A másodfokú egyenleteket 8. osztályban tanulmányozzák, tehát nincs itt semmi bonyolult. Ezek megoldásának képessége elengedhetetlen.

A másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol az a , b és c együtthatók tetszőleges számok, és a ≠ 0.

A konkrét megoldási módszerek tanulmányozása előtt megjegyezzük, hogy minden másodfokú egyenlet három osztályba osztható:

1. Nincsenek gyökerei;
2. Pontosan egy gyökerük van;
3. Két különböző gyökerük van.

Ez egy fontos különbség a másodfokú és a lineáris egyenletek között, ahol a gyök mindig létezik és egyedi. Hogyan határozható meg, hogy egy egyenletnek hány gyöke van? Van ebben egy csodálatos dolog - diszkriminatív.

Megkülönböztető

Adott legyen másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0. Ekkor a diszkrimináns egyszerűen a D = b 2 − 4ac szám.

Ezt a képletet fejből kell tudni. Hogy honnan származik, az most nem fontos. Egy másik fontos dolog: a diszkrimináns előjelével meghatározhatja, hogy hány gyöke van egy másodfokú egyenletnek. Ugyanis:

1. Ha D< 0, корней нет;
2. Ha D = 0, akkor pontosan egy gyök van;
3. Ha D > 0, akkor két gyök lesz.

Kérjük, vegye figyelembe: a diszkrimináns a gyökerek számát jelöli, és egyáltalán nem a jeleiket, ahogyan azt valamiért sokan gondolják. Vessen egy pillantást a példákra, és mindent meg fog érteni:

Feladat. Hány gyöke van a másodfokú egyenleteknek:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Felírjuk az első egyenlet együtthatóit, és megkeressük a diszkriminánst:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Tehát a diszkrimináns pozitív, tehát az egyenletnek két különböző gyökere van. Ugyanígy elemezzük a második egyenletet:
a = 5; b = 3; c=7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

A diszkrimináns negatív, nincsenek gyökerei. Az utolsó egyenlet marad:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

A diszkrimináns egyenlő nullával - a gyökér egy lesz.

Vegye figyelembe, hogy minden egyenlethez együtthatók vannak kiírva. Igen, hosszú, igen, unalmas – de nem fogod összekeverni az esélyeket, és nem követsz el hülye hibákat. Válassz magadnak: sebesség vagy minőség.

Mellesleg, ha „megtölti a kezét”, egy idő után már nem kell kiírnia az összes együtthatót. Ilyen műveleteket hajt végre a fejében. A legtöbb ember ezt valahol 50-70 megoldott egyenlet után kezdi el – általában nem olyan sok.

A másodfokú egyenlet gyökerei

Most térjünk át a megoldásra. Ha a diszkrimináns D > 0, akkor a gyökök a következő képletekkel kereshetők:

A másodfokú egyenlet gyökeinek alapképlete

Ha D = 0, bármelyik képletet használhatja - ugyanazt a számot kapja, amely lesz a válasz. Végül, ha D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Első egyenlet:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ az egyenletnek két gyöke van. Keressük meg őket:

Második egyenlet:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ az egyenletnek ismét két gyöke van. Keressük meg őket

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(igazítás)\]

Végül a harmadik egyenlet:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ az egyenletnek egy gyöke van. Bármilyen képlet használható. Például az első:

Amint a példákból látható, minden nagyon egyszerű. Ha ismeri a képleteket és tud számolni, akkor nem lesz probléma. Leggyakrabban akkor fordulnak elő hibák, amikor negatív együtthatókat helyettesítenek be a képletbe. Itt ismét a fent leírt technika segít: nézze meg a képletet szó szerint, fesse le minden lépést - és gyorsan megszabaduljon a hibáktól.

Hiányos másodfokú egyenletek

Előfordul, hogy a másodfokú egyenlet némileg eltér a definícióban megadottól. Például:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Könnyen belátható, hogy az egyik kifejezés hiányzik ezekből az egyenletekből. Az ilyen másodfokú egyenleteket még könnyebb megoldani, mint a szabványosakat: még a diszkriminánst sem kell kiszámítani. Tehát vezessünk be egy új koncepciót:

Az ax 2 + bx + c = 0 egyenletet nem teljes másodfokú egyenletnek nevezzük, ha b = 0 vagy c = 0, azaz. az x változó vagy a szabad elem együtthatója nullával egyenlő.

Természetesen nagyon nehéz eset lehetséges, ha mindkét együttható nulla: b \u003d c \u003d 0. Ebben az esetben az egyenlet ax 2 \u003d 0 alakot ölt. Nyilvánvalóan egy ilyen egyenletnek egyetlen egyenlete van. gyökér: x \u003d 0.

Nézzünk más eseteket. Legyen b \u003d 0, akkor egy hiányos másodfokú egyenletet kapunk ax 2 + c \u003d 0 alakban. Transzformáljuk kissé:

Mivel az aritmetikai négyzetgyök csak nem negatív számból létezik, az utolsó egyenlőségnek csak akkor van értelme, ha (-c / a ) ≥ 0. Következtetés:

1. Ha egy ax 2 + c = 0 formájú nem teljes másodfokú egyenlet kielégíti a (−c / a ) ≥ 0 egyenlőtlenséget, akkor két gyöke lesz. A képlet fent van megadva;
2. Ha (-c / a )< 0, корней нет.

Amint látja, a diszkriminánsra nem volt szükség – a hiányos másodfokú egyenletekben egyáltalán nincsenek bonyolult számítások. Valójában nem is szükséges emlékezni a (−c / a ) ≥ 0 egyenlőtlenségre. Elég, ha kifejezzük x 2 értékét, és megnézzük, mi van az egyenlőségjel másik oldalán. Ha van pozitív szám, akkor két gyöke lesz. Ha negatív, akkor egyáltalán nem lesznek gyökerei.

