Aksiālā un centrālā simetrija. Simetrija par taisnu līniju

Kustības jēdziens

Vispirms apskatīsim tādu jēdzienu kā kustība.

1. definīcija

Plaknes kartēšanu sauc par plaknes kustību, ja kartēšana saglabā attālumus.

Ar šo koncepciju ir saistītas vairākas teorēmas.

2. teorēma

Trijstūris, pārvietojoties, pāriet vienādā trīsstūrī.

3. teorēma

Jebkura figūra, pārvietojoties, pārvēršas par tai līdzvērtīgu figūru.

Aksiālā un centrālā simetrija ir kustības piemēri. Apsvērsim tos sīkāk.

Aksiālā simetrija

2. definīcija

Tiek uzskatīts, ka punkti $A$ un $A_1$ ir simetriski attiecībā pret taisni $a$, ja šī taisne ir perpendikulāra nogrieznim $(AA)_1$ un iet caur tās centru (1. att.).

1. attēls.

Apsveriet aksiālo simetriju, izmantojot problēmu kā piemēru.

1. piemērs

Izveidojiet simetrisku trīsstūri dotajam trīsstūrim attiecībā pret jebkuru no tā malām.

Risinājums.

Dosim mums trīsstūri $ABC$. Mēs izveidosim tā simetriju attiecībā pret malu $BC$. Puse $BC$ aksiālās simetrijas gadījumā nonāks sevī (seko no definīcijas). Punkts $A$ dosies uz punktu $A_1$ šādi: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Trijstūris $ABC$ pārvērtīsies par trijstūri $A_1BC$ (2. att.).

2. attēls.

3. definīcija

Figūru sauc par simetrisku attiecībā pret taisni $a$, ja katrs šīs figūras simetriskais punkts atrodas vienā un tajā pašā figūrā (3. att.).

3. attēls

Attēlā $3$ parādīts taisnstūris. Tam ir aksiālā simetrija attiecībā pret katru tā diametru, kā arī attiecībā uz divām taisnēm, kas iet caur dotā taisnstūra pretējo malu centriem.

Centrālā simetrija

4. definīcija

Tiek uzskatīts, ka punkti $X$ un $X_1$ ir simetriski attiecībā pret punktu $O$, ja punkts $O$ ir segmenta $(XX)_1$ centrs (4. att.).

4. attēls

Apskatīsim centrālo simetriju problēmas piemērā.

2. piemērs

Izveidojiet simetrisku trīsstūri dotajam trīsstūrim jebkurā no tā virsotnēm.

Risinājums.

Dosim mums trīsstūri $ABC$. Mēs izveidosim tā simetriju attiecībā pret virsotni $A$. Virsotne $A$ zem centrālās simetrijas nonāks sevī (seko no definīcijas). Punkts $B$ dosies uz punktu $B_1$ šādi $(BA=AB)_1$, un punkts $C$ uz punktu $C_1$ šādi: $(CA=AC)_1$. Trijstūris $ABC$ pāriet trijstūrī $(AB)_1C_1$ (5. att.).

5. attēls

5. definīcija

Figūra ir simetriska attiecībā pret punktu $O$, ja katrs šīs figūras simetriskais punkts atrodas vienā un tajā pašā figūrā (6. att.).

6. attēls

Attēlā $6 $ parādīts paralelograms. Tam ir centrālā simetrija attiecībā pret diagonāļu krustošanās punktu.

Uzdevuma piemērs.

3. piemērs

Piešķirsim segmentu $AB$. Konstruē tās simetriju attiecībā pret taisni $l$, nevis krustojas šis segments un attiecībā pret punktu $C$, kas atrodas uz līnijas $l$.

Risinājums.

Shematiski attēlosim problēmas stāvokli.

7. attēls

Vispirms attēlosim aksiālo simetriju attiecībā pret taisni $l$. Tā kā aksiālā simetrija ir kustība, tad saskaņā ar teorēmu $1$ segments $AB$ tiks kartēts uz segmentu $A"B"$, kas ir vienāds ar to. Lai to izveidotu, mēs rīkojamies šādi: caur punktiem $A\ un\ B$ novelkam līnijas $m\ un\ n$, kas ir perpendikulāra taisnei $l$. Ļaujiet $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Pēc tam uzzīmējiet segmentus $A"X=AX$ un $B"Y=BY$.

8. attēls

Tagad attēlosim centrālo simetriju attiecībā pret punktu $C$. Tā kā centrālā simetrija ir kustība, tad saskaņā ar teorēmu $1$ segments $AB$ tiks kartēts uz segmentu $A""B""$, kas ir vienāds ar to. Lai to izveidotu, mēs veiksim sekojošo: zīmēsim līnijas $AC\ un\ BC$. Pēc tam uzzīmējiet segmentus $A^("")C=AC$ un $B^("")C=BC$.

9. attēls

Simetrija es Simetrija (no grieķu simetrija — proporcionalitāte)

matemātikā

1) simetrija (in šaurā nozīmē), vai atspulgs (spogulis) attiecībā pret plakni α telpā (attiecībā pret taisni). A plaknē), ir telpas (plaknes) transformācija, kurā katrs punkts M iet uz lietu M" tāds, ka segments MM" perpendikulāri plaknei α (taisni A) un pārgrieziet to uz pusēm. Plakne α (taisna A) sauc par plakni (asi) C.

