to jak v kolektivních, tak v individuálních formách vzdělávání. Tomuto problému se věnuje práce učitelů T.M. Davyděnko, L.V. Žanková, A.I. Savenkov a další, které se zaměřují na stanovení prostředků zvyšování produktivní kognitivní činnosti žáků, organizování jejich tvůrčí činnosti.
Zájem o předmět přispívá k aktivnímu získávání vědomostí, neboť studenti studují na základě své vnitřní přitažlivosti, z vlastní vůle. Pak vzdělávací materiál učí se celkem snadno a důkladně. V poslední době je však zaznamenán alarmující a paradoxní fakt: zájem o učení se třídu od třídy snižuje, a to navzdory tomu, že zájem o jevy a události okolního světa se stále rozvíjí a je obsahově složitější.
Vzbudit zájem školáků o matematiku, rozvoj jejich matematických schopností není možný bez využití vzdělávací proces rychlé vtipné úkoly, vtipné úkoly, číselné hádanky, pohádkové úkoly atd. V tomto ohledu se objevila tendence používat nestandardní úlohy jako nezbytnou součást výuky matematiky studentů (S. G. Guba, 1972).
Pedagogická zkušenost ukazuje, že „… efektivně organizovaná vzdělávací činnost studentů v procesu řešení nestandardních problémů je nejdůležitějším prostředkem utváření matematické kultury a kvalit matematického myšlení; organická kombinace těchto vlastností se projevuje ve zvláštních schopnostech člověka, což mu dává příležitost úspěšně provádět tvůrčí činnost.
Na jedné straně je tedy nutné naučit studenty řešit nestandardní úlohy, protože takové úlohy hrají zvláštní roli při formování zájmu o předmět a při formování kreativní osobnost Na druhou stranu četná data naznačují, že problematice rozvoje schopnosti řešit takové problémy, učení se, jak nacházet řešení problémů, není věnována náležitá pozornost.
Výše uvedené předurčilo volbu výzkumného tématu: "Nestandardní úlohy jako prostředek formování zájmu studentů o matematiku."
Předmět studia - proces formování zájmu o matematiku u školáků.
Předmět studia- formování dovedností studentů řešit nestandardní problémy pro utváření zájmu o matematiku.
Účel studia- prokázat, že znalost různých metod přispívá k utváření dovedností studentů řešit nestandardní problémy.
V souladu s cílem je výzkumné cíle:
· Studium psychologické, pedagogické a vědecké a metodologické literatury a charakteristika pojmů „zájem“ a „nestandardní úkol“.
· Identifikace typů nestandardních úloh.
· Seznámení s metodami řešení nestandardních problémů.
· Sestavení didaktických materiálů pro studenty o utváření dovedností řešit nestandardní problémy různými metodami.
Tato práce se skládá z úvodu, dvou kapitol, závěru a seznamu literatury. První kapitola je teoretického charakteru, pojednává o různých výkladech pojmu „zájem“, zdůrazňuje roli nestandardních úloh při utváření zájmu studentů o matematiku a uvádí některé klasifikace nestandardních úloh. Druhá kapitola představuje didaktický materiál zpracovaný autorem studie, zaměřený na rozvoj dovedností řešit nestandardní problémy různými metodami.
V průběhu studia byla použita teoretická metoda, analýza vzdělávací a metodologické literatury a modelování.
1. Teoretické základy pro formování zájmu o matematiku
1.1 Esence pochopenaa já« zájem»
Existují různé přístupy k pojmu „zájem“. Různí metodisté a učenci to interpretují různě. Takže například lingvista, lexikograf, doktor filologických věd a profesor Sergej Ivanovič Ozhegov uvádí několik definic pojmu „zájem“:
1. Speciální pozornost k něčemu, touha ponořit se do podstaty, poznat, pochopit. (Projevte zájem o případ. Ztrácejte zájem o partnera. Zvýšený zájem o vše nové).
2. Zábava, význam. (Zajímavost příběhu je v jeho zápletce. Případ je ve veřejném zájmu).
3. Četné potřeby, potřeby. (Skupinové zájmy. Ochrana našich zájmů. Duchovní zájmy. Není to v našem zájmu).
4. Prospěch, vlastní zájem (hovorový). (Má zde svůj vlastní zájem. Hrajte o úrok – o peníze) (S.I. Ozhegov, 2009).
Ruský vědec a spisovatel Vladimir Ivanovič Dal, který se proslavil jako autor Vysvětlujícího slovníku živého velkého ruského jazyka, uvádí následující definici:
"Zájem - prospěch, prospěch, zisk; úrok, růst na penězích; sympatie k někomu nebo něčemu, účast, péče. Zábava nebo význam, důležitost věci.
Zájem je selektivní orientace člověka, jeho pozornost, myšlenky, myšlenky (S.L. Rubinshtein).
Zájem je jakési splynutí emocionálně-volních a intelektuálních procesů, které zvyšuje aktivitu vědomí a lidskou aktivitu (L.A. Gordon).
Zájem je aktivní kognitivní orientace člověka na konkrétní objekt, jev a činnost, vytvořená s pozitivním emočním postojem k nim (V.A. Krutetsky)“.
Lidské zájmy jsou určovány společensko-historickými a individuální podmínky jeho život. Pomocí úroku je navázáno spojení subjektu s objektivním světem. Vše, co tvoří předmět zájmu, člověk sbírá z okolní reality. Ale předmětem zájmu pro člověka není zdaleka vše, co ho obklopuje, ale pouze to, co je pro něj nezbytné, význam, hodnota a přitažlivost.
Zájmy lidí jsou velmi různorodé. Existuje několik klasifikací zájmů:
materiální zájmy (Projevuje se touhou po bydlení, gastronomických produktech, oblečení apod.);
duchovní zájmy (Jsou to kognitivní zájmy v matematice, fyzice, chemii, biologii, filozofii, psychologii atd., zájmy o literaturu a odlišné typy umění (hudba, malba, divadlo). charakterizovat vysoká úroveň osobní rozvoj.);
veřejný zájem (Zahrnuje zájem o veřejné služby, k organizační činnosti.);
podle směru:
široké zájmy (Různé zájmy v přítomnosti hlavního, ústředního zájmu.);
úzké zájmy (Přítomnost jednoho nebo dvou omezených a izolovaných zájmů s naprostou lhostejností ke všemu ostatnímu.);
hluboké zájmy (Potřeba důkladně prostudovat objekt ve všech detailech a jemnostech.);
povrchní zájmy (Klouzání po povrchu jevu a o objekt není skutečný zájem.);
Podle síly:
udržitelné zájmy (Dlouho přetrvávají, hrají významnou roli v životě a činnostech člověka a jsou relativně pevnými rysy jeho osobnosti.);
nestabilní zájmy (Poměrně krátkodobé: rychle vznikají a rychle mizí.);
Zprostředkováním:
přímé (bezprostřední) zájmy (Nazývané samotným obsahem určitého oboru vědění nebo činnosti, jeho zábavou a fascinací.);
nepřímé (zprostředkované) zájmy (Nejsou způsobeny obsahem předmětu, ale hodnotou, kterou má, protože jsou spojeny s jiným předmětem, který člověka přímo zajímá.);
Z hlediska účinnosti:
pasivní zájmy;
kontemplativní zájmy (Když je člověk omezen na vnímání předmětu zájmu.);
aktivní zájmy;
efektivní zájem (Když se člověk neomezuje na kontemplaci, ale jedná s cílem ovládnout předmět zájmu.) (G.I. Shchukina, 1988).
Existuje zvláštní druh lidských zájmů – kognitivní zájem.
„Kognitivní zájem je selektivní orientace osobnosti, obrácená k oblasti vědění, k její předmětové stránce a k samotnému procesu osvojování vědomostí“ .
Kognitivní zájem může být široký, může se rozšířit na získávání informací obecně a do hloubky v konkrétní oblasti znalostí. Je zaměřen na osvojení znalostí, které jsou prezentovány ve školních předmětech. Zároveň se obrací nejen k obsahu tohoto předmětu, ale i k procesu získávání těchto znalostí, k kognitivní činnosti. student matematické pedagogiky
V pedagogice se spolu s pojmem „kognitivní zájem“ používá termín „zájem o učení“. Pojem „kognitivní zájem“ je širší, protože v zóně kognitivního zájmu nejsou pouze znalosti, osnovy, ale jde také daleko za něj.
V zahraniční literaturu chybí pojem "kognitivní zájem", ale existuje pojem "intelektuální zájem". Tento termín také nezahrnuje vše, co je zahrnuto v pojmu „kognitivní zájem“, protože kognice zahrnuje nejen intelektuální procesy, ale také prvky praktických akcí souvisejících s poznáním.
Kognitivní zájem je spojení duševní procesy: intelektuální, silné vůle a emocionální. Jsou velmi důležité pro osobní rozvoj.
V intelektuální činnosti, probíhající pod vlivem kognitivního zájmu, se projevují:
· aktivní vyhledávání;
· odhad;
výzkumný přístup;
připravenost řešit problémy.
Emocionální projevy doprovázející kognitivní zájem:
emoce překvapení
pocit očekávání něčeho nového;
pocit intelektuální radosti;
pocit úspěchu.