Most foglalkozzunk az ax 2 + bx = 0 alakú egyenletekkel, amelyekben a szabad elem egyenlő nullával. Itt minden egyszerű: mindig két gyökér lesz. Elegendő a polinomot faktorozni:

A közös tényezőt kivesszük a zárójelből

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Innen erednek a gyökerek. Végezetül az alábbi egyenleteket elemezzük:

Feladat. Másodfokú egyenletek megoldása:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nincsenek gyökerek, mert a négyzet nem lehet egyenlő negatív számmal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Miután megvizsgáltuk az egyenlőség fogalmát, nevezetesen egyik típusát - a numerikus egyenlőségeket, akkor áttérhetünk egy másikra. fontos nézet- egyenletek. Ennek az anyagnak a keretében elmagyarázzuk, mi az egyenlet és annak gyökere, megfogalmazzuk a főbb definíciókat és megadjuk különféle példák egyenletek és gyökereik megtalálása.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az egyenlet fogalma

Általában az egyenlet fogalmát a legelején tanulmányozzák. iskolai tanfolyam algebra. Akkor ez így van definiálva:

1. definíció

Egyenlet egyenlőségnek nevezzük ismeretlen számmal.

Az ismeretleneket kis latin betűkkel szokás jelölni, például t, r, m stb., de leggyakrabban x, y, z betűket használnak. Más szóval, az egyenlet határozza meg a rögzítésének formáját, vagyis az egyenlőség csak akkor lesz egyenlet, ha egy bizonyos formára hozzuk - tartalmaznia kell egy betűt, aminek az értékét meg kell találni.

Adjunk néhány példát a legegyszerűbb egyenletekre. Ezek lehetnek x = 5, y = 6 stb. alakú egyenlőségek, valamint olyanok, amelyek számtani műveleteket tartalmaznak, például x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x =3.

A zárójelek fogalmának tanulmányozása után megjelenik a zárójeles egyenletek fogalma. Ezek közé tartozik a 7 (x − 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 stb. A megtalált betű előfordulhat többször, de többször is, mint például a x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 egyenlet. Továbbá az ismeretlenek nemcsak a bal oldalon, hanem a jobb oldalon is elhelyezkedhetnek, vagy mindkét részben egyszerre, például x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 ill. 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Továbbá, miután a hallgatók megismerkedtek az egész, valóságos, racionális, természetes számok, valamint a logaritmusok, gyökök és hatványok, új egyenletek jelennek meg, amelyek mindezeket az objektumokat tartalmazzák. Külön cikket szenteltünk az ilyen kifejezések példáinak.

A 7. osztályos programban először jelenik meg a változók fogalma. Ezek olyan betűk, amelyek különböző értékeket vehetnek fel (további részletekért lásd a numerikus, literális és változós kifejezésekről szóló cikket). E koncepció alapján újradefiniálhatjuk az egyenletet:

2. definíció

Az egyenlet egy egyenlőség, amely egy változót tartalmaz, amelynek értékét ki kell számítani.

Vagyis például az x + 3 \u003d 6 x + 7 egyenlet egy x változóval, és a 3 y − 1 + y \u003d 0 egy egyenlet y változóval.

Egy egyenletben nem egy változó lehet, hanem kettő vagy több. Ezeket két, három változós stb. egyenleteknek nevezzük. Írjuk le a definíciót:

3. definíció

A két (három, négy vagy több) változót tartalmazó egyenleteket olyan egyenleteknek nevezzük, amelyek megfelelő számú ismeretlent tartalmaznak.

Például a 3, 7 x + 0, 6 = 1 formájú egyenlőség egy x változót tartalmazó egyenlet, az x − z = 5 pedig egy két x és z változót tartalmazó egyenlet. Példa egy három változós egyenletre: x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 .

Az egyenlet gyökere

Amikor egy egyenletről beszélünk, azonnal szükségessé válik annak gyöke fogalmának meghatározása. Próbáljuk meg elmagyarázni, mit jelent.

1. példa

Adunk egy egyenletet, amely egy változót tartalmaz. Ha helyette helyettesítjük ismeretlen levél számot, akkor az egyenlet numerikus egyenlőséggé válik – igaz vagy hamis. Tehát, ha az a + 1 \u003d 5 egyenletben a betűt 2-re cseréljük, akkor az egyenlőség hibás lesz, és ha 4, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk 4 + 1 \u003d 5.

Pontosan azok az értékek érdekelnek minket, amelyekkel a változó valódi egyenlőséggé válik. Ezeket gyökereknek vagy megoldásoknak nevezzük. Írjuk le a definíciót.

4. definíció

Az egyenlet gyöke nevezd meg annak a változónak az értékét, amely az adott egyenletet valódi egyenlőséggé alakítja!

A gyökér nevezhető döntésnek is, vagy fordítva – mindkét fogalom ugyanazt jelenti.

2. példa

Vegyünk egy példát ennek a definíciónak a tisztázására. Fent megadtuk az a + 1 = 5 egyenletet. A definíció szerint a gyök ebben az esetben 4 lesz, mert egy betű helyettesítésekor a helyes számbeli egyenlőséget adja, és a kettő nem lesz megoldás, mivel ez egy hibás 2 + 1 \u003d 5 egyenlőségnek felel meg.

Hány gyöke lehet egy egyenletnek? Minden egyenletnek van gyöke? Válaszoljunk ezekre a kérdésekre.

Léteznek olyan egyenletek is, amelyeknek nincs egyetlen gyökük. Példa erre: 0 x = 5. Végtelenül sok különböző számot bedughatunk bele, de egyik sem lesz belőle valódi egyenlőség, hiszen 0-val való szorzás mindig 0-t ad.

Vannak olyan egyenletek is, amelyeknek több gyöke van. Véges és végtelen sok gyökerük lehet.

3. példa

Tehát az x - 2 \u003d 4 egyenletben csak egy gyök van - hat, x 2-ben \u003d 9 két gyök - három és mínusz három, x-ben (x - 1) (x - 2) \u003d 0 három gyök - nulla, egy és kettő, az x=x egyenletben végtelenül sok gyök van.