Atspoguļošana ir ortogonālas transformācijas piemērs (sk. Ortogonālo transformāciju), kas maina orientāciju (sk. Orientācija) (pretēji pareizai kustībai). Jebkuru ortogonālu transformāciju var veikt, secīgi izpildot ierobežotu skaitu atspulgu - šim faktam ir būtiska loma S izpētē. ģeometriskās formas.

2) Simetrija (plašā nozīmē) - ģeometriskas figūras īpašība F, kas raksturo kādu formas likumsakarību F, tās nemainīgums kustību un atspulgu ietekmē. Precīzāk, figūra F ir S. (simetrisks), ja pastāv neidentiska ortogonāla transformācija, kas kartē šo figūru pati par sevi. Visu ortogonālo transformāciju kopa, kas apvieno figūru F ar sevi, ir grupa (Skatīt grupu), ko sauc par šīs figūras simetrijas grupu (dažreiz pašas šīs transformācijas sauc par simetrijām).

Tātad plakana figūra, kas atstarojot pārvēršas par sevi, ir simetriska attiecībā pret taisno līniju - C asi. ( rīsi. 1 ); šeit simetrijas grupa sastāv no diviem elementiem. Ja skaitlis F plaknē ir tāda, ka rotācijas ap jebkuru punktu O ar leņķi 360 ° / n, n- vesels skaitlis ≥ 2, pārtulkot to pats par sevi, tad F ir S. n-kārtība attiecībā uz punktu PAR- centrs C. Šādu skaitļu piemērs ir regulāri daudzstūri (rīsi. 2 ); grupa S. šeit - t.s. cikliskā grupa n-tais pasūtījums. Aplim ir bezgalīgas kārtas S. (jo tas tiek apvienots ar sevi, pagriežoties caur jebkuru leņķi).

Vienkāršākie telpisko S. veidi, papildus atspulgu radītajam S., ir pārneses centrālais S., aksiālais S. un S..

a) Centrālās simetrijas (inversijas) gadījumā par punktu O figūra Ф tiek apvienota ar sevi pēc secīgiem atspīdumiem no trim savstarpēji perpendikulārām plaknēm, citiem vārdiem sakot, punkts O ir nogriežņa vidusdaļa, kas savieno simetriskos punktus Ф ( rīsi. 3 ). b) Aksiālās simetrijas gadījumā vai S. attiecībā pret taisni n secībā, figūra tiek uzlikta uz sevi, pagriežot ap kādu taisnu līniju (N-ass) 360 ° / leņķī. n. Piemēram, kubam ir līnija AB ass C. trešās kārtas, un taisna līnija CD- ceturtās kārtas C. ass ( rīsi. 3 ); parasti regulārie un pusregulārie daudzskaldņi ir simetriski attiecībā pret līniju sēriju. S. spēles asu atrašanās vieta, skaits un secība svarīga loma kristalogrāfijā (sk. Kristālu simetrija), c) figūra, kas uzklāta uz sevi ar secīgu rotāciju 360 ° / 2 leņķī k ap taisnu līniju AB un atstarojums plaknē, kas ir perpendikulāra tai, ir spoguļaksiāla C. Taisna līnija AB, sauc par spoguļa-griešanās asi C. 2. kārtas k, ir pasūtījuma C ass k (rīsi. 4 ). Spoguļaksiālā līnija, kuras secība ir 2, ir ekvivalenta centrālajai līnijai d) Translācijas simetrijas gadījumā figūra tiek uzlikta uz sevi, pārvēršot pa kādu taisni (pārneses asi) kādā segmentā. Piemēram, figūrai ar vienu translācijas asi ir bezgalīgs skaits S. plakņu (jo jebkuru translāciju var veikt ar diviem secīgiem atstarojumiem no plaknēm, kas ir perpendikulāras translācijas asij) ( rīsi. 5 ). Kristālu režģu izpētē svarīga loma ir figūrām, kurām ir vairākas pārneses asis.

S. mākslā kļuvis plaši izplatīts kā viens no harmoniskas kompozīcijas veidiem (sk. kompozīciju). Tas ir raksturīgs arhitektūras darbiem (kā neatņemama īpašība, ja ne visai struktūrai kopumā, tad tās daļām un detaļām - plānam, fasādei, kolonnām, kapiteļiem utt.) un dekoratīvajai un lietišķajai mākslai. S. izmanto arī kā galveno paņēmienu apmaļu un ornamentu konstruēšanai ( plakanas figūras, kam attiecīgi ir viena vai vairākas S. pārneses kombinācijā ar atspīdumiem) ( rīsi. 6 , 7 ).