Volební projevy charakteristické pro kognitivní zájem jsou:
vyhledávací iniciativa;
samostatnost při získávání znalostí;
Prosazování a stanovování kognitivních úkolů.
Intelektuální, volní a emocionální aspekty kognitivního zájmu tedy působí jako jeden propojený celek.
Originalita kognitivního zájmu se projevuje v hloubkovém studiu, v neustálém a nezávislém získávání znalostí v oblasti zájmu, v aktivním získávání potřebných metod k tomu, v vytrvalém překonávání obtíží, které způsob osvojování znalostí a způsoby jejich získávání.
Psychologové a pedagogové identifikují tři hlavní motivy, které povzbuzují studenty k učení:
Zájem o předmět (matematiku studuji ne proto, že bych sledoval nějaký cíl, ale proto, že mě samotný proces studia baví). Nejvyšším stupněm zájmu je vášeň. Vášnivé aktivity vytvářejí sílu pozitivní emoce a neschopnost cvičit je vnímána jako deprivace.
· Vědomí. (Výuka na toto téma mě nezajímá, ale jsem si vědom jejich nutnosti a snahou vůle se ke studiu přinutím).
· Nátlak. (Učím se, protože mě rodiče a učitelé nutí). Nutkání je často podporováno strachem z trestu nebo lákadlem na odměnu. Různá donucovací opatření ve většině případů nedávají pozitivní výsledky (25, s. 24).
Zájem o vysoký stupeň zlepšuje efektivitu lekcí. Pokud studenti studují kvůli svému vnitřnímu sklonu, z vlastní vůle, učí se vzdělávací materiál docela snadno a důkladně, díky tomu mají z předmětu dobré známky. Většina žáků se slabšími výsledky projevuje negativní postoj k učení. Čím vyšší je tedy zájem studenta o předmět, tím je učení aktivnější a jeho výsledky jsou lepší. Čím nižší zájem, čím formálnější školení, tím horší výsledky. Nezájem vede k nízké kvalitě učení, rychlému zapomínání až úplné ztrátě nabytých znalostí, dovedností a schopností.
Při formování kognitivních zájmů studentů je třeba mít na paměti, že nemohou pokrýt všechny akademické předměty. Zájmy jsou selektivní a jeden student se zpravidla může věnovat skutečné vášni pouze v jednom nebo dvou předmětech. Ale přítomnost stálého zájmu o konkrétní předmět má pozitivní vliv na akademické práce v jiných předmětech záleží na intelektuálních i morálních faktorech. Intenzivní duševní rozvoj spojený s hloubkové studium jeden předmět, usnadňuje a zefektivňuje výuku studenta v jiných předmětech. Na druhou stranu úspěch dosažený v akademické práci v oblíbených předmětech posiluje pocit důstojnost student a snaží se pilně studovat vůbec.
Důležitým úkolem učitele je formovat u školáků první dva motivy k učení – zájem o předmět a smysl pro povinnost, zodpovědnost při učení. Jejich kombinace umožní žákovi dosahovat dobrých výsledků ve vzdělávací činnosti.
Formování kognitivních zájmů začíná dlouho před školou, v rodině, jejich výskyt je spojen s výskytem takových otázek jako „Proč?“, „Proč?“, „Proč?“. Zájem se zpočátku objevuje ve formě zvědavosti. Předtím do konce školní věk pod vlivem starších se u dítěte rozvíjí zájem o učení ve škole: nejen hraje školu, ale také se úspěšně pokouší zvládnout čtení, psaní, počítání atd.
Na základní škole se prohlubují kognitivní zájmy. Utváří se vědomí zásadního významu učení. Postupem času se kognitivní zájmy diferencují: někdo má rád matematiku, jiný má rád čtení atd. Děti projevují velký zájem o pracovní proces, zejména pokud je vykonáván v týmu. Výuka a další typy poznání se dostávají do konfliktu, protože nové zájmy školáků nejsou ve škole dostatečně uspokojovány. Roztěkané a nestálé zájmy adolescentů jsou vysvětlovány také tím, že „táhnou“ po svém hlavním, ústředním, stěžejním zájmu jako základu své životní orientace a zkoušejí se v různých oblastech. Když jsou konečně určeny zájmy a sklony dospívajících, pak se jejich schopnosti začnou formovat a jasně projevovat. Ke konci dospívání se začínají formovat zájmy o určitou profesi. Ve starším školním věku rozhoduje rozvoj kognitivních zájmů, růst vědomého přístupu k učení další vývoj libovůle kognitivních procesů, schopnost je řídit, vědomě regulovat. Na konci seniorského věku studenti zvládají své kognitivní procesy podřídit svou organizaci určitým úkolům života a činnosti.
Jedním z prostředků rozvoje zájmu o matematiku jsou nestandardní úlohy. Pojďme se jim věnovat podrobněji.
1. 2 Nestandardní úlohy a jejich typy
Pojem „nestandardní úkol“ používá mnoho metodiků. Takže Yu. M. Kolyagin odhaluje tento koncept takto: „Pod nestandardní pochopil úkol, při jehož předložení studenti předem nevědí ani způsob řešení, ani o jaký výukový materiál řešení vychází.
Definice nestandardního problému je také uvedena v knize “Jak se naučit řešit problémy” od autorů L.M. Fridman, E.N. turečtina: " Nestandardní úkoly- to jsou ty, pro které v matematice neexistují obecná pravidla a předpisy určující přesný program jejich řešení.
Nezaměňujte nestandardní úkoly s úkoly se zvýšenou složitostí. Podmínky problémů se zvýšenou složitostí jsou takové, že umožňují studentům poměrně snadno vybrat matematický aparát, který je potřebný k řešení problému v matematice. Učitel řídí proces upevňování znalostí poskytovaných vzdělávacím programem řešením problémů tohoto typu. Ale nestandardní úkol znamená přítomnost průzkumné povahy. Pokud je však řešení problému v matematice pro jednoho studenta nestandardní, protože není obeznámen s metodami řešení problémů tohoto typu, pak pro jiného dochází k řešení problému standardním způsobem, protože má již vyřešil takové problémy a více než jeden. Stejná úloha v matematice v 5. třídě je nestandardní a v 6. třídě je běžná, a to ani ne příliš složitá.
rozbor učebnice a učební pomůcky v matematice ukazuje, že každý textový problém za určitých podmínek může být nestandardní a v jiných - obyčejný, standardní. Standardní problém v jednom kurzu matematiky může být v jiném kurzu nestandardní.
Na základě analýzy teorie a praxe používání nestandardních úloh ve výuce matematiky lze stanovit jejich obecnou i specifickou roli. Nestandardní úkoly:
· naučit děti nejen používat hotové algoritmy, ale také samostatně nacházet nové způsoby řešení problémů, tzn. přispívat ke schopnosti nacházet originální způsoby řešení problémů;
ovlivnit rozvoj vynalézavosti, vynalézavosti žáků;
Zabraňují rozvoji škodlivých klišé při řešení problémů, ničí nesprávné asociace ve znalostech a dovednostech studentů, nezahrnují ani tak asimilaci algoritmických technik, ale objevování nových souvislostí ve znalostech, přenos znalostí do nových podmínek, zvládnutí různých metod duševní činnosti;
vytvořit příznivé podmínky pro zvýšení síly a hloubky znalostí žáků, zajistit vědomou asimilaci matematických pojmů.
Nestandardní úkoly:
neměli by mít hotové algoritmy, které by si děti zapamatovaly;
by měl být obsahově přístupný všem studentům;
musí být obsahově zajímavé;
Pro řešení nestandardních problémů by studenti měli mít dostatek znalostí, které v programu získali.
Řešení nestandardních úloh aktivuje aktivitu žáků. Studenti se učí porovnávat, třídit, zobecňovat, analyzovat, což přispívá k silnější a vědomější asimilaci znalostí.
Jak ukázala praxe, nestandardní úkoly jsou velmi užitečné nejen pro lekce, ale také pro mimoškolní aktivity, pro úkoly olympiády, protože to otevírá příležitost skutečně rozlišit výsledky každého účastníka. Takové úlohy lze s úspěchem použít i jako samostatné úkoly pro ty studenty, kteří si snadno a rychle poradí s hlavní částí. samostatná práce ve třídě, nebo pro ty, kteří si to přejí dodatečné úkoly. V důsledku toho studenti obdrží intelektuální rozvoj a příprava na aktivní praktickou činnost.
Obecně přijímaná klasifikace nestandardních úkolů neexistuje, ale B.A. Kordemsky identifikuje následující typy takových úkolů:
· Úkoly související se školním kurzem matematiky, ale se zvýšenou obtížností - např. úlohy matematických olympiád. Jsou určeny především školákům s vyhraněným zájmem o matematiku; tematicky jsou tyto úkoly obvykle spojeny s tou či onou konkrétní částí školního vzdělávacího programu. Cvičení s tím související prohlubují vzdělávací materiál, doplňují a zobecňují jednotlivá ustanovení. školní kurz, rozšiřovat matematické obzory, rozvíjet dovednosti při řešení náročných problémů.