Most elmagyarázzuk, hogyan kell helyesen írni az egyenlet gyökereit. Ha nincsenek, akkor így írjuk: "az egyenletnek nincsenek gyökerei." Ebben az esetben is lehetséges az üres halmaz ∅ előjelének feltüntetése. Ha vannak gyökök, akkor azokat vesszővel elválasztva írjuk, vagy a halmaz elemeiként jelöljük, göndör zárójelbe téve. Tehát, ha bármely egyenletnek három gyöke van - 2, 1 és 5, akkor - 2, 1, 5 vagy (- 2, 1, 5) -t írunk.

A gyököket a legegyszerűbb egyenlőségek formájában is fel lehet írni. Tehát, ha az egyenletben az ismeretlent y betűvel jelöljük, és a gyökök 2 és 7, akkor y \u003d 2 és y \u003d 7 értéket írunk. Néha alsó indexeket adnak a betűkhöz, például x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Így megadjuk a gyökök számát. Ha az egyenletnek végtelen sok megoldása van, akkor a választ numerikus intervallumként írjuk le, vagy használjunk általánosan elfogadott jelölést: a természetes számok halmazát N, egész számokat - Z, valós számokat - R jelölünk. Tegyük fel, hogy ha azt kell felírnunk, hogy tetszőleges egész szám lesz az egyenlet megoldása, akkor azt írjuk, hogy x ∈ Z, és ha bármely valós szám egytől kilencig, akkor y ∈ 1, 9.

Ha egy egyenletnek két, három vagy több gyöke van, akkor általában nem gyökökről beszélnek, hanem az egyenlet megoldásairól. Megfogalmazzuk egy többváltozós egyenlet megoldásának definícióját.

5. definíció

A két, három vagy több változót tartalmazó egyenlet megoldása a változók két, három vagy több értéke, amely ezt az egyenletet valódi numerikus egyenlőséggé alakítja.

Magyarázzuk meg a definíciót példákkal.

4. példa

Tegyük fel, hogy van egy x + y = 7 kifejezésünk, ami egy két változós egyenlet. Cserélj egyet az elsőre, kettőt a másodikra. Helytelen egyenlőséget kapunk, ami azt jelenti, hogy ez az értékpár nem lesz megoldás erre az egyenletre. Ha vesszük a 3 és a 4 párját, akkor az egyenlőség igaz lesz, ami azt jelenti, hogy megtaláltuk a megoldást.

Az ilyen egyenleteknek nincs gyöke, vagy végtelen sok lehet. Ha két, három, négy vagy több értéket kell felírnunk, akkor ezeket vesszővel elválasztva, zárójelben írjuk. Vagyis a fenti példában a válasz így fog kinézni (3 , 4) .

A gyakorlatban leggyakrabban egy változót tartalmazó egyenletekkel kell foglalkozni. Az egyenletek megoldásának szentelt cikkben részletesen megvizsgáljuk a megoldásukra szolgáló algoritmust.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az egyenleteket az ember ősidők óta használja, és azóta használatuk csak nőtt. A gyökjel gyakran megtalálható az egyenletekben, és sokan tévesen úgy vélik, hogy az ilyen egyenleteket nehéz megoldani. Az ilyen egyenletekhez a matematikában van egy speciális kifejezés, amelyet gyökérrel rendelkező egyenleteknek neveznek - irracionális egyenletek.

A fő különbség az egyenletek gyökkel való megoldásában más egyenletektől, például négyzetes, logaritmikus, lineáris egyenletektől, hogy nem rendelkeznek szabványos megoldási algoritmussal. Ezért egy irracionális egyenlet megoldásához szükséges a kiindulási adatok elemzése és a megfelelőbb megoldás kiválasztása.

Az ilyen egyenletek megoldásához a legtöbb esetben azt a módszert alkalmazzák, hogy az egyenlet mindkét részét ugyanarra a hatványra emeljük.

Tegyük fel, hogy a következő egyenlet adott:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], ahonnan egymás után kapjuk:

Miután megkaptuk a másodfokú egyenletet, megtaláljuk a gyökereit:

Válasz: \

Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk, amely a kapott adatok helyességét jelzi.

Hol tudok gyökérrel rendelkező egyenletet megoldani online megoldóval?

Az egyenletet a https: // weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével másodpercek alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Csak annyit kell tennie, hogy beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon megtekintheti a videós útmutatót és megtanulhatja, hogyan kell megoldani az egyenletet. És ha bármilyen kérdése van, felteheti őket a Vkontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.

Önkormányzati oktatási intézmény

"Kudinskaya 2. számú középiskola"

Irracionális egyenletek megoldási módjai

Készítette: Egorova Olga,

Felügyelő:

Tanár

matematika,

magasabb végzettség

Bevezetés....……………………………………………………………………………………… 3

1. rész Irracionális egyenletek megoldási módszerei…………………………………6

1.1 A C rész irracionális egyenleteinek megoldása……….….….……………………21

2. rész Egyéni feladatok…………………………………………….....………...24

Válaszok………………………………………………………………………………………….25

Bibliográfia…….…………………………………………………………………….26

Bevezetés

ben kapott matematika oktatás általános műveltségi iskola, a legfontosabb összetevő Általános oktatásés az általános kultúra modern ember. Szinte minden, ami egy modern embert körülvesz, így vagy úgy kapcsolódik a matematikához. A fizika, a technológia és az információtechnológia legújabb vívmányai pedig nem hagynak kétséget afelől, hogy a dolgok állása a jövőben is változatlan marad. Ezért sokak döntése gyakorlati feladatokat döntésen múlik különféle fajták egyenletek a megoldás megtanulásához. Az egyik ilyen típus az irracionális egyenletek.

Irracionális egyenletek

Egy ismeretlent (vagy egy ismeretlenből egy racionális algebrai kifejezést) tartalmazó egyenletet gyökjel alatt ún. irracionális egyenlet. Az elemi matematikában az irracionális egyenletek megoldását a valós számok halmazában keresik.