S. kombinācijas, ko rada atspīdumi un rotācijas (izsmeļ visu veidu S. ģeometriskās figūras), kā arī pārneses, ir interesantas un ir pētījumu priekšmets dažādas jomas dabas zinātnes. Piemēram, spirālveida S., ko veic, pagriežot noteiktā leņķī ap asi, ko papildina pārvietošana pa to pašu asi, tiek novērota lapu izkārtojumā augos ( rīsi. 8 ) (sīkāku informāciju skatiet rakstā Simetrija bioloģijā). C. molekulu konfigurācija, kas ietekmē to fizisko un ķīmiskās īpašības, svarīgi, kad teorētiskā analīze savienojumu struktūras, to īpašības un uzvedība dažādās reakcijās (sk. Simetrija ķīmijā). Visbeidzot, fiziskajās zinātnēs kopumā papildus jau norādītajai kristālu un režģu ģeometriskajai simetrijai lielu nozīmi iegūst simetrijas jēdziens vispārējā nozīmē (skat. zemāk). Tādējādi fiziskās telpas-laika simetrija, kas izteikta tās viendabīgumā un izotropijā (skat. Relativitātes teoriju), ļauj konstatēt t.s. saglabāšanas likumi; vispārinātajam S. izglītībā ir būtiska loma atomu spektri un klasifikācijā elementārdaļiņas(skatiet Simetriju fizikā).

3) Simetrija (vispārīgā nozīmē) nozīmē matemātiska (vai fiziska) objekta struktūras nemainīgumu attiecībā uz tā pārveidojumiem. Piemēram, relativitātes teorijas S. likumus nosaka to nemainīgums attiecībā pret Lorenca transformācijām (sk. Lorenca transformācijas). Transformāciju kopas definīcija, kas atstāj nemainīgas visas objekta strukturālās attiecības, t.i., grupas definīcija G viņa automorfisms, ir kļuvis par mūsdienu matemātikas un fizikas vadmotīvu, ļaujot dziļi iekļūt objekta iekšējā struktūrā kopumā un tā daļās.

Tā kā šādu objektu var attēlot ar kādas telpas elementiem R, kas apveltīts ar tai atbilstošu raksturīgu struktūru, ciktāl objekta transformācijas ir transformācijas R. Tas. iegūt grupas pārstāvību G transformācijas grupā R(vai vienkārši iekšā R), un objekta S. izpēte tiek reducēta uz darbības izpēti G ieslēgts R un šīs darbības invariantu atrašana. Tāpat S. fiziskie likumi, kas kontrolē pētāmo objektu un parasti tiek aprakstīti ar vienādojumiem, kurus apmierina telpas elementi R, nosaka darbība Gšādiem vienādojumiem.

Tā, piemēram, ja kāds vienādojums ir lineārs lineārā telpā R un paliek nemainīgs kādas grupas transformācijās G, tad katrs elements g no G atbilst lineārai transformācijai Tg lineārā telpā Ršī vienādojuma risinājumi. Sarakste g → Tg ir lineārs attēlojums G un visu šādu tā attēlojumu pārzināšana ļauj noteikt dažādas risinājumu īpašības, kā arī palīdz daudzos gadījumos (no "simetrijas apsvērumiem") atrast pašus risinājumus. Tas jo īpaši izskaidro nepieciešamību pēc matemātikas un fizikas izstrādātas teorijas par grupu lineāro attēlojumu. Konkrēti piemēri skatīt Art. Simetrija fizikā.

Lit.:Šubņikovs A.V., Simetrija. (Simetrijas likumi un to pielietojums zinātnē, tehnoloģijā un lietišķajā mākslā), M. - L., 1940; Kokster G. S. M., Ievads ģeometrijā, tulk. no angļu val., M., 1966; Veils G., Simetrija, tulk. no angļu val., M., 1968; Vīgners E., Etīdes par simetriju, tulk. no angļu valodas, M., 1971.

M. I. Voitsekhovskis.

Rīsi. 3. Kubs ar taisne AB kā trešās kārtas simetrijas ass, taisne CD kā ceturtās kārtas simetrijas ass, punkts O kā simetrijas centrs. Kuba punkti M un M" ir simetriski gan pret asīm AB un CD, gan pret centru O.

II Simetrija

fizikā. Ja likumi, kas nosaka attiecības starp lielumiem, kas raksturo fizisko sistēmu vai nosaka šo lielumu izmaiņas laika gaitā, nemainās noteiktās operācijās (pārveidojumos), kurām sistēma var tikt pakļauta, tad tiek uzskatīts, ka šiem likumiem ir S. ( vai ir nemainīgi) attiecībā uz datu transformācijām. Matemātiski S. transformācijas veido grupu (skat. grupu).

Pieredze rāda, ka fiziskie likumi ir simetriski attiecībā uz šādām vispārīgākajām transformācijām.

Nepārtrauktas pārvērtības

1) Sistēmas kopumā pārvietošana (nobīde) telpā. Šo un turpmākās telpas-laika transformācijas var saprast divās nozīmēs: kā aktīva transformācija - fiziskas sistēmas reāla pārnešana attiecībā pret izvēlēto atskaites sistēmu, vai arī kā pasīva transformācija - paralēla atskaites sistēmas pārnešana. S. fiziskie likumi attiecībā uz nobīdēm telpā nozīmē visu telpas punktu līdzvērtību, tas ir, neviena izvēlēta punkta neesamību telpā (telpas homogenitāte).

2) Sistēmas kā veseluma rotācija telpā. S. fizikālie likumi attiecībā uz šo transformāciju nozīmē visu kosmosa virzienu līdzvērtību (telpas izotropiju).