· Problémy typu matematické zábavy. Nesouvisí přímo se školním vzdělávacím programem a zpravidla nevyžadují velkou matematickou přípravu. To však neznamená, že do druhé kategorie úloh patří pouze snadná cvičení. Zde jsou problémy s velmi obtížným řešením a takové problémy, jejichž řešení dosud nebylo dosaženo. „Nestandardní úkoly, podané zábavnou formou, vnášejí do duševních činností emocionální moment. Nesouvisí s nutností pokaždé k jejich řešení uplatňovat naučená pravidla a techniky, vyžadují mobilizaci všech nashromážděných znalostí, naučit je hledat originální, nepředablonové způsoby řešení, obohatit umění řešit krásné příklady, donutí vás obdivovat sílu mysli“.
Mezi tyto typy úkolů patří:
různé numerické hádanky („... příklady, ve kterých jsou všechna nebo některá čísla nahrazena hvězdičkami nebo písmeny. Stejná písmena nahrazují stejná čísla, různá písmena- různá čísla ".) a hádanky pro vynalézavost;
logické úkoly, jehož řešení nevyžaduje výpočty, ale je založeno na konstrukci řetězce exaktních úvah;
úkoly, jejichž řešení je založeno na kombinaci matematického rozvoje a praktické vynalézavosti: vážení a transfuze ve ztížených podmínkách;
matematická sofistika je záměrný, falešný závěr, který se zdá být správný. (Sofismus je důkazem nepravdivého tvrzení a chyba v důkazu je dovedně maskována. Sofismus v řečtině znamená mazaný vynález, trik, hlavolam);
vtipné úkoly;
kombinatorické problémy, ve kterém jsou uvažovány různé kombinace daných objektů, které splňují určité podmínky (B.A. Kordemsky, 1958).
Neméně zajímavá je klasifikace nestandardních problémů uváděná I.V. Jegorčenko:
úkoly zaměřené na hledání vztahů mezi danými objekty, procesy nebo jevy;
úkoly, které jsou neřešitelné nebo neřešitelné prostřednictvím školního kurzu na dané úrovni znalostí studentů;
Úkoly, které vyžadují:
vedení a používání analogií, určování rozdílů mezi danými objekty, procesy nebo jevy, stanovení opaku daných jevů a procesů nebo jejich antipodů;
provedení praktické ukázky, abstrakce od určitých vlastností předmětu, procesu, jevu nebo konkretizace jedné či druhé stránky tohoto jevu;
navázání kauzálních vztahů mezi danými objekty, procesy nebo jevy;
konstrukce kauzálních řetězců analytickým nebo syntetickým způsobem s následnou analýzou výsledných možností;
správná implementace posloupnosti určitých akcí, vyvarování se chyb – „pastí“;
realizace přechodu z rovinné do prostorové verze daného procesu, objektu, jevu nebo naopak (I.V. Egorchenko, 2003).
Neexistuje tedy jednotná klasifikace nestandardních úkolů. Je jich více, ale autor práce použil klasifikaci navrženou I.V. Egorčenko.
1.3 Metody řešenístandardní úkoly
Ruský filolog Dmitrij Nikolajevič Ušakov ve svém výkladový slovník uvádí takovou definici pojmu „metoda“ – způsob, způsob, technika teoretický výzkum nebo praktická realizace něčeho (D. N. Ushakov, 2000).
Jaké jsou metody výuky řešení úloh v matematice, které v současnosti považujeme za nestandardní? Bohužel nikdo nepřišel na univerzální recept, vzhledem k jedinečnosti těchto úkolů. Někteří učitelé trénují v šablonových cvičeních. Děje se to následovně: učitel ukáže cestu k řešení a student to pak při řešení úloh mnohokrát opakuje. Zároveň se ubíjí zájem studentů o matematiku, což je přinejmenším smutné.
V matematice neexistují žádná obecná pravidla, která by umožňovala řešit jakýkoli nestandardní problém, protože takové problémy jsou do jisté míry jedinečné. Nestandardní úkol je ve většině případů vnímán jako „výzva pro intelekt a vyvolává potřebu realizovat se v překonávání překážek, v rozvoji tvůrčích schopností“ .
Zvažte několik metod řešení nestandardních problémů:
· algebraické;
· aritmetika;
metoda výčtu;
způsob uvažování;
praktický;
metoda hádání.
Algebraická metodařešení problémů rozvíjí tvůrčí schopnosti, schopnost zobecňovat, formy abstraktní myšlení a má takové výhody, jako je stručnost psaní a uvažování při sestavování rovnic, šetří čas.
Za účelem vyřešení problému algebraická metoda nutné:
· analyzovat problém s cílem vybrat hlavní neznámou a identifikovat vztah mezi veličinami, jakož i vyjádření těchto závislostí v matematickém jazyce ve formě dvou algebraických výrazů;
najděte základ pro spojení těchto výrazů se znaménkem "=" a vytvořte rovnici;
najít řešení výsledné rovnice, zorganizovat kontrolu řešení rovnice.
Všechny tyto fáze řešení problému na sebe logicky navazují. Jako speciální stupeň uvádíme například hledání základu pro spojení dvou algebraických výrazů se znaménkem rovná se, ale je zřejmé, že v předchozí fázi se tyto výrazy netvoří libovolně, ale s přihlédnutím k možnosti jejich spojení se znakem „=“.
Jak identifikace závislostí mezi veličinami, tak převod těchto závislostí do matematického jazyka vyžadují intenzivní analytickou a syntetickou mentální aktivitu. Úspěch v této aktivitě závisí zejména na tom, zda žáci vědí, jaké vztahy mohou mít tyto veličiny obecně, a zda chápou skutečný význam těchto vztahů (například vztahy vyjádřené pojmy „později do ...“, „ starší o ...krát“ a tak dále.). Dalším krokem je pochopit jak matematická akce nebo, vlastnost akce nebo jaké spojení (závislost) mezi složkami a výsledkem akce může popisovat ten či onen konkrétní vztah.
Uveďme příklad řešení nestandardního problému algebraickou metodou.
Úkol. Rybář chytil rybu. Na otázku: „Jakou má hmotnost?“ odpověděl: „Hmotnost ocasu je 1 kg, hmotnost hlavy je stejná jako hmotnost ocasu a poloviny těla. A hmotnost těla je stejná jako hmotnost hlavy a ocasu dohromady. Jaká je hmotnost ryb?
Nechť x kg je hmotnost tělesa; pak (1+1/2x) kg je hmotnost hlavy. Protože podle podmínky je hmotnost těla rovna součtu hmotností hlavy a ocasu, sestavíme a vyřešíme rovnici:
x = 1 + 1/2x + 1,
4 kg je hmotnost těla, pak 1+1/2 4=3 (kg) je hmotnost hlavy a 3+4+1=8 (kg) je hmotnost celé ryby;
Odpověď: 8 kg.
Aritmetická metodařešení vyžadují i velkou psychickou zátěž, což má pozitivní vliv na rozvoj rozumových schopností, matematické intuice, na utváření schopnosti předvídat reálnou životní situaci.
Zvažte příklad řešení nestandardního problému aritmetickou metodou:
Úkol. Dva rybáři byli dotázáni: "Kolik ryb máte ve vašich koších?"
"V mém košíku je polovina toho, co má v košíku, a 10 dalších," odpověděl první. "A já jich mám v košíku tolik jako on, a dokonce 20," vypočítal druhý. Počítali jsme a teď počítejte vy.
Sestavme schéma problému. Nechť první segment diagramu označuje počet ryb, které má první rybář. Druhý segment označuje počet ryb od druhého rybáře.
Kvůli moderní muž je nutné mít představu o hlavních metodách analýzy dat a pravděpodobnostních vzorcích, které hrají důležitá role ve vědě, technice a ekonomii prvky kombinatoriky, teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky, které jsou snadno pochopitelné pomocí metoda výčtu.
Zařazení kombinatorických úloh do kurzu matematiky zajišťuje pozitivní vliv o rozvoji studentů. „Cílené učení řešení kombinatorických úloh přispívá k rozvoji takové kvality matematického myšlení, jako je variabilita. Proměnlivostí myšlení rozumíme směřování duševní činnosti žáka k hledání různých řešení problému v případě, kdy k tomu nejsou žádné speciální pokyny.
Kombinatorické problémy lze řešit různými metodami. Obvykle lze tyto metody rozdělit na „formální“ a „neformální“. Pomocí metody „formálního“ řešení musíte určit povahu výběru, vybrat vhodný vzorec nebo kombinatorické pravidlo (existují pravidla součtu a součinu), dosadit čísla a vypočítat výsledek. Výsledkem je počet možných opcí, ale samotné opce se v tomto případě netvoří.
U „neformálního“ způsobu řešení vystupuje do popředí proces sestavování různých možností. A hlavní věc není kolik, ale jaké možnosti lze získat. Mezi takové metody patří metoda výčtu. Tato metoda je dostupná i mladším studentům a umožňuje získat zkušenosti s praktickým řešením kombinatorických úloh, které slouží jako základ pro zavádění kombinatorických principů a vzorců v budoucnu. Kromě toho musí člověk v životě nejen určit počet možných možností, ale také všechny tyto možnosti přímo skládat, a po zvládnutí metod systematického výčtu to lze provést racionálněji.