Bármely irracionális egyenlet elemi algebrai műveletek (szorzás, osztás, mindkét egyenletrész egész hatványra emelése) segítségével racionális algebrai egyenletté redukálható. Figyelembe kell venni, hogy a kapott racionális algebrai egyenlet nem biztos, hogy ekvivalens az eredeti irracionális egyenlettel, nevezetesen tartalmazhat olyan "extra" gyököket, amelyek nem lesznek az eredeti irracionális egyenlet gyökerei. Ezért a kapott racionális gyökereinek megtalálása algebrai egyenlet, ellenőrizni kell, hogy egy racionális egyenlet minden gyöke-e egy irracionális egyenlet gyöke.

Általában nehéz bármit is meghatározni általános módszer bármely irracionális egyenlet megoldása, mivel kívánatos, hogy az eredeti irracionális egyenlet transzformációi eredményeként ne csak valamiféle racionális algebrai egyenletet kapjunk, amelynek a gyökerei között ott lesznek ennek az irracionális egyenletnek a gyökerei, hanem egy racionális algebrai egyenlet a lehető legkisebb fokú polinomokból. A lehető legkisebb fokú polinomokból képzett racionális algebrai egyenlet megszerzésének vágya teljesen természetes, hiszen egy racionális algebrai egyenlet összes gyökerének megtalálása önmagában meglehetősen nehéz feladat lehet, amelyet csak nagyon korlátozott számban tudunk teljesen megoldani. esetek.

Az irracionális egyenletek típusai

Irracionális egyenletek megoldása páros fokozat mindig hív több probléma mint a páratlan fokú irracionális egyenletek megoldása. Páratlan fokú irracionális egyenletek megoldásakor az ODZ nem változik. Ezért az alábbiakban irracionális egyenleteket fogunk figyelembe venni, amelyek fokozata páros. Kétféle irracionális egyenlet létezik:

2..

Nézzük az elsőt közülük.

odz egyenlet: f(x)≥ 0. Az ODZ-ben az egyenlet bal oldala mindig nem negatív, így megoldás csak akkor létezhet, ha g(x)≥ 0. Ebben az esetben az egyenlet mindkét oldala nem negatív, és hatványozás 2 n ekvivalens egyenletet ad. Ezt értjük

Figyeljünk arra, hogy míg Az ODZ automatikusan végrehajtásra kerül, és nem írhatod meg, hanem a feltételtg(x) ≥ 0-t kell ellenőrizni.

Jegyzet: Ez az egyenértékűség nagyon fontos feltétele. Először is megszabadítja a hallgatót a vizsgálat szükségességétől, majd a megoldások megtalálása után ellenőrizze az f(x) ≥ 0 feltételt - a gyökkifejezés nem-negativitását. Másodszor, az állapot ellenőrzésére összpontosítg(x) ≥ 0 a jobb oldal nonnegativitása. Hiszen a négyzetesítés után az egyenlet megoldódik azaz egyszerre két egyenletet oldunk meg (de a numerikus tengely különböző intervallumán!):

1. - hol g(x)≥ 0 és

2. - ahol g(x) ≤ 0.

Eközben sokan, az ODZ megtalálásának iskolai szokása szerint, pontosan az ellenkezőjét teszik az ilyen egyenletek megoldása során:

a) a megoldások megtalálása után ellenőrizze az f(x) ≥ 0 feltételt (ami automatikusan teljesül), hibázzon el és adjon hibás eredményt;

b) figyelmen kívül hagyja a feltételtg(x) ≥ 0 - és a válasz ismét rossz lehet.

Jegyzet: Az ekvivalencia feltétel különösen hasznos trigonometrikus egyenletek megoldásánál, ahol az ODZ megtalálása trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásával jár, ami sokkal nehezebb, mint a trigonometrikus egyenletek megoldása. Becsekkolás trigonometrikus egyenletek egyenletes feltételeket g(x)≥ 0 nem mindig egyszerű.

Tekintsük az irracionális egyenletek második fajtáját.

. Legyen az egyenlet . Az ő ODZ-je:

Az ODZ-ben mindkét oldal nem negatív, és a négyzetesítés az ekvivalens egyenletet adja f(x) =g(x). Ezért az ODZ-ben ill

Ennél a megoldási módnál elég az egyik függvény nem-negativitását ellenőrizni – választhat egy egyszerűbbet is.

1. rész Irracionális egyenletek megoldási módszerei

1 módszer. A radikálisoktól való megszabadulás az egyenlet mindkét oldalának egymás utáni felemelésével a megfelelő természetes erőre

Az irracionális egyenletek megoldásának leggyakrabban használt módszere a gyököktől való megszabadulás módszere, amelynek során az egyenlet mindkét részét egymás után a megfelelő természetes fokra emeljük. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy ha az egyenlet mindkét részét páratlan hatványra emeljük, akkor a kapott egyenlet ekvivalens az eredetivel, és ha az egyenlet mindkét részét páros hatványra emeljük, akkor az eredmény egyenlet általában véve nem lesz egyenértékű az eredeti egyenlettel. Ez könnyen ellenőrizhető, ha az egyenlet mindkét oldalát bármilyen páros hatványra emeljük. Ez a művelet az egyenletet eredményezi , amelynek megoldáskészlete a megoldáshalmazok uniója: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Ennek ellenére Ez a hátrány, az irracionális egyenlet racionális egyenletté való redukálására a leggyakoribb eljárás az egyenlet mindkét részének valamilyen (gyakran páros) hatványra emelésének eljárása.

Oldja meg az egyenletet:

Ahol néhány polinom. A gyökérkivonási művelet definíciója alapján a valós számok halmazában az ismeretlen megengedett értékei https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Mivel az 1. egyenlet mindkét része négyzetes volt, kiderülhet, hogy a 2. egyenletnek nem minden gyöke lesz az eredeti egyenlet megoldása, ezért ellenőrizni kell a gyököket.

Oldja meg az egyenletet:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Az egyenlet mindkét oldalát kockává emelve azt kapjuk

Tekintettel arra, hogy a https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Az utolsó egyenletnek lehetnek olyan gyökerei, amelyek általában véve nem a egyenlet ).