3) Laika izcelsmes maiņa (laika nobīde). S. attiecībā uz šo transformāciju nozīmē, ka fiziskie likumi ar laiku nemainās.

4) Pāreja uz atskaites sistēmu, kas pārvietojas attiecībā pret doto kadru ar nemainīgu (virzienā un lieluma) ātrumu. S. attiecībā uz šo transformāciju jo īpaši nozīmē visu inerciālo atskaites sistēmu ekvivalenci (sk. Inerciālo atskaites sistēmu) (sk. Relativitātes teoriju).

5) Gabarīta transformācijas. Likumi, kas apraksta to daļiņu mijiedarbību, kurām ir kāda veida lādiņš (elektriskais lādiņš (skatīt elektrisko lādiņu), bariona lādiņš (sk. bariona lādiņš), leptona lādiņš (sk. leptona lādiņš), hiperlādiņš omi), ir simetriski attiecībā uz lādiņa mērierīcēm. 1. veids. Šīs transformācijas sastāv no tā, ka visu daļiņu viļņu funkcijas (skatīt viļņu funkciju) var vienlaikus reizināt ar patvaļīgu fāzes koeficientu:

kur ψ j- daļiņu viļņu funkcija j, z j - daļiņai atbilstošs lādiņš, izteikts elementārā lādiņa vienībās (piemēram, elementārais elektriskais lādiņš e), β ir patvaļīgs skaitlisks faktors.

A→A + f, , (2)

Kur f(x,plkst z t) ir patvaļīga koordinātu funkcija ( X,plkst,z) un laiks ( t), Ar ir gaismas ātrums. Lai elektromagnētisko lauku gadījumā transformācijas (1) un (2) tiktu veiktas vienlaicīgi, ir nepieciešams vispārināt 1. veida gabarītu transformācijas: nepieciešams, lai mijiedarbības likumi būtu simetriski attiecībā uz pārveidojumiem. (1) ar vērtību β, kas ir patvaļīga koordinātu un laika funkcija: η — Planka konstante. Saistība starp 1. un 2. veida gabarītu transformācijām for elektromagnētiskā mijiedarbība elektriskā lādiņa dubultās lomas dēļ: no vienas puses, elektriskais lādiņš ir saglabājies lielums, no otras puses, tas darbojas kā mijiedarbības konstante, kas raksturo elektromagnētiskā lauka attiecības ar lādētām daļiņām.

Transformācijas (1) atbilst dažādu lādiņu saglabāšanās likumiem (skat. zemāk), kā arī dažām iekšējām simetriskām mijiedarbībām. Ja lādiņi ir ne tikai saglabājami lielumi, bet arī lauku avoti (piemēram, elektriskais lādiņš), tad tiem atbilstošajiem laukiem jābūt arī mērlaukiem (līdzīgiem elektromagnētiskajiem laukiem), un transformācijas (1) tiek vispārinātas gadījumam, kad lielumi β ir patvaļīgas koordinātu un laika funkcijas (un pat operatori, kas pārveido iekšējās sistēmas stāvokļus). Šāda pieeja mijiedarbības lauku teorijā noved pie dažādām spēcīgas un vājas mijiedarbības teorijām (tā sauktā Yang-Mils teorija).

Diskrētie pārveidojumi

Iepriekš uzskaitītajiem S. tipiem ir raksturīgi parametri, kas var nepārtraukti mainīties noteiktā vērtību diapazonā (piemēram, telpas nobīdi raksturo trīs pārvietošanās parametri pa katru koordinātu asi, rotācija par trim rotācijas leņķiem ap šīs asis utt.). Kopā ar nepārtrauktu S. liela nozīme fizikā ir diskrētie S. Galvenie ir šādi.

Simetrijas un saglabāšanas likumi

Saskaņā ar Noetera teorēmu (sk. Noether teorēmu) katra sistēmas transformācija, ko raksturo viens nepārtraukti mainīgs parametrs, atbilst vērtībai, kas saglabājas (laika gaitā nemainās) sistēmai, kurai ir šī sistēma. No fizikālo likumu sistēmas attiecībā uz slēgtas sistēmas nobīdi telpā, pagriežot to kopumā un mainot laika izcelsmi, ievēro attiecīgi impulsa, leņķiskā impulsa un enerģijas nezūdamības likumus. No S. attiecībā uz pirmā veida mērierīču transformācijām - lādiņu saglabāšanas likumiem (elektrisko, barionu utt.), no izotopu invariances - izotopu spina saglabāšanos (sk. Izotopu spin) spēcīgas mijiedarbības procesos. Kas attiecas uz diskrēto S., tad iekšā klasiskā mehānika tie nerada nekādus saglabāšanas likumus. Tomēr iekšā kvantu mehānika, kurā sistēmas stāvokli apraksta ar viļņu funkciju, vai viļņu laukiem (piemēram, elektromagnētiskajam laukam), kur ir spēkā Superpozīcijas princips, diskrēta S. esamība nozīmē saglabāšanas likumus dažiem konkrētiem lielumiem, kuriem ir nav analogu klasiskajā mehānikā. Šādu lielumu esamību var pierādīt ar telpiskās paritātes piemēru (sk. paritāti), kuras saglabāšana izriet no S. attiecībā uz telpisko inversiju. Patiešām, lai ψ 1 ir viļņa funkcija, kas apraksta kādu sistēmas stāvokli, un ψ 2 ir sistēmas viļņa funkcija, kas izriet no telpām. inversija (simboliski: ψ 2 = Rψ 1 , kur R ir kosmosa operators. inversijas). Tad, ja ir S. attiecībā uz telpisko inversiju, ψ 2 ir viens no iespējamiem sistēmas stāvokļiem un saskaņā ar superpozīcijas principu sistēmas iespējamie stāvokļi ir superpozīcijas ψ 1 un ψ 2: simetriska kombinācija ψ s = ψ 1 + ψ 2 un antisimetrisks ψ a = ψ 1 - ψ 2 . Veicot inversijas transformācijas, stāvoklis ψ 2 nemainās (jo Pψs = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), un stāvoklis ψ a maina zīmi ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Pirmajā gadījumā sistēmas telpiskā paritāte tiek uzskatīta par pozitīvu (+1), otrajā gadījumā tā ir negatīva (-1). Ja sistēmas viļņu funkciju nosaka, izmantojot lielumus, kas telpiskās inversijas laikā nemainās (piemēram, leņķiskais impulss un enerģija), tad arī sistēmas paritātei būs diezgan noteikta vērtība. Sistēma būs stāvoklī ar pozitīvu vai negatīvu paritāti (turklāt pārejas no viena stāvokļa uz otru spēku, kas ir simetriskas attiecībā uz telpisko inversiju, iedarbībā ir absolūti aizliegtas).