Úkoly jsou rozděleny do tří skupin podle složitosti výčtu:
1. Úkoly, ve kterých musíte provést úplný výčet všech možných možností.
2. Úkoly, u kterých je nepraktické použít techniku úplného výčtu a je nutné některé možnosti okamžitě vyloučit bez jejich zvážení (tj. provést zkrácený výčet).
3. Úlohy, ve kterých se operace výčtu provádí několikrát a ve vztahu k různým druhům objektů.
Zde jsou relevantní příklady úkolů:
Úkol. Umístěním znamének "+" a "-" mezi zadaná čísla 9 ... 2 ... 4 vytvořte všechny možné výrazy.
K dispozici je úplný seznam možností:
a) dva znaky ve výrazu mohou být stejné, pak dostaneme:
9 + 2 + 4 nebo 9 - 2 - 4;
b) dvě znaménka mohou být různá, pak dostaneme:
9 + 2 - 4 nebo 9 - 2 + 4.
Úkol. Učitel říká, že nakreslil 4 obrazce v řadě: velký a malý čtverec, velký a malý kruh tak, aby kruh byl na prvním místě a postavy stejného tvaru nestály vedle sebe, a vyzve žáky, aby hádali pořadí, ve kterém jsou tyto obrázky uspořádány.
Celkem existuje 24 různých uspořádání těchto figurek. A složte je všechny a poté vyberte vhodné tento stav nepraktické, proto se provádí redukovaný výčet.
Může být na prvním místě velký kruh, pak malý může být až na třetím místě, zatímco velký a malý čtverec lze umístit dvěma způsoby - na druhé a čtvrté místo.
Podobné uvažování se provádí, pokud je na prvním místě malý kruh a jsou také sestaveny dvě možnosti.
Úkol. Tři společníci téže firmy uchovávají cenné papíry v trezoru se 3 zámky. Společníci si chtějí mezi sebou rozdělit klíče od zámků, aby bylo možné trezor otevřít pouze za přítomnosti alespoň dvou společníků, ale ne jednoho. Jak to mohu udělat?
Nejprve jsou vyjmenovány všechny možné případy distribuce klíčů. Každý společník může dostat jeden klíč, dva různé klíče nebo tři.
Předpokládejme, že každý společník má tři různé klíče. Pak může trezor otevřít jeden společník, a to nesplňuje podmínku.
Předpokládejme, že každý společník má jeden klíč. Když pak přijdou dva, nebudou moci otevřít trezor.
Dejme každému společníkovi dva různé klíče. První - 1 a 2 klávesy, druhá - 1 a 3 klávesy, třetí - 2 a 3 klávesy. Zkontrolujme, kdy přijdou nějací dva společníci, aby zjistili, zda mohou otevřít trezor.
Může přijít první a druhý společník, budou mít všechny klíče (1 a 2, 1 a 3). Může přijít první a třetí společník, budou mít také všechny klíče (1 a 2, 2 a 3). Konečně může přijít druhý a třetí společník, budou mít také všechny klíče (1 a 3, 2 a 3).
Chcete-li tedy najít odpověď na tento problém, musíte operaci iterace provést několikrát.
Při výběru kombinatorických problémů je třeba věnovat pozornost předmětu a formě prezentace těchto problémů. Je žádoucí, aby úkoly nepůsobily uměle, ale byly pro děti srozumitelné a zajímavé, vyvolávaly v nich pozitivní emoce. Lze použít k vytváření úkolů praktický materiál ze života.
Existují další problémy, které lze vyřešit výčtem.
Jako příklad vyřešme problém: „Marquis Karabas měl 31 let a jeho mladému energickému Kocourovi v botách byly 3 roky, když se události známé z pohádky odehrály. Kolik let od té doby uplynulo, když je nyní Kočka třikrát mladší než její majitel? Výčet možností představuje tabulka.
Věk markýze z Carabasu a Kocoura v botách
14 - 3 = 11 (roky)
Odpověď: Uplynulo 11 let.
Student přitom jakoby experimentuje, pozoruje, porovnává fakta a na základě konkrétních závěrů vyvozuje určité obecné závěry. V procesu těchto pozorování se obohacují jeho reálně-praktické zkušenosti. To je právě praktická hodnota problémů s výčtem. V tomto případě se slovo „výčet“ používá ve smyslu analýzy všech možných případů, které splňují podmínky problému, a ukazuje, že jiná řešení nemohou být.
Tento problém lze vyřešit i algebraickou metodou.
Ať je Kocour x let starý, pak je Markýz 3x, podle stavu problému sestavíme rovnici:
Kočce je nyní 14 let, pak uplynulo 14 - 3 = 11 (let).
Odpověď: Uplynulo 11 let.
způsob uvažování lze použít k řešení matematických sofismů.
Chyby v sofismu obvykle vedou k následujícímu: provádění „zakázaných“ činností, používání chybných kreseb, nesprávné používání slov, nepřesné formulace, „nezákonná“ zobecnění, nesprávné aplikace teorémů.
Odhalit sofismus znamená poukázat na chybu v uvažování, na základě které byl vytvořen vnější vzhled důkazu.
Nejprve se rozvíjí analýza sofismů logické myšlení, vštěpuje dovednosti správného myšlení. Odhalit chybu v sofismu znamená rozpoznat ji a vědomí chyby brání jejímu opakování v jiných matematických úvahách. Kromě kritičnosti matematického myšlení tento typ nestandardních úloh odhaluje flexibilitu myšlení. Podaří se studentovi „vymanit se ze sevření“ této na první pohled přísně logické cesty, přetrhnout řetězec vyvozování právě v tom článku, který je chybný a činí všechny další úvahy chybné?
Analýza sofismů také napomáhá vědomé asimilaci studovaného materiálu, rozvíjí pozorování a kritický postoj ke studovanému.
a) Zde je například sofismus s nesprávnou aplikací věty.
Dokažme, že 2 2 = 5.
Vezměme následující zřejmou rovnost jako počáteční poměr: 4: 4 = 5: 5 (1)
Vyjmeme ze závorek společný faktor v levé a pravé části, dostaneme:
4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)
Čísla v závorkách jsou stejná, takže 4 = 5 nebo 2 2 = 5.
V uvažování se při přechodu od rovnosti (1) k rovnosti (2) vytváří iluze pravděpodobnosti na základě falešné analogie s distributivní vlastností násobení s ohledem na sčítání.
b) Sofismus využívající „nedovolené“ zobecnění.
Existují dvě rodiny - Ivanovové a Petrové. Každý se skládá ze 3 osob – otce, matky a syna. Otec Ivanov nezná otce Petrova. Ivanovova matka nezná Petrovu matku. Jediný syn Ivanovů nezná jediného syna Petrovů. Závěr: ani jeden člen rodiny Ivanov nezná jediného člena rodiny Petrovů. Je to pravda?
Pokud člen rodiny Ivanov nezná člena rodiny Petrovových rovného rodinným stavem, neznamená to, že nezná celou rodinu. Například Ivanovův otec může znát Petrovovu matku a syna.
Metodu uvažování lze použít i k řešení logických problémů. Sublogické úlohy jsou obvykle chápány jako úlohy, které jsou řešeny pouze pomocí logických operací. Někdy jejich řešení vyžaduje zdlouhavé uvažování, jehož potřebný směr nelze předem předvídat.
Úkol. Říká se, že Tortila dala zlatý klíč Pinocchiovi ne tak jednoduše, jak řekl A. N. Tolstoj, ale úplně jinak. Vytáhla tři krabice: červenou, modrou a zelenou. Na červeném poli bylo napsáno: „Tady leží zlatý klíč“ a na modrém – „Zelené pole je prázdné“ a na zeleném – „Tady sedí had“. Tortila přečetl nápisy a řekl: „Opravdu, v jedné krabici je zlatý klíč, ve druhé had a třetí je prázdná, ale všechny nápisy jsou špatné. Pokud uhodnete, která krabice obsahuje zlatý klíč, je váš." Kde je zlatý klíč?
Protože všechny nápisy na krabicích jsou nesprávné, červená krabice neobsahuje zlatý klíč, zelená krabice není prázdná a není v ní žádný had, což znamená, že klíč je v zeleném poli, had je v červená a modrá je prázdná.
Při řešení logických úloh se aktivuje logické myšlení, a to je schopnost vyvozovat důsledky z premis, která je nezbytná pro úspěšné zvládnutí matematiky.
Rébus je hádanka, ale hádanka není úplně obyčejná. Slova a čísla v matematických hádankách jsou znázorněna pomocí kreseb, hvězdiček, čísel a různých znaků. Abyste si přečetli, co je v rébusu zašifrováno, musíte správně pojmenovat všechny zobrazené objekty a pochopit, který znak co znázorňuje. Lidé používali hádanky, i když neuměli psát. Své dopisy skládali z předmětů. Například kdysi vůdci jednoho kmene poslali svým sousedům místo dopisu ptáčka, myš, žábu a pět šípů. To znamenalo: „Umíš létat jako ptáci a schovávat se v zemi jako myši, skákat bažinami jako žáby? Pokud nevíte jak, tak se s námi nepokoušejte bojovat. Jakmile vstoupíte do naší země, budeme vás bombardovat šípy.“
Soudě podle prvního písmene součtu 1), D = 1 nebo 2.