Ennek az egyenletnek mindkét oldalát kockává emeljük: . Átírjuk az egyenletet x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 alakban. Ellenőrzéssel megállapítjuk, hogy x1 = 0 a (-2 ≠ 1) egyenlet egy külső gyöke, x2 = 1 pedig kielégíti a eredeti egyenlet.

Válasz: x = 1.

2 módszer. Egy szomszédos feltételrendszer cseréje

A páros rendű gyököket tartalmazó irracionális egyenletek megoldása során a válaszokban olyan idegen gyökök jelenhetnek meg, amelyeket nem mindig könnyű azonosítani. Az idegen gyökök könnyebb azonosítása és elvetése érdekében az irracionális egyenletek megoldása során azonnal helyettesíti egy szomszédos feltételrendszerrel. A rendszer további egyenlőtlenségei ténylegesen figyelembe veszik a megoldandó egyenlet ODZ-jét. Az ODZ-t külön is megtalálhatja és később figyelembe veheti, de célszerű vegyes feltételrendszert használni: kisebb a veszélye annak, hogy valamit elfelejtenek, nem veszik figyelembe az egyenlet megoldása során. Ezért bizonyos esetekben ésszerűbb a vegyes rendszerekre való átállás módszerét alkalmazni.

Oldja meg az egyenletet:

Válasz: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ez az egyenlet ekvivalens a rendszerrel

Válasz: az egyenletnek nincsenek megoldásai.

3 módszer. Az n-edik gyökér tulajdonságainak felhasználása

Irracionális egyenletek megoldásánál az n-edik fokú gyök tulajdonságait használjuk. számtani gyök n- th fokok közül A nem negatív szám hívása, n- i akinek a foka egyenlő A. Ha n- még( 2n), akkor a ≥ 0, különben a gyök nem létezik. Ha n- páratlan( 2 n+1), akkor a tetszőleges és = - ..gif" width="45" height="19"> Ezután:

2.

3.

4.

5.

Ezen képletek bármelyikének formális alkalmazásakor (a jelzett korlátozások figyelembevétele nélkül) szem előtt kell tartani, hogy mindegyik bal és jobb oldali részének ODZ-je eltérő lehet. Például a kifejezés a következővel van definiálva f ≥ 0És g ≥ 0, és a kifejezés a következő f ≥ 0És g ≥ 0, szintén f ≤ 0És g ≤ 0.

Az 1-5 képlet mindegyikénél (a feltüntetett korlátozások figyelembevétele nélkül) a jobb oldali ODZ szélesebb lehet, mint a bal oldali ODZ. Ebből következik, hogy az egyenlet átalakítása az 1-5 képletek formális használatával "balról jobbra" (ahogy írják) olyan egyenlethez vezet, amely az eredeti egyenlet következménye. Ebben az esetben az eredeti egyenlet idegen gyökerei jelenhetnek meg, így az igazolás az eredeti egyenlet megoldásának kötelező lépése.

Az egyenletek átalakítása az 1-5 képletek formális használatával "jobbról balra" elfogadhatatlan, mivel meg lehet ítélni az eredeti egyenlet ODZ-jét, és ennek következtében a gyökök elvesztését.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

ami az eredeti következménye. Ennek az egyenletnek a megoldása redukálódik az egyenlethalmaz megoldására .

Ennek a halmaznak az első egyenletéből megtaláljuk a https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> címet, ahonnan a következőt találjuk. Így a gyökerei ez az egyenlet csak számok ( -1) és (-2) lehetnek. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy mindkét talált gyök megfelel ennek az egyenletnek.

Válasz: -1,-2.

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás: az azonosságok alapján cserélje ki az első tagot a -ra. Vegye figyelembe, hogy a bal oldalon lévő két nem negatív szám összegeként. „Távolítsa el” a modult, és hasonló kifejezések behozatala után oldja meg az egyenletet. Mivel az egyenletet kapjuk. Mivel és , majd https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Válasz: x = 4,25.

4 módszer. Új változók bevezetése

Egy másik példa az irracionális egyenletek megoldására az új változók bevezetésének módja, amelyekre vonatkozóan vagy egyszerűbb irracionális egyenletet vagy racionális egyenletet kapunk.

Az irracionális egyenletek megoldása az egyenlet következményeivel való helyettesítésével (a gyökök utólagos ellenőrzésével) a következőképpen hajtható végre:

1. Keresse meg az eredeti egyenlet ODZ-jét.

2. Ugorjon az egyenletből a következményére.

3. Keresse meg a kapott egyenlet gyökereit!

4. Ellenőrizze, hogy a talált gyökök az eredeti egyenlet gyökerei-e.

Az ellenőrzés a következő:

A) az eredeti egyenlet ODZ-jének minden egyes talált gyökének tagságát ellenőrizzük. Azok a gyökök, amelyek nem tartoznak az ODZ-hez, idegenek az eredeti egyenlethez.

B) az eredeti egyenlet ODZ-jében szereplő minden gyökérnél ellenőrizni kell, hogy az eredeti egyenlet megoldása során felmerülő és páros hatványra emelt egyenletek bal és jobb oldali része azonos előjelű-e. Azok a gyökök, amelyeknél a páros hatványra emelt egyenlet részei eltérő előjelűek, az eredeti egyenlet szempontjából idegenek.

C) csak azokat a gyököket ellenőrizzük, amelyek az eredeti egyenlet ODZ-jéhez tartoznak, és amelyekre az eredeti egyenlet megoldása során felmerülő, páros hatványra emelt egyenletek mindkét része azonos előjelű, közvetlen behelyettesítéssel ellenőrizve az eredeti egyenlet.

Egy ilyen megoldási módszer a jelzett verifikációs módszerrel lehetővé teszi a nehézkes számítások elkerülését abban az esetben, ha az utolsó egyenlet minden egyes talált gyökerét közvetlenül helyettesítik az eredetivel.

Oldja meg az irracionális egyenletet:

.

Ennek az egyenletnek a megengedett értékeinek halmaza:

Beállításával behelyettesítés után megkapjuk az egyenletet

vagy ennek megfelelő egyenlete

amely másodfokú egyenletnek tekinthető. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk

.