Kvantu mehānisko sistēmu un stacionāro stāvokļu simetrija. deģenerācija

Dažādām kvantu mehāniskajām sistēmām atbilstošo lielumu saglabāšanās ir sekas tam, ka tiem atbilstošie operatori komutē ar sistēmas Hamiltonu, ja tas nav tieši atkarīgs no laika (sk. Kvantu mehānika, Komutācijas attiecības). Tas nozīmē, ka šie lielumi ir izmērāmi vienlaikus ar sistēmas enerģiju, t.i., tie var iegūt diezgan noteiktas vērtības noteiktai enerģijas vērtībai. Tāpēc no tiem var izgatavot t.s. pilns daudzumu kopums, kas nosaka sistēmas stāvokli. Tātad sistēmas stacionāros stāvokļus (stāvokļus ar dotu enerģiju) nosaka lielumi, kas atbilst aplūkojamās sistēmas S..

S. klātbūtne noved pie tā, ka dažādiem kvantu mehāniskās sistēmas kustības stāvokļiem, kas iegūti viens no otra ar S. transformāciju, ir vienādas vērtības. fizikālie lielumi, kas šo transformāciju rezultātā nemainās. Tādējādi sistēmas S., kā likums, noved pie deģenerācijas (sk. deģenerāciju). Piemēram, noteiktai sistēmas enerģijas vērtībai var atbilst vairāki dažādi stāvokļi, kas pārveidojas viens caur otru C transformāciju laikā. Matemātiski šie stāvokļi veido sistēmas C grupas nereducējamas reprezentācijas pamatu (sk. Grupu ). Tas nosaka grupu teorijas metožu pielietošanas auglīgumu kvantu mehānikā.

Papildus enerģijas līmeņu deģenerācijai, kas saistīta ar sistēmas izteikto S. (piemēram, attiecībā uz sistēmas rotācijām kopumā), vairākās problēmās ir papildu deģenerācija, kas saistīta ar t.s. slēptā S. mijiedarbība. Šādas slēptās svārstības pastāv, piemēram, Kulona mijiedarbībai un izotropiskajam oscilatoram.

Ja sistēma, kurai ir daži S., atrodas spēku laukā, kas pārkāpj šo S. (bet pietiekami vāja, lai tos varētu uzskatīt par nelielu traucējumu), sākotnējās sistēmas deģenerētie enerģijas līmeņi tiek sadalīti: dažādi stāvokļi, kas , jo S. sistēmām bija vienāda enerģija, "asimetriskas" perturbācijas iedarbībā tās iegūst dažādus enerģijas pārvietojumus. Gadījumos, kad traucējošajam laukam ir noteikta S., kas ir daļa no sākotnējās sistēmas S., enerģijas līmeņu deģenerācija netiek pilnībā novērsta: daži līmeņi paliek deģenerēti atbilstoši mijiedarbības S. “ieslēdz” traucējošo lauku.

Enerģijas deģenerētu stāvokļu klātbūtne sistēmā savukārt norāda uz S. mijiedarbības esamību un principā ļauj atrast šo S., kad tas nav iepriekš zināms. Pēdējam apstāklim ir liela nozīme, piemēram, elementārdaļiņu fizikā. Daļiņu grupu ar tuvu masu un līdzīgiem citiem raksturlielumiem, bet atšķirīgiem elektriskajiem lādiņiem (tā sauktie izotopu multipleti) esamība ļāva noteikt spēcīgas mijiedarbības izotopu invarianci un iespēju apvienot daļiņas ar vienādām īpašībām plašākā veidā. grupas noveda pie atklājuma SU(3)-C. spēcīga mijiedarbība un mijiedarbības, kas pārkāpj šo simetriju (sk. Spēcīga mijiedarbība). Ir pazīmes, ka spēcīgajai mijiedarbībai ir vēl plašāka C grupa.