Předpokládejme, že D = 1. Potom Y? 5. Y \u003d 5 je vyloučeno, protože P se nemůže rovnat 0. Y? 6, protože 6 + 6 = 12, tzn. P = 2. Ale taková hodnota P není vhodná pro další ověřování. Stejně tak U? 7.
Předpokládejme, že Y = 8. Pak P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.
Magický (magický) čtverec je čtverec, ve kterém je součet čísel svisle, vodorovně a diagonálně stejný.
Úkol. Uspořádejte čísla od 1 do 9 tak, abyste svisle, vodorovně a diagonálně dostali stejný součet čísel rovný 15.
Přestože neexistují obecná pravidla pro řešení nestandardních problémů (proto se těmto problémům říká nestandardní), pokusili jsme se uvést řadu obecných vodítek – doporučení, kterými je třeba se řídit při řešení nestandardních problémů různého typu .
Každý nestandardní úkol je originální a jedinečný svým řešením. V tomto ohledu vyvinutá metodika výuky vyhledávacích činností při řešení nestandardních úkolů netvoří dovednosti pro řešení nestandardních úkolů, lze hovořit pouze o rozvíjení určitých dovedností:
schopnost porozumět úkolu, zvýraznit hlavní (podpůrná) slova;
schopnost identifikovat stav a otázku, známý a neznámý v problému;
schopnost najít spojení mezi daty a požadovaným, to znamená analyzovat text problému, jehož výsledkem je volba aritmetické operace nebo logické operace pro řešení nestandardního problému;
schopnost zaznamenávat průběh řešení a odpověď na problém;
· schopnost vykonávat další práci na úkolu;
Schopnost vybírat užitečné informace obsažené v problému samotném, v procesu jeho řešení, systematizovat tyto informace, korelovat je s již existujícími znalostmi.
Nestandardní úkoly rozvíjejí prostorové myšlení, které se projevuje ve schopnosti znovu vytvářet v mysli prostorové obrazy objektů a provádět s nimi operace. Prostorové myšlení se projevuje při řešení problémů typu: „Na okraj kulatého dortu bylo umístěno pět teček krému ve stejné vzdálenosti od sebe. Řezy byly provedeny přes všechny dvojice hrotů. Kolik kousků dortu jste dostali celkem?
praktická metoda lze uvažovat o nestandardních problémech dělení.
Úkol. Hůl je třeba rozřezat na 6 kusů. Kolik řezů bude potřeba?
Řešení: Řezy budou potřebovat 5.
Při studiu nestandardních problémů dělení musíte pochopit: abyste mohli rozřezat segment na části P, měli byste provést řez (P - 1). Tuto skutečnost je třeba u dětí induktivně zjistit a následně využít při řešení problémů.
Úkol. V třímetrové tyči - 300 cm. Musí být nakrájen na tyče o délce 50 cm. Kolik řezů musíte udělat?
Řešení: Dostaneme 6 taktů 300: 50 = 6 (takty)
Hádáme takto: k rozdělení tyče na polovinu, to znamená na dvě části, musíte udělat 1 řez, na 3 části - 2 řezy a tak dále, na 6 částí - 5 řezů.
Takže musíte udělat 6 - 1 = 5 (řezů).
Odpověď: 5 řezů.
Jedním z hlavních motivů, které studenty povzbuzují ke studiu, je tedy zájem o předmět. Zájem je aktivní kognitivní orientace člověka na určitý předmět, jev a činnost, vytvořená s pozitivním emočním vztahem k nim. Jedním z prostředků rozvoje zájmu o matematiku jsou nestandardní úlohy. Nestandardní úlohou se rozumí takové úlohy, pro které v průběhu matematiky neexistují obecná pravidla a předpisy, které by určovaly přesný program jejich řešení. Řešení takových problémů umožňuje studentům aktivně se zapojit vzdělávací aktivity. Existují různé klasifikace problémů a způsoby jejich řešení. Nejčastěji se používají algebraické, aritmetické, praktické metody a výčet, uvažování a dohady.
2. Formaceškolní dětischopnost řešit nestandardní úkoly
2.1 Nestandardní úkoly pro žáky ZŠ
Didaktický materiál je určen pro žáky a učitele základních škol. Obsahuje nestandardní matematické úlohy, které lze využít ve výuce i během mimoškolní aktivity. Úlohy jsou strukturovány metodami řešení: aritmetika, praktické metody, výčet, uvažování a předpoklady. Úkoly jsou prezentovány v různých typech: matematická zábava; různé číselné hádanky; logické úkoly; úkoly, jejichž řešení je založeno na kombinaci matematického rozvoje a praktické vynalézavosti: vážení a transfuze ve ztížených podmínkách; matematické sofismy; vtipné úkoly; kombinatorické úkoly. Řešení a odpovědi jsou uvedeny pro všechny problémy.
· Řešte problémy aritmetickou metodou:
1. Sečteno 111 tisíc, 111 stovek a 111 kusů. jaké to bylo číslo?
2. Kolik dostanete, když sečtete čísla: nejmenší dvouciferné, nejmenší trojciferné, nejmenší čtyřciferné?
3. Úkol:
„K šedému klobouku na lekci
Přišlo sedm čtyřicet
A z nich jen 3 straky
Připravené lekce.
Kolik povalečů-čtyřicet
Dorazili jste na lekci?
4. Péťa potřebuje ujít 4x více kroků než Kolja. Kolja bydlí ve třetím patře. V jakém patře bydlí Péťa?
5. Dle ordinace lékaře pro pacienta bylo v lékárně zakoupeno 10 tablet. Lékař předepsal užívání léku 3 tablety denně. Kolik dní tento lék vydrží?
· Řešení problémů pomocí výčtu:
6. Místo hvězdičky vložte znaménka „+“ nebo „-“, abyste získali správnou rovnost:
a) 2*3*1 = 6;
b) 6*2*3 = 1;
c) 2*3*1 = 4;
d) 8*1*4 = 5;
e) 7 * 2 * 4 = 5.
7. Mezi čísly nejsou žádná znaménka „+“ a „-“. Značky je nutné co nejrychleji uspořádat tak, aby vyšlo 12.
a) 2 6 3 4 5 8 = 12;
b) 9 8 1 3 5 2 = 12;
c) 8 6 1 7 9 5 = 12;
d) 3 2 1 4 5 3 = 12;
e) 7 9 8 4 3 5 = 12.
8. Olya dostala k narozeninám 4 knihy s pohádkami a básněmi. Bylo více pohádkových knih než knih poezie. Kolik knih s pohádkami dostalo Olya?
9. Vanya a Vasya se rozhodli koupit sladkosti za všechny své peníze. Ano, to je smůla: měli peníze na 3 kg cukroví a prodavač měl jen váhy 5 kg a 2 kg. Ale Váňa a Vasja mají z matematiky „A“ a podařilo se jim koupit, co chtěli. jak to udělali?
10. Tři přítelkyně - Vera, Olya a Tanya - šly do lesa sbírat bobule. Na sběr lesních plodů měli košík, košík a vědro. Je známo, že Olya nebyla s košíkem a ne s košíkem, Vera nebyla s košíkem. Co si každá z dívek vzala s sebou na sběr lesních plodů?
11. V gymnastických soutěžích Zajíc, Opice, Boa constrictor a Papoušek obsadili první 4 místa. Určete, kdo obsadil jaké místo, pokud je známo, že Zajíc - 2, Papoušek se nestal vítězem, ale dostal se mezi vítěze cen a Hroznýš prohrál s Opicí.
12. Mléko, limonáda, kvas a voda se nalévají do láhve, sklenice, džbánu a zavařovací sklenice. Je známo, že voda a mléko není v láhvi, ve sklenici není limonáda ani voda, ale nádoba s limonádou stojí mezi džbánem a nádobou s kvasem. Sklenice stojí poblíž sklenice a nádoby s mlékem. Určete, která kapalina je která.
13. Na novoroční párty byly aktivními účastníky tři kamarádky Anya, Vera a Dasha, jednou z nich byla Sněhurka. Když se jejich přátelé zeptali, kdo z nich je Sněhurka, Anya jim řekla: „Každý z nás vám na vaši otázku odpoví. Z těchto odpovědí musíte sami uhodnout, kdo z nás byl vlastně Sněhurka. Ale věz, že Dáša vždy říká pravdu.“ - "Dobře," odpověděli přátelé, "poslouchejme vaše odpovědi. Je to dokonce zajímavé."
Anya: "Byla jsem Sněhurka."
Věra: "Nebyla jsem Sněhurka."
Dáša: "Jeden z nich mluví pravdu a druhý lže."
Tak kdo z přátel na novoroční párty byla Sněhurka?