Ezért az eredeti irracionális egyenlet megoldáshalmaza a következő két egyenlet megoldáshalmazának uniója:

, .

Minden egyenlet mindkét oldalát felkockázzuk, és két racionális algebrai egyenletet kapunk:

, .

Ezeket az egyenleteket megoldva azt találjuk, hogy ennek az irracionális egyenletnek egyetlen gyöke van x = 2 (nem szükséges ellenőrizni, mivel minden transzformáció ekvivalens).

Válasz: x = 2.

Oldja meg az irracionális egyenletet:

Jelölje 2x2 + 5x - 2 = t. Ekkor az eredeti egyenlet alakját veszi fel . A kapott egyenlet mindkét részét négyzetre emelve és hasonló tagokat hozva megkapjuk az egyenletet, amely az előző következménye. Abból azt találjuk t=16.

Az ismeretlen x-hez visszatérve a 2x2 + 5x - 2 = 16 egyenletet kapjuk, ami az eredeti következménye. Az ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy a gyökei x1 \u003d 2 és x2 \u003d - 9/2 az eredeti egyenlet gyökerei.

Válasz: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 módszer. Identitásegyenlet transzformáció

Irracionális egyenletek megoldása során nem szabad úgy kezdeni az egyenlet megoldását, hogy az egyenlet mindkét részét természetes hatványra emeljük, és megpróbáljuk egy irracionális egyenlet megoldását racionális algebrai egyenlet megoldására redukálni. Először is meg kell nézni, hogy lehetséges-e az egyenlet valamilyen azonos transzformációja, ami jelentősen leegyszerűsítheti a megoldást.

Oldja meg az egyenletet:

Az egyenlet érvényes értékeinek halmaza: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Ossza el ezt az egyenletet -vel.

.

Kapunk:

Ha a = 0, az egyenletnek nem lesz megoldása; esetén az egyenlet így írható fel

ennek az egyenletnek nincs megoldása, hiszen bármelyikre x, amely az egyenlet megengedett értékeinek halmazához tartozik, az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés pozitív;

amikor az egyenletnek van megoldása

Figyelembe véve, hogy az egyenlet megengedett megoldásainak halmazát a feltétel határozza meg, végül megkapjuk:

Az irracionális egyenlet megoldásakor https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> az egyenlet megoldása a következő lesz. Minden más érték esetén x az egyenletnek nincsenek megoldásai.

10. PÉLDA:

Oldja meg az irracionális egyenletet: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

A rendszer másodfokú egyenletének megoldása két gyöket ad: x1 \u003d 1 és x2 \u003d 4. A kapott gyök közül az első nem elégíti ki a rendszer egyenlőtlenségét, ezért x \u003d 4.

Megjegyzések.

1) Azonos átalakítások végrehajtása lehetővé teszi számunkra, hogy ellenőrzés nélkül legyünk.

2) Az x - 3 ≥0 egyenlőtlenség azonos transzformációkra vonatkozik, és nem az egyenlet tartományára.

3) Van egy csökkenő függvény az egyenlet bal oldalán, és egy növekvő függvény ennek az egyenletnek a jobb oldalán. A csökkenő és növekvő függvények grafikonjai definíciós tartományuk metszéspontjában legfeljebb egy közös pont. Nyilvánvaló, hogy esetünkben x = 4 a gráfok metszéspontjának abszcissza.

Válasz: x = 4.

6 módszer. A függvénydefiníció tartományának felhasználása egyenletek megoldása során

Ez a módszer akkor a leghatékonyabb, ha olyan egyenleteket old meg, amelyek https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> függvényeket tartalmaznak, és megkeresi a terület definícióit (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, akkor ellenőrizni kell, hogy igaz-e az egyenlet az intervallum végén, sőt, ha a< 0, а b >0, akkor ellenőrizni kell az intervallumokat (a;0)És . Az E(y) legkisebb egész szám 3.

Válasz: x = 3.

8 módszer. A derivált alkalmazása irracionális egyenletek megoldásában

Leggyakrabban az egyenletek derivált módszerrel történő megoldása során a becslési módszert alkalmazzák.

15. PÉLDA:

Oldja meg az egyenletet: (1)

Megoldás: Mivel https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, vagy (2). Tekintsük a függvényt ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> egyáltalán, és ezért növekszik. Ezért az egyenlet egyenértékű egy olyan egyenlettel, amelynek gyöke az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

16. PÉLDA:

Oldja meg az irracionális egyenletet:

A függvény definíciós tartománya egy szegmens. Keresse meg a legnagyobb és legkisebb érték ennek a függvénynek az értékei az intervallumon. Ehhez megkeressük a függvény deriváltját f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Keressük meg a függvény értékeit f(x) a szegmens végén és a ponton: Tehát, de és ezért az egyenlőség csak a következő feltétellel lehetséges: https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Az ellenőrzés azt mutatja, hogy a 3-as szám az egyenlet gyökere.

Válasz: x = 3.

9 módszer. Funkcionális

A vizsgákon néha olyan egyenletek megoldását ajánlják fel, amelyek a következő alakban írhatók fel, ahol egy bizonyos függvény.

Például néhány egyenlet: 1) 2) . Valóban, az első esetben , a második esetben . Ezért oldja meg az irracionális egyenleteket a következő állítás segítségével: ha egy függvény szigorúan növekvő a halmazon xés bármely , akkor az egyenletek stb. ekvivalensek a halmazon x .

Oldja meg az irracionális egyenletet: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> szigorúan növekszik a készleten R,és https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > aminek egyedi gyöke van Ezért az (1) ekvivalens egyenletnek is egyedi gyöke van

Válasz: x = 3.