Ļoti auglīga koncepcija ir t.s. dinamiska S. sistēma, kas rodas, aplūkojot transformācijas, tai skaitā pārejas starp sistēmas stāvokļiem ar dažādām enerģijām. Dinamiskās S. grupas nereducējamais attēlojums būs viss sistēmas stacionāro stāvokļu spektrs. Dinamiskās S. jēdzienu var attiecināt arī uz gadījumiem, kad sistēmas Hamiltonians ir tieši atkarīgs no laika, un šajā gadījumā visi kvantu mehāniskās sistēmas stāvokļi, kas nav stacionāri (tas ir, kuriem nav noteiktas enerģijas), ir apvienoti vienā nereducējamā S dinamiskās grupas attēlojumā.).

Lit.: Vīgners E., Etīdes par simetriju, tulk. no angļu valodas, M., 1971.

S. S. Geršteins.

III Simetrija

ķīmijā izpaužas molekulu ģeometriskā konfigurācijā, kas ietekmē fizikālās un ķīmiskās īpašības molekulas izolētā stāvoklī, ārējā laukā un mijiedarbojoties ar citiem atomiem un molekulām.

Lielākajai daļai vienkāršu molekulu ir līdzsvara konfigurācijas telpiskās simetrijas elementi: simetrijas asis, simetrijas plaknes utt. (skat. Simetrija matemātikā). Tātad amonjaka molekulai NH 3 ir regulāras trīsstūrveida piramīdas simetrija, metāna molekulai CH 4 ir tetraedra simetrija. Sarežģītās molekulās līdzsvara konfigurācijas simetrijas kopumā, kā likums, nav, tomēr tās atsevišķo fragmentu simetrija ir aptuveni saglabāta (lokālā simetrija). Vispilnīgākais gan līdzsvara, gan nelīdzsvara molekulu konfigurāciju simetrijas apraksts tiek panākts, balstoties uz priekšstatiem par t.s. dinamiskās simetrijas grupas - grupas, kas ietver ne tikai kodola konfigurācijas telpiskās simetrijas operācijas, bet arī identisku kodolu permutācijas operācijas dažādās konfigurācijās. Piemēram, NH 3 molekulas dinamiskās simetrijas grupa ietver arī šīs molekulas inversijas darbību: N atoma pāreju no vienas plaknes puses, ko veido atomi N, otrā pusē.

Kodolu līdzsvara konfigurācijas simetrija molekulā ietver noteiktu šīs molekulas dažādu stāvokļu viļņu funkciju simetriju (sk. viļņu funkciju), kas ļauj klasificēt stāvokļus pēc simetrijas veidiem. Pāreja starp diviem stāvokļiem, kas saistīti ar gaismas absorbciju vai emisiju, atkarībā no stāvokļu simetrijas veidiem var parādīties molekulārajā spektrā (skatīt molekulāros spektrus), vai arī būt aizliegta, lai līnija vai josla atbilstu šai pārejai. spektrā nebūs. Stāvokļu simetrijas veidi, starp kuriem iespējamas pārejas, ietekmē līniju un joslu intensitāti, kā arī to polarizāciju. Piemēram, homonukleārām divatomu molekulām pārejas starp vienādas paritātes elektroniskajiem stāvokļiem ir aizliegtas un neparādās spektros, kuru elektronisko viļņu funkcijas inversijas darbības laikā uzvedas vienādi; benzola un līdzīgu savienojumu molekulām ir aizliegtas pārejas starp viena veida simetrijas nedeģenerētiem elektroniskajiem stāvokļiem utt. Simetrijas atlases noteikumi pārejām starp dažādiem stāvokļiem tiek papildināti ar atlases noteikumiem, kas saistīti ar šo stāvokļu Spin.

Molekulām ar paramagnētiskiem centriem šo centru vides simetrija izraisa noteikta veida anizotropiju g-faktors (Lande faktors), kas ietekmē elektronu paramagnētiskās rezonanses spektru struktūru (skat. Elektronu paramagnētiskā rezonanse), savukārt molekulām, kuru atomu kodoliem ir spinings, kas nav nulle, atsevišķu lokālo fragmentu simetrija noved pie noteikta veida enerģijas sadalīšanas stāvokļiem ar dažādas projekcijas kodola spins, kas ietekmē kodolmagnētiskās rezonanses spektru struktūru.

Aptuvenajās kvantu ķīmijas pieejās, kurās tiek izmantots molekulāro orbitāļu jēdziens, simetrijas klasifikācija ir iespējama ne tikai molekulas viļņu funkcijai kopumā, bet arī atsevišķām orbitālēm. Ja molekulas līdzsvara konfigurācijai ir simetrijas plakne, kurā atrodas kodoli, tad visas šīs molekulas orbitāles tiek iedalītas divās klasēs: simetriskā (σ) un antisimetriskā (π) attiecībā uz atstarošanas darbību šajā plaknē. . Molekulas, kurās augšējās (enerģētiski) aizņemtās orbitāles ir π-orbitāles, veido īpašas nepiesātināto un konjugētu savienojumu klases ar tām raksturīgajām īpašībām. Zināšanas par atsevišķu molekulu fragmentu lokālo simetriju un lokalizāciju uz šiem fragmentiem molekulārās orbitālesļauj spriest, kuri fragmenti ir vieglāk pakļauti ierosmei un spēcīgāk mainās ķīmisko pārvērtību gaitā, piemēram, fotoķīmiskās reakcijās.