14. Schodiště se skládá z 9 schodů. Na který schod musíte stát, abyste byli přesně uprostřed schodiště?
15. Jaká je střední příčka 12 příčkového žebříku?
16. Anya řekla svému bratrovi: „Jsem o 3 roky starší než ty. O kolik let budu starší než ty za 5 let?
17. Rozdělte ciferník hodin na dvě části přímkou tak, aby se součty čísel v těchto částech rovnaly.
18. Rozdělte ciferník hodin dvěma rovnými čarami na tři části tak, abyste sečtením čísel získali v každé části stejné množství.
· Vyřešte problémy praktickou metodou:
19. Lano bylo přeříznuto na 6 místech. Kolik dílů to vyrobilo?
20. Bylo tam 5 bratrů. Každý bratr má jednu sestru. Kolik lidí chodilo?
21. Co je těžší: kilogram vaty nebo půl kilogramu železa?
22. Kohout stojící na jedné noze váží 3 kg. Kolik bude vážit kohout stojící na dvou nohách?
· Řešit problémy metoda odhadu:
23. Jak napsat číslo 10 s pěti stejnými čísly a spojit je s akčními znaky?
24. Jak napsat číslo 10 se čtyřmi různými čísly a spojit je s akčními znaky?
25. Jak lze zapsat číslo 5 jako tři stejná čísla a spojit je s akčními znaky?
26. Jak lze zapsat číslo 1 jako tři různá čísla spojením s akčními znaky?
27. Jak načerpat 2 litry vody z kohoutku pomocí šestilitrových a čtyřlitrových nádob?
28. Sedmilitrová nádoba je naplněna vodou. Nedaleko je pětilitrová nádoba a ta už obsahuje 4 litry vody. Kolik litrů vody se musí nalít z větší nádoby do menší, aby se naplnila až po okraj? Kolik litrů vody poté zůstane ve větší nádobě?
29. Slůně onemocnělo. K jeho léčbě jsou zapotřebí přesně 2 litry pomerančového džusu a doktor Aibolit má pouze plnou pětilitrovou sklenici džusu a prázdnou třílitrovou sklenici. Jak může Aibolit odměřit přesně 2 litry šťávy?
30. Medvídkovi Pú, prasátku a králíkovi se stal neuvěřitelný příběh. Dříve Medvídek Pú miloval med, Králík - zelí, Prasátko - žaludy. Ale jednou v začarovaném lese a hladoví zjistili, že se jejich chutě změnily, ale přesto každý preferuje jednu věc. Králík řekl: "Já nejím zelí a žaludy." Prasátko mlčelo a Medvídek Pú poznamenal: "Ale já nemám rád zelí." Kdo rád jí?
Odpovědi a řešení
1. 111000 + 11100 + 111 = 122211.
2. 10 + 100 + 1000 = 110.
4. Péťa bydlí v 9. patře. Kolja bydlí ve třetím patře. Do třetího patra vedou 2 „lety“: z prvního do druhého, z druhého do třetího. Protože Péťa potřebuje projít 4x více kroků, pak 2 4 = 8. Kolja tedy potřebuje projít 8 „lety“ a do 9. patra 8 „lety“.
5. 3+3+3+1=10. Čtvrtý den zůstane pouze 1 tableta.
a) 2 + 3 - 1 = 4;
b) 2 + 3 + 1 = 6;
c) 6 - 2 - 3 = 1;
d) 8 + 1 - 4 = 5;
e) 7 + 2 - 4 = 5.
a) 2 + 6 - 3 + 4 - 5 + 8 = 12;
b) 9 + 8 + 1 - 3 - 5 + 2 = 12;
c) 8 - 6 - 1 + 7 + 9 - 5 = 12;
d) 3-2-1 + 4 + 5 + 3 = 12;
e) 7 + 9 + 8 - 4 - 3 - 5 = 12.
8. Číslo 4 může být reprezentováno jako součet dvou různých termínů jediná možnost: 4 - 3 + 1. Knih s pohádkami bylo více, takže byly 3.
9. Na jednu pánev s váhou položte 5 kg závaží a na druhou lízátka a 2 kg závaží.
|
malý košík |
||||
10. Uveďme stav problému do tabulky a tam, kde je to možné, uspořádejme pro a proti:
|
opice |
|||||
Ukázalo se, že Opice a Hroznýš byli na prvním a čtvrtém místě, ale jelikož podle podmínky prohrál Hroznýš s Opicí, ukazuje se, že na prvním místě je Opice, Papoušek je v druhý a hroznýš je ve čtvrtém.
11. Do tabulky budou uvedeny podmínky, že voda není v láhvi, mléko není v láhvi, limonáda není ve sklenici, voda není ve sklenici. Z podmínky, že mezi džbánem a nádobou s kvasem stojí nádoba s limonádou, usuzujeme, že limonáda není ve džbánu a kvas není ve džbánu. A protože je sklenice blízko sklenice a nádoby s mlékem, můžeme usoudit, že mléko není ve sklenici a ne ve sklenici. Uspořádáme "+", ve výsledku dostaneme, že mléko je ve džbánu, limonáda v láhvi, kvas ve sklenici a voda ve sklenici.
12. Z prohlášení Dáši dostáváme, že mezi výroky Any a Very je jeden pravdivý a druhý nepravdivý. Pokud je Verino prohlášení nepravdivé, pak dostaneme, že Anya i Vera byly Sněhurky, což nemůže být. Takže Anyino prohlášení musí být nepravdivé. V tomto případě se dostáváme k tomu, že Anya nebyla Sněhurka, ani Vera nebyla Sněhurka. Zůstává, že Sněhurka byla Dáša.
Při vynásobení čísla 51 jednociferným číslem jsme opět dostali dvoumístné číslo. To je možné pouze při vynásobení 1. Druhý faktor je tedy 11.
13. Při vynásobení prvního faktoru 2 dostaneme čtyřmístné číslo a po vynásobení číslicí stovek a číslicí jednotek trojciferná čísla. Dojdeme k závěru, že druhý faktor je 121. První číslice prvního faktoru je 7 a poslední je 6. Dostaneme součin čísel 746 a 121. 1. číslice v 1. faktoru je 7, poslední je 6 .
14. Na pátém kroku.
15. Žebřík o 12 stupních nebude mít střední stupeň, bude mít pouze dvojici středních stupňů – šestý a sedmý. Řešení tohoto problému, stejně jako předchozího, lze zkontrolovat výkresem.
16. Po 3 roky.
17. Musíte nakreslit čáru mezi čísly 3 a 4 a mezi 10 a 9.
18. 11, 12, 1, 2; 9, 10, 3, 4: 5, 6, 7, 8.
19. Získáte 7 dílů.
20. 6 lidí 5 bratrů a 1 sestra.
21. Kilogram bavlny
22. 3 kg.
23. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.
24. 1 + 2 + 3 + 4 = 10
25. 5 + 5 - 5 = 5
26. 4-2-1; 4-1-2; 5-3-1; 6-4-1; 6-2-3 atd.
27. Vytočte šestilitr, nalijte z něj vodu do čtyřlitru, budou 2 litry.
28. Je potřeba nalít 1 litr vody, přičemž ve větší nádobě zůstane 6 litrů.
29. Do třílitrové nádoby nalijte 3 litry šťávy, ve velké nádobě pak zůstanou 2 litry šťávy.
30. Králík - med, Medvídek Pú - žaludy, Prasátko - zelí.
...Podobné dokumenty
Podmínky pro formování kognitivních zájmů ve výuce matematiky. Mimoškolní práce ve škole jako prostředek rozvoje kognitivního zájmu žáků. Matematická hra je formou mimoškolní práce a prostředkem rozvoje kognitivního zájmu žáků.
práce, přidáno 28.05.2008
Psychologické a pedagogické aspekty utváření dovedností k řešení textových problémů u mladších žáků. Analýza požadavků programu na formování dovedností k řešení textových problémů. Metody, formy, techniky utváření dovedností. Diagnostika úrovně formace.
práce, přidáno 14.07.2013
Mezinárodní studium vzdělávacích úspěchů studentů jako měřítko kvality matematické přípravy školáků. Kompetenční přístup jako prostředek zvyšování kvality gramotnosti. Kompetenční matematické problémy.
práce, přidáno 24.06.2009
Psychologické a pedagogické studie rozvoje kognitivního zájmu studentů. Učebnice jako hlavní prostředek vizualizace ve výuce ruského jazyka. Systém práce na utváření kognitivního zájmu žáků pomocí názorných pomůcek.
práce, přidáno 18.10.2011
Hlavní problémy utváření matematických znalostí a dovedností u žáků se sluchovým postižením v mimoškolních aktivitách. Modelování pedagogický proces o utváření matematických znalostí a dovedností u dětí se sluchovým postižením v mimoškolním čase.
semestrální práce, přidáno 14.05.2011
Zkušenost kolektivní kreativity. Mimoškolní aktivity jako prostředek zvýšení zájmu o učení. Test úrovně tvořivost studentů, schopnost činit nestandardní rozhodnutí. Technická tvořivost, řád a obsah přípravy na hodinu.
abstrakt, přidáno 12.08.2010
Studium technologie rozšiřování didaktických jednotek (UDE), jejíž využití přispívá k utváření dovedností samostatné práce u studentů, rozvoji kognitivního zájmu, schopnosti osvojit si znalosti a zvýšit objem studovaného materiálu.
kontrolní práce, přidáno 02.05.2011
Poznávací činnost žáků nutná podmínkaúspěšnost procesu výuky školáků v 8. ročníku. Prostředky aktivace kognitivní činnosti. Studie vlivu nestandardních forem výuky: didaktická hra, historické úkoly.
práce, přidáno 08.09.2008
Studium psychologických a pedagogických charakteristik žáků základní školy. Charakteristika systému organizace mimoškolní práce v matematice a metodika její realizace. Rozvoj systému kruhových hodin matematiky hravou formou.
práce, přidáno 20.05.2012
Role a význam nestandardních hodin matematiky při utváření kognitivního zájmu mladší školáci. Experimentální práce na formování kognitivního zájmu školáků o výuku-exkurze matematiky na ZŠ.