18. PÉLDA:

Oldja meg az irracionális egyenletet: (1)

Definíció szerint négyzetgyök azt kapjuk, hogy ha az (1) egyenletnek gyökerei vannak, akkor azok a https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47"> halmazhoz tartoznak. ( 2)

Fontolja meg, hogy a https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> függvény szigorúan növekszik ezen a halmazon bármely ..gif" width="100" esetén magasság ="41"> amelynek egyetlen gyöke van Ezért, és ezzel egyenértékű a halmazon x az (1) egyenletnek egyetlen gyöke van

Válasz: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Megoldás: Ez az egyenlet egy vegyes rendszerrel ekvivalens

Az algebra tanulmányozása során a diákok sokféle egyenlettel szembesülnek. A legegyszerűbbek között meg lehet nevezni olyan lineárisakat, amelyek egy ismeretlent tartalmaznak. Ha egy matematikai kifejezésben egy változót egy bizonyos hatványra emelünk, akkor az egyenletet másodfokúnak, köbösnek, bi-négyzetnek és így tovább nevezzük. Ezek a kifejezések racionális számokat tartalmazhatnak. De vannak irracionális egyenletek is. A többitől egy függvény jelenléte különbözik, ahol az ismeretlen a gyök jele alatt áll (vagyis tisztán kívülről, a változó itt a négyzetgyök alatt látható). Az irracionális egyenletek megoldásának megvan a maga sajátja jellemzők. Egy változó értékének kiszámításakor a helyes válasz megszerzéséhez ezeket figyelembe kell venni.

"Szóval kimondhatatlan"

Nem titok, hogy az ókori matematikusok főleg racionális számokkal operáltak. Ezek közé tartoznak, mint tudják, a közönséges és tizedes törtekkel kifejezett egész számok, ennek a közösségnek a képviselői. A trigonometriát, csillagászatot és algebrát fejlesztő Közel- és Közel-Kelet, valamint India tudósai azonban megtanulták az irracionális egyenletek megoldását is. Például a görögök ismerték az ilyen mennyiségeket, de verbális formába öntve az „alogosz” fogalmát használták, ami „kifejezhetetlent” jelent. Valamivel később az európaiak, utánozva őket, „süketeknek” nevezték az ilyen számokat. Abban különböznek az összes többitől, hogy csak egy végtelen, nem periodikus tört formájában ábrázolhatók, amelynek végső számszerű kifejezését egyszerűen lehetetlen megszerezni. Ezért a számok birodalmának ilyen képviselőit gyakrabban írják számok és jelek formájában olyan kifejezésként, amely a második vagy nagyobb fokú gyökér alatt található.

A fentiek alapján megpróbáljuk meghatározni az irracionális egyenletet. Az ilyen kifejezések az úgynevezett "kifejezhetetlen számokat" tartalmazzák, amelyeket négyzetgyökjellel írnak. Ezek mindenféle meglehetősen összetett opciók lehetnek, de a legegyszerűbb formájukban úgy néznek ki, mint az alábbi képen.

Az irracionális egyenletek megoldására áttérve mindenekelőtt ki kell számítani a változó megengedett értékeinek tartományát.

Van értelme a kifejezésnek?

A kapott értékek ellenőrzésének szükségessége a tulajdonságokból következik. Mint ismeretes, egy ilyen kifejezés elfogadható és csak bizonyos feltételek mellett van értelme. Páros gyök esetén minden gyök kifejezésnek pozitívnak vagy nullával egyenlőnek kell lennie. Ha ezt az állapotot nem teljesül, akkor a bemutatott matematikai jelölés nem tekinthető értelmesnek.

Adjunk egy konkrét példát az irracionális egyenletek megoldására (az alábbi képen).

Ebben az esetben nyilvánvaló, hogy ezek a feltételek a kívánt értékkel felvett értékekre nem teljesülhetnek, mivel kiderül, hogy 11 ≤ x ≤ 4. Ez azt jelenti, hogy csak Ø lehet megoldás.

Elemzési módszer

A fentiekből világossá válik, hogyan lehet megoldani bizonyos típusú irracionális egyenleteket. Itt egy egyszerű elemzés hatékony lehet.

Számos példát adunk, amelyek ismét egyértelműen demonstrálják ezt (az alábbi képen).

Az első esetben a kifejezés alapos megfontolása után azonnal rendkívül világossá válik, hogy nem lehet igaz. Valóban, az egyenlőség bal oldalán pozitív számot kell kapni, amely semmiképpen sem lehet egyenlő -1-gyel.

A második esetben két pozitív kifejezés összege csak akkor tekinthető nullának, ha x - 3 = 0 és x + 3 = 0 egyszerre. Ez megint csak lehetetlen. Így a válaszban újra Ø-t kell írni.

A harmadik példa nagyon hasonló az előzőhöz. Valójában itt az ODZ feltételei megkövetelik, hogy teljesüljön a következő abszurd egyenlőtlenség: 5 ≤ x ≤ 2. És egy ilyen egyenletnek hasonló módon nem lehet hangmegoldása.

Korlátlan zoom

Az irracionális természetét a legvilágosabban és legteljesebben csak a számok végtelen sorozatán keresztül lehet megmagyarázni és megismerni. tizedes tört. E család tagjainak pedig sajátos, markáns példája a pi. Nem ok nélkül feltételezik, hogy ez a matematikai állandó az ősidők óta ismert volt, és a kör kerületének és területének kiszámításához használták. De az európaiak körében először az angol William Jones és a svájci Leonhard Euler ültette át a gyakorlatba.

Ez az állandó a következőképpen jön létre. Ha összehasonlítjuk a legkülönbözőbb kerületeket, akkor hosszuk és átmérőik aránya szükségszerűen azonos számmal egyenlő. Ez a pi. Ha kifejezve közönséges tört, akkor hozzávetőlegesen 22/7-et kapunk. Ezt először a nagy Arkhimédész tette meg, akinek arcképe a fenti ábrán látható. Ezért kapta a nevét egy hasonló szám. De ez nem explicit, hanem hozzávetőleges értéke a talán legcsodálatosabb számoknak. A zseniális tudós 0,02-es pontossággal találta meg a kívánt értéket, de valójában ennek az állandónak nincs valós értéke, hanem 3,1415926535-ként van kifejezve... Ez egy végtelen számsor, amely végtelenül megközelít egy bizonyos mitikus értéket.