Simetrijas jēdzieniem ir liela nozīme sarežģītu savienojumu struktūras, to īpašību un uzvedības dažādās reakcijās teorētiskajā analīzē. Kristāla lauka teorija un ligandu lauka teorija nosaka aizņemto un brīvo orbitāļu relatīvo stāvokli komplekss savienojums pamatojoties uz datiem par tās simetriju, enerģijas līmeņu sadalīšanās raksturu un pakāpi, mainoties ligandu lauka simetrijai. Zinot tikai kompleksa simetriju, ļoti bieži ir iespējams kvalitatīvi spriest par tā īpašībām.

1965. gadā P. Vudvards un R. Hofmans izvirzīja orbitālās simetrijas saglabāšanas principu ķīmiskajās reakcijās, ko pēc tam apstiprināja plaši eksperimentālie materiāli un kam bija liela ietekme uz preparātu attīstību. organiskā ķīmija. Šis princips (Vudvarda-Hofmana noteikums) nosaka, ka atsevišķi elementāri darbojas ķīmiskās reakcijas iziet, saglabājot molekulāro orbitāļu simetriju jeb orbitālo simetriju. Jo vairāk elementāras darbības laikā tiek izjaukta orbitāļu simetrija, jo grūtāka ir reakcija.

Molekulu simetrijas ņemšana vērā ir svarīga ķīmisko lāzeru un molekulāro taisngriežu izveidē izmantojamo vielu meklēšanā un atlasē, organisko supravadītāju modeļu konstruēšanā, kancerogēno un farmakoloģisko analīzē. aktīvās vielas utt.

Lit.: Hochstrasser R., Simetrijas molekulārie aspekti, trans. no angļu val., M., 1968; Bolotins A. B., Stepanovs N. f. Grupu teorija un tās pielietojums molekulu kvantu mehānikā, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Orbitālās simetrijas saglabāšana, trans. no angļu valodas, M., 1971.

N. F. Stepanovs.

IV Simetrija

bioloģijā (biosimetrija). gadā S. fenomenam dzīvajā dabā tika pievērsta uzmanība Senā Grieķija Pitagorieši (5. gs. p.m.ē.) saistībā ar viņu harmonijas doktrīnas attīstību. 19. gadsimtā ir parādījušies izolēti darbi par S. no augiem (franču zinātnieki O. P. Decandol un O. Bravo), dzīvniekiem (vāciski - E. Haeckel), biogēnām molekulām (franču - A. Vehan, L. Pasteur u.c.). 20. gadsimtā bioloģiskie objekti tika pētīti no viedokļa vispārējā teorija S. (padomju zinātnieki Ju. V. Vulfs, V. N. Beklemiševs, B. K. Vainšteins, holandiešu fizikoķīmiķis F. M. Egers, angļu kristalogrāfi J. Bernāla vadībā) un labējā un kreisā doktrīna (padomju zinātnieki V. I. Vernadskis, V. V. F. Alpatovs, G. Gauze un citi, un vācu zinātnieks V. Ludvigs). Šo darbu rezultātā 1961. gadā S. teorijā tika identificēts īpašs virziens - biosimetrija.

Visintensīvāk pētīta bioloģisko objektu strukturālā S.. Biostruktūru - molekulāro un supramolekulāro - S. izpēte no strukturālās S. viedokļa ļauj iepriekš noteikt tiem iespējamos S. veidus un līdz ar to iespējamo modifikāciju skaitu un veidus, precīzi aprakstīt ārējos. jebkuru telpisko bioloģisko objektu forma un iekšējā struktūra. Tas izraisīja strukturālo S. attēlojumu plašu izmantošanu zooloģijā, botānikā, molekulārā bioloģija. Strukturālā S. izpaužas galvenokārt viena vai otra regulāra atkārtojuma veidā. IN klasiskā teorija Vācu zinātnieku J. F. Gesela, E. S. Fedorova un citu izstrādāto strukturālo simetriju objekta simetrijas parādīšanos var raksturot ar tā struktūras elementu kopumu, t.i., tādiem ģeometriskiem elementiem (punktiem, līnijām, plaknēm), attiecībā pret kuriem ir sakārtotas tās pašas objekta daļas (skat. Simetrija matemātikā). Piemēram, skats uz S. floksu ziedu ( rīsi. 1 , c) - viena 5. kārtas ass, kas iet caur zieda centru; ražots tās darbības laikā - 5 apgriezieni (par 72, 144, 216, 288 un 360 °), katrā no kuriem zieds sakrīt ar sevi. Skatīt C. tauriņa figūru ( rīsi. 2 , b) - viena plakne, kas sadala to 2 daļās - pa kreisi un pa labi; ar plaknes palīdzību veiktā operācija ir spoguļattēls, “izveidojot” labās puses kreiso pusi, kreisās labo pusi un tauriņa figūru savienojoties ar sevi. Skatīt C. radiolarian Lithocubus geometricus ( rīsi. 3 , b), papildus rotācijas asīm un atstarošanas plaknēm tajā ir arī centrs C. Jebkura taisne, kas novilkta caur šādu vienu punktu radiolārijas iekšpusē abās tā pusēs un vienādos attālumos sastopas ar to pašu (atbilstoši) figūras punkti. Operācijas, kas tiek veiktas ar S. centra palīdzību, ir atspulgi kādā punktā, pēc kuriem radiolāra figūra tiek apvienota arī ar sevi.