Řešení zábavného aritmetického problému.
Pro 3-5 ročníků
Kolik draků?
2hlaví a 7hlaví draci se sešli na shromáždění.
Na samém začátku rallye Dračí král – 7hlavý drak spočítal všechny hlavy všech shromážděných.
Rozhlédl se kolem své korunované střední hlavy a uviděl 25 hlav.
Král byl potěšen výsledky výpočtů a poděkoval všem přítomným za účast na shromáždění.
Kolik draků přišlo na shromáždění?
(a) 7; (b) 8; 9; (d) 10; (e) 11;
Řešení:
Odečtěte od 25 hlav napočítaných Dračím králem 6 hlav, které mu patří.
Zbývá 19 branek. Všichni zbývající draci nemohou být dvouhlaví (19 je liché číslo).
Může být pouze 1 7hlavý drak (pokud 2, pak bude pro dvouhlavé draky lichý počet hlav. A pro tři draky není dost hlav: (7 3 \u003d 21> 19).
Odečtěte od 19 hlav 7 hlav tohoto jediného draka a získejte celkový počet hlav patřících dvouhlavým drakům.
Proto dvouhlaví draci:
(19 - 7) / 2 = 6 draků.
Celkem: 6 +1 +1 (král) = 8 draků.
Správná odpověď: b = 8 draků
♦ ♦ ♦
Řešení zábavného matematického problému
Pro 4-8 ročníků
Kolik výher?
Nikita a Alexander hrají šachy.
Před začátkem hry se dohodli
že vítěz hry získá 5 bodů, poražený nezíská žádné body a každý hráč získá 2 body, pokud hra skončí remízou.
Odehráli 13 zápasů a získali dohromady 60 bodů.
Alexander získal třikrát více bodů za hry, které vyhrál, než za ty, které byly remízovány.
Kolik vítězství vyhrál Nikita?
(a) 1; (b) 2; 3; (d) 4; (e) 5;
Správná odpověď: (b) 2 výhry (vyhrál Nikita)
Řešení.
Každá hra v remíze dává 4 body do prasátka a výhra - 5 bodů.
Pokud by všechny partie skončily remízou, pak by kluci získali 4 13 = 52 bodů.
Získali ale 60 bodů.
Z toho vyplývá, že 8 her skončilo výhrou někoho.
A 13 - 5 = 5 partií skončilo remízou.
Alexander získal 5 2 = 10 bodů za 5 remíz, což znamená, že když vyhrál, získal 30 bodů, to znamená, že vyhrál 6 her.
Poté Nikita vyhrál (8-6=2) 2 hry.
♦ ♦ ♦
Řešení zábavného aritmetického problému
Pro 4-8 ročníků
Kolik dní bez jídla?
Marťanská meziplanetární loď dorazila na návštěvu Země.
Marťané jedí maximálně jednou denně, buď ráno, v poledne nebo večer.
Jedí ale jen tehdy, když mají hlad. Bez jídla vydrží několik dní.
Během pobytu Marťanů na Zemi jedli 7x.
Víme také, že byli bez jídla 7x ráno, 6x v poledne a 7x večer.
Kolik dní během své návštěvy byli Marťané bez jídla?
(a) 0 dnů; (b) 1 den; 2 dny; (d) 3 dny; (e) 4 dny; a) 5 dnů;
Správná odpověď: 2 dny (Marťané byli bez jídla)
Řešení.
Marťané jedli 7 dní, jedno jídlo denně, a počet dní, kdy večeřeli, byl jeden další číslo dny, kdy snídali nebo večeřeli.
Na základě těchto údajů je možné sestavit harmonogram jídla pro Marťany. Pravděpodobný obrázek je tento.
Mimozemšťané měli oběd první den, večeři druhý, snídani třetí, oběd čtvrtý, večeři pátý, snídani šestý a oběd sedmý.
To znamená, že Marťané snídali 2 dny a strávili 7 dní bez snídaně, večeřeli - 2krát a 7 dní strávili bez večeře, 3krát obědvali a 6 dní žili bez oběda.
Takže 7 + 2 = 9 a 6 + 3 = 9 dní. Žili tedy na Zemi 9 dní a 2 z nich byli bez jídla (9 - 7 = 2).
♦ ♦ ♦
Řešení zábavného nestandardního problému
Pro 4-8 ročníků
Jak dlouho?
Cyklista a chodec zároveň opustili bod A a stálou rychlostí zamířili do bodu B.
Cyklista přijel do bodu B a hned se vrátil a potkal chodce hodinu poté, co opustili bod A.
Zde se Cyklista opět otočil a oba se dali do pohybu směrem k bodu B.
Když cyklista dosáhl bodu B, znovu se otočil a 40 minut po jejich prvním setkání se znovu setkal s chodcem.
Jaký je součet číslic čísla vyjadřujícího čas (v minutách) potřebný k tomu, aby se Chodec dostal z bodu A do bodu B?
(a) 2; (b) 14; 12; (d) 7; (e)9.
Správná odpověď: e) 9 (součet číslic čísla 180 minut je doba, kterou chodec přejde z bodu A do bodu B)
Vše bude jasné, když nakreslíte kresbu.
Najděte rozdíl mezi dvěma cestami cyklisty (jedna cesta je z A do prvního setkání (plná zelená čára), druhá cesta je z prvního setkání do druhého (tečkovaná zelená čára)).
Dostaneme, že tento rozdíl je přesně roven vzdálenosti z bodu A do druhého setkání.
Tuto vzdálenost urazí chodec za 100 minut a cyklista za 60 minut - 40 minut = 20 minut. Cyklista jede tedy 5x rychleji.
Označme vzdálenost z bodu A do bodu, kde se konal 1 sraz jako jeden díl, a cestu cyklisty k 1. srazu jako 5 dílů.
Společně v době, kdy se poprvé setkali, urazili dvojnásobnou vzdálenost mezi body A a B, tj. 5 + 1 = 6 dílů.
Proto od A do B - 3 díly. Po první schůzce bude muset chodec jít ještě 2 části do bodu B.
Celou vzdálenost urazí za 3 hodiny nebo 180 minut, protože 1 část urazí za 1 hodinu.
Pojem „nestandardní úkol“ používá mnoho metodiků. Takže Yu. M. Kolyagin odhaluje tento koncept takto: „Pod nestandardní pochopil úkol, při jehož předložení studenti předem nevědí ani způsob řešení, ani o jaký výukový materiál řešení vychází.
Definice nestandardního problému je také uvedena v knize “Jak se naučit řešit problémy” od autorů L.M. Fridman, E.N. turečtina: " Nestandardní úkoly- to jsou ty, pro které v matematice neexistují obecná pravidla a předpisy určující přesný program jejich řešení.
Nezaměňujte nestandardní úkoly s úkoly se zvýšenou složitostí. Podmínky problémů se zvýšenou složitostí jsou takové, že umožňují studentům poměrně snadno vybrat matematický aparát, který je potřebný k řešení problému v matematice. Učitel řídí proces upevňování znalostí poskytovaných vzdělávacím programem řešením problémů tohoto typu. Ale nestandardní úkol znamená přítomnost průzkumné povahy. Pokud je však řešení problému v matematice pro jednoho studenta nestandardní, protože není obeznámen s metodami řešení problémů tohoto typu, pak pro jiného dochází k řešení problému standardním způsobem, protože má již vyřešil takové problémy a více než jeden. Stejná úloha v matematice v 5. třídě je nestandardní a v 6. třídě je běžná, a to ani ne příliš složitá.
Analýza učebnic a učebních pomůcek v matematice ukazuje, že každá textová úloha za určitých podmínek může být nestandardní a v jiných - běžná, standardní. Standardní problém v jednom kurzu matematiky může být v jiném kurzu nestandardní.
Na základě analýzy teorie a praxe používání nestandardních úloh ve výuce matematiky lze stanovit jejich obecnou i specifickou roli. Nestandardní úkoly:
- · naučit děti nejen používat hotové algoritmy, ale také samostatně nacházet nové způsoby řešení problémů, tzn. přispívat ke schopnosti nacházet originální způsoby řešení problémů;
- ovlivnit rozvoj vynalézavosti, vynalézavosti žáků;
- Zabraňují rozvoji škodlivých klišé při řešení problémů, ničí nesprávné asociace ve znalostech a dovednostech studentů, nezahrnují ani tak asimilaci algoritmických technik, ale objevování nových souvislostí ve znalostech, přenos znalostí do nových podmínek, zvládnutí různých metod duševní činnosti;
- vytvořit příznivé podmínky pro zvýšení síly a hloubky znalostí žáků, zajistit vědomou asimilaci matematických pojmů.