Négyzetre emelés

De vissza az irracionális egyenletekhez. Az ismeretlen megtalálásához ebben az esetben nagyon gyakran folyamodnak egyszerű módszer: négyzetre emeli a meglévő egyenlőség mindkét oldalát. Ez a módszer általában jó eredményeket ad. De figyelembe kell venni az irracionális értékek alattomosságát. Minden ennek eredményeként kapott gyökeret ellenőrizni kell, mert lehet, hogy nem megfelelő.

De folytassuk a példák mérlegelését, és próbáljuk meg az újonnan javasolt módon megtalálni a változókat.

A Vieta-tétel segítségével meglehetősen könnyű megtalálni a mennyiségek kívánt értékét, miután bizonyos műveletek eredményeként felállítottunk egy másodfokú egyenletet. Itt kiderül, hogy a gyökerek között lesz 2 és -19. Azonban, amikor ellenőrzi, behelyettesíti a kapott értékeket az eredeti kifejezésbe, megbizonyosodhat arról, hogy egyik gyökér sem megfelelő. Ez gyakori előfordulás az irracionális egyenleteknél. Ez azt jelenti, hogy a dilemmánknak megint nincs megoldása, és a válaszban az üres halmazt kell feltüntetni.

Bonyolultabb példák

Egyes esetekben a kifejezés mindkét oldalát nem egyszer, hanem többször kell négyzetre emelni. Tekintsen olyan példákat, ahol a fentiekre szükség van. Alább megtekinthetők.

Miután megkapta a gyökereket, ne felejtse el ellenőrizni őket, mert továbbiak keletkezhetnek. Meg kell magyarázni, hogy ez miért lehetséges. Egy ilyen módszer alkalmazásakor az egyenlet valamilyen módon racionalizálódik. De megszabadulva a számunkra kifogásolható gyökerektől, amelyek megakadályozzák az aritmetikai műveletek végrehajtását, mintegy kibővítjük a meglévő értéktartományt, ami (érthető) következményekkel jár. Ezt előre látva ellenőrzést végzünk. Ebben az esetben van esély arra, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy csak az egyik gyökér illeszkedik: x = 0.

Rendszerek

Mi a teendő olyan esetekben, amikor irracionális egyenletrendszerek megoldására van szükség, és nem egy, hanem két teljes ismeretlenünk van? Itt ugyanúgy járunk el, mint a hétköznapi esetekben, de az adatok fenti tulajdonságait figyelembe véve matematikai kifejezések. És természetesen minden új feladatnál kreatív megközelítést kell alkalmazni. De ismét jobb, ha mindent figyelembe veszünk konkrét példa lent. Itt nem csak az x és y változókat kell megkeresni, hanem az összegüket is meg kell adni a válaszban. Tehát van egy irracionális mennyiségeket tartalmazó rendszer (lásd az alábbi képet).

Amint látja, egy ilyen feladat nem természetfölötti nehéz. Csak okosnak kell lennie, és kitalálnia, hogy az első egyenlet bal oldala az összeg négyzete. Hasonló feladatok találhatók a vizsgán.

Irracionális a matematikában

Minden alkalommal felmerült az emberiség számára új típusú számok létrehozásának igénye, amikor nem volt "helye" bizonyos egyenletek megoldásához. Ez alól az irracionális számok sem kivételek. Történeti tények tanúskodnak róla, hogy erre a nagy bölcsek először még korszakunk előtt, a 7. században hívták fel a figyelmet. Ezt egy indiai matematikus, Manavaként ismerték. Világosan megértette, hogy bizonyos természetes számokból lehetetlen gyökeret kivonni. Például ezek közé tartozik a 2; 17 vagy 61, valamint sok más.

Az egyik püthagoreus, egy Hippasus nevű gondolkodó ugyanerre a következtetésre jutott, és megpróbált számításokat végezni a pentagram oldalainak numerikus kifejezéseivel. Számszerűen nem kifejezhető és tulajdonságokkal nem rendelkező matematikai elemek felfedezésével szabályos számok, annyira feldühítette kollégáit, hogy a tengerbe dobták. A helyzet az, hogy más pitagoreusok az okfejtését a világegyetem törvényei elleni lázadásnak tartották.

Radikális jel: Evolúció

A "süket" számok számértékének kifejezésére szolgáló gyökjelet nem azonnal kezdték használni az irracionális egyenlőtlenségek és egyenletek megoldásában. Az európai, különösen az olasz matematikusok először a 13. század környékén kezdtek el gondolkodni a radikálisról. Ugyanakkor felmerült az ötlet, hogy a latin R-t használják a jelölésre, de a német matematikusok másként jártak el munkáik során. Inkább az V betűt kedvelték.Németországban hamar elterjedt a V (2), V (3) megjelölés, ami a 2, 3 stb. négyzetgyökét hivatott kifejezni. Később a hollandok közbeléptek, és megváltoztatták a radikális jelét. És Rene Descartes befejezte az evolúciót, és a négyzetgyökjelet a modern tökéletességre hozta.

Megszabadulni az irracionálistól

Az irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek nem csak négyzetgyökjel alatt tartalmazhatnak változót. Bármilyen fokozatú lehet. A legáltalánosabb módja annak, hogy megszabaduljunk tőle, ha az egyenlet mindkét oldalát a megfelelő hatványra emeljük. Ez a fő művelet, amely segíti az irracionális műveleteket. A páros esetekben végzett cselekvések nem különböznek különösebben azoktól, amelyeket korábban már elemeztünk. Itt figyelembe kell venni a gyökkifejezés nem-negativitásának feltételeit, valamint a megoldás végén ki kell szűrni a változók külső értékeit, amint azt a már megvizsgált példák.

A helyes válasz megtalálását segítő további transzformációk közül gyakran alkalmazzák a kifejezés konjugátummal való szorzását, és gyakran szükséges egy új változó bevezetése is, ami megkönnyíti a megoldást. Bizonyos esetekben az ismeretlenek értékének meghatározásához célszerű grafikonokat használni.