Nestandardní úkoly:
- neměli by mít hotové algoritmy, které by si děti zapamatovaly;
- by měl být obsahově přístupný všem studentům;
- musí být obsahově zajímavé;
- Pro řešení nestandardních problémů by studenti měli mít dostatek znalostí, které v programu získali.
Řešení nestandardních úloh aktivuje aktivitu žáků. Studenti se učí porovnávat, třídit, zobecňovat, analyzovat, což přispívá k silnější a vědomější asimilaci znalostí.
Jak ukázala praxe, nestandardní úkoly jsou velmi užitečné nejen pro lekce, ale také pro mimoškolní aktivity, pro úkoly olympiády, protože to otevírá příležitost skutečně rozlišit výsledky každého účastníka. Takové úkoly lze s úspěchem použít jako samostatné úkoly pro ty studenty, kteří snadno a rychle zvládnou hlavní část samostatné práce v hodině, nebo pro ty, kteří si přejí úkoly doplňkové. Výsledkem je intelektuální rozvoj studentů a příprava na aktivní praktickou činnost.
Obecně přijímaná klasifikace nestandardních úkolů neexistuje, ale B.A. Kordemsky identifikuje následující typy takových úkolů:
- · Úkoly související se školním kurzem matematiky, ale se zvýšenou obtížností - např. úlohy matematických olympiád. Jsou určeny především školákům s vyhraněným zájmem o matematiku; tematicky jsou tyto úkoly obvykle spojeny s tou či onou konkrétní částí školního vzdělávacího programu. Cvičení s tím související prohlubují výukový materiál, doplňují a zobecňují jednotlivá ustanovení školního kurzu, rozšiřují matematické obzory a rozvíjejí dovednosti při řešení obtížných problémů.
- · Problémy typu matematické zábavy. Nesouvisí přímo se školním vzdělávacím programem a zpravidla nevyžadují velkou matematickou přípravu. To však neznamená, že do druhé kategorie úloh patří pouze snadná cvičení. Zde jsou problémy s velmi obtížným řešením a takové problémy, jejichž řešení dosud nebylo dosaženo. „Nestandardní úkoly, podané zábavnou formou, vnášejí do duševních činností emocionální moment. Nesouvisí s nutností vždy aplikovat naučená pravidla a techniky k jejich řešení, vyžadují mobilizaci všech nashromážděných znalostí, naučit je hledat originální, nestandardní způsoby řešení, obohatit umění řešit o krásné příklady, udělat je obdivovat sílu mysli.
Mezi tyto typy úkolů patří:
různé numerické hádanky ("... příklady, ve kterých jsou všechna nebo některá čísla nahrazena hvězdičkami nebo písmeny. Stejná písmena nahrazují stejná čísla, různá písmena - různá čísla" .) a hádanky pro vynalézavost;
logické úlohy, jejichž řešení nevyžaduje výpočty, ale je založeno na konstrukci řetězce exaktního uvažování;
úkoly, jejichž řešení je založeno na kombinaci matematického rozvoje a praktické vynalézavosti: vážení a transfuze ve ztížených podmínkách;
matematická sofistika je záměrný, falešný závěr, který se zdá být správný. (Sofismus je důkazem nepravdivého tvrzení a chyba v důkazu je dovedně maskována. Sofismus v řečtině znamená mazaný vynález, trik, hlavolam);
vtipné úkoly;
kombinatorické problémy, ve kterých jsou uvažovány různé kombinace daných objektů, které splňují určité podmínky (B.A. Kordemsky, 1958).
Neméně zajímavá je klasifikace nestandardních problémů uváděná I.V. Jegorčenko:
- úkoly zaměřené na hledání vztahů mezi danými objekty, procesy nebo jevy;
- úkoly, které jsou neřešitelné nebo neřešitelné prostřednictvím školního kurzu na dané úrovni znalostí studentů;
- Úkoly, které vyžadují:
vedení a používání analogií, určování rozdílů mezi danými objekty, procesy nebo jevy, stanovení opaku daných jevů a procesů nebo jejich antipodů;
provedení praktické ukázky, abstrakce od určitých vlastností předmětu, procesu, jevu nebo konkretizace jedné či druhé stránky tohoto jevu;
navázání kauzálních vztahů mezi danými objekty, procesy nebo jevy;
konstrukce kauzálních řetězců analytickým nebo syntetickým způsobem s následnou analýzou výsledných možností;
správná implementace posloupnosti určitých akcí, vyvarování se chyb – „pastí“;
realizace přechodu z rovinné do prostorové verze daného procesu, objektu, jevu nebo naopak (I.V. Egorchenko, 2003).
Neexistuje tedy jednotná klasifikace nestandardních úkolů. Je jich více, ale autor práce použil klasifikaci navrženou I.V. Egorčenko.
Testy a dotazníky 3. stupeň.
Je známo, že řešení textových úloh představuje pro studenty velké potíže. Je také známo, která fáze řešení je obzvláště obtížná. Toto je úplně první fáze - analýza textu problému. Studenti se špatně orientují v textu problému, v jeho podmínkách a požadavcích. Text úkolu je příběhem o některých životních faktech: „Masha běžela 100 m a směrem k ní ...“,
„Studenti prvního stupně koupili 12 karafiátů a žáci druhého…“, „Mistr vyrobil 20 dílů na směnu a jeho žák…“.
V textu je důležité vše; A postavy a jejich akce a číselné charakteristiky. Při práci s matematickým modelem problému (číselným vyjádřením nebo rovnicí) jsou některé tyto detaily vynechány. Ale právě učíme schopnost abstrahovat od některých vlastností a používat jiné.
Schopnost orientovat se v textu matematického problému je důležitým výsledkem a důležitou podmínkou obecný vývoj student. A to musíte dělat nejen v hodinách matematiky, ale také v hodinách čtení a výtvarného umění. Některé úkoly jsou dobrým námětem pro kreslení. A jakýkoli úkol je dobré téma k převyprávění. A pokud jsou ve třídě hodiny divadla, tak se dají zinscenovat nějaké matematické problémy. Všechny tyto techniky: převyprávění, kreslení, inscenace – se samozřejmě mohou odehrávat i v samotných hodinách matematiky. Takže pracujte na textech matematické problémy- důležitý prvek celkového rozvoje dítěte, prvek vývojového učení.
Stačí k tomu ale úlohy, které jsou dostupné v současných učebnicích a jejichž řešení je zahrnuto v povinném minimu? Ne, nestačí. Povinné minimum zahrnuje schopnost řešit problémy určitých typů:
o počtu prvků určité množiny;
o pohybu, jeho rychlosti, dráze a čase;
o ceně a hodnotě;
o práci, jejím čase, objemu a produktivitě.
Tato čtyři témata jsou standardní. Předpokládá se, že schopnost řešit problémy na tato témata může naučit, jak řešit problémy obecně. Bohužel není. Dobří studenti, kteří umí prakticky řešit
jakýkoli problém z učebnice na vyjmenovaná témata, často nedokážou pochopit podmínku problému na jiné téma.
Východiskem není neomezovat se na žádné téma textových úloh, ale řešit úlohy nestandardní, tedy úlohy, jejichž učivo samo o sobě není předmětem studia. Ostatně zápletky příběhů v hodinách čtení neomezujeme!
Nestandardní problémy je potřeba řešit ve třídě každý den. Lze je najít v učebnicích matematiky pro 5.–6. ročník a v časopisech. Základní škola“, „Matematika ve škole“ a dokonce „Kvantová“.
Počet úkolů je takový, že si z nich můžete vybrat úkoly pro každou lekci: jeden na lekci. Problémy se řeší doma. Velmi často je ale potřebujete ve třídě rozebrat. Mezi navrženými úkoly jsou ty, které silný student řeší okamžitě. Přesto je nutné od silných dětí vyžadovat dostatečné uvažování, vysvětlující, že na lehkých úkolech se člověk naučí způsoby uvažování, které budou potřeba při řešení obtížných problémů. V dětech je třeba vychovávat lásku ke kráse logického uvažování. V krajním případě je možné vynutit si takové uvažování od silných studentů a vyžadovat, aby sestavili vysvětlení, které je srozumitelné pro ostatní – pro ty, kteří rychlému řešení nerozumí.
Mezi úkoly jsou z matematického hlediska naprosto stejného typu. Pokud to děti uvidí, je to skvělé. Učitel to může ukázat sám. Je však nepřijatelné říkat: řešíme tento problém takto a odpověď bude stejná. Faktem je, že za prvé ne všichni studenti jsou schopni takových analogií. A za druhé, u nestandardních úloh není zápletka o nic méně důležitá než matematický obsah. Proto je lepší zdůraznit souvislosti mezi úkoly s podobnou zápletkou.
Ne všechny problémy je třeba řešit (je jich zde více než hodin matematiky v akademický rok). Možná budete chtít změnit pořadí úkolů nebo přidat úkol, který zde není.