Dzīvajā dabā (kā arī nedzīvajā dabā) dažādu ierobežojumu dēļ parasti sastopams ievērojami mazāks S. sugu skaits, nekā tas ir teorētiski iespējams. Piemēram, dzīvās dabas attīstības zemākajos posmos ir visu punktveida S. klašu pārstāvji - līdz organismiem, kuriem raksturīgs regulāru daudzskaldņu S. un lode (sk. rīsi. 3 ). Tomēr augstākās evolūcijas stadijās augi un dzīvnieki galvenokārt sastopami t.s. aksiāls (tips n) un aktinomorfs (tips n(m)AR. (abos gadījumos n var ņemt vērtības no 1 līdz ∞). Bioobjekti ar aksiālu S. (sk. rīsi. 1 ) raksturo tikai kārtas C. ass n. Saktinomorfā S. bioobjekti (sk. rīsi. 2 ) raksturo viena secības ass n un plaknes, kas krustojas pa šo asi m. Savvaļā visbiežāk sastopamas S. sugas. n = 1 un 1. m = m, sauc attiecīgi par asimetriju (Skatīt asimetriju) un divpusēju, jeb divpusēju, S. Asimetrija ir raksturīga lielākajai daļai augu sugu lapām, divpusējais S. - zināmā mērā cilvēka ķermeņa ārējai formai, mugurkaulniekiem un daudzi bezmugurkaulnieki. Mobilajos organismos šāda kustība acīmredzot ir saistīta ar atšķirībām to kustībā uz augšu un uz leju, kā arī uz priekšu un atpakaļ, savukārt to kustības pa labi un pa kreisi ir vienādas. Viņu divpusējās S. pārkāpums neizbēgami novestu pie vienas puses kustības kavēšanas un virzības uz priekšu pārvēršanas apļveida kustībā. 50-70 gados. 20. gadsimts intensīvas studijas (galvenokārt PSRS) tika pakļautas t.s. dissimetriski bioobjekti ( rīsi. 4 ). Pēdējais var pastāvēt vismaz divās modifikācijās - oriģināla un tā spoguļattēla (antipoda) formā. Turklāt vienu no šīm formām (neatkarīgi no tā, kura) sauc par labo vai D (no latīņu valodas dextro), otru - par kreiso vai L (no latīņu valodas laevo). Pētot D- un L-bioloģisko objektu formu un uzbūvi, tika izstrādāta disimetrizējošu faktoru teorija, pierādot jebkuram D- vai L-objektam divu vai vairāku (līdz bezgalīgam skaitam) modifikāciju iespējamību (sk. arī rīsi. 5 ); tajā pašā laikā tajā bija arī formulas pēdējo skaita un veida noteikšanai. Šī teorija lika atklāt tā saukto. bioloģiskā izomērija (sk. Izomērija) (dažādi viena sastāva bioloģiskie objekti; uz rīsi. 5 Parādīti 16 liepu lapu izomēri).

Pētot bioloģisko objektu sastopamību, tika konstatēts, ka dažos gadījumos dominē D-formas, citos L-formas, citos tās ir tikpat izplatītas. Bešāns un Pastērs (19. gadsimta 40. gadi), un 30. gados. 20. gadsimts Padomju zinātnieki G.F.Gause un citi pierādīja, ka organismu šūnas ir veidotas tikai vai galvenokārt no L-aminoskābēm, L-proteīniem, D-dezoksiribonukleīnskābēm, D-cukuriem, L-alkaloīdiem, D- un L-terpēniem utt. dzīvu šūnu fundamentāla un raksturīga iezīme, ko Pastērs sauca par protoplazmas disimetriju, nodrošina šūnai, kā tas tika noteikts 20. gadsimtā, aktīvāku vielmaiņu un tiek uzturēta, izmantojot sarežģītus bioloģiskos un fizikāli ķīmiskos mehānismus, kas radušies evolūcijas process. Pūces. 1952. gadā zinātnieks V. V. Alpatovs uz 204 vaskulāro augu sugām konstatēja, ka 93,2% augu sugu pieder tipam ar L-, 1,5% - ar D-kursu asinsvadu sieniņu spirālveida sabiezējumiem, 5,3% sugu. - uz racēmisko tipu (D asinsvadu skaits ir aptuveni vienāds ar L asinsvadu skaitu).

Pētot D- un L-bioloģiskos objektus, tika konstatēts, ka vienlīdzība starp D un L formas dažos gadījumos tas tiek traucēts to fizioloģisko, bioķīmisko un citu īpašību atšķirību dēļ. Šo dzīvās dabas iezīmi sauca par dzīves disimetriju. Tādējādi L-aminoskābju ierosinošā ietekme uz plazmas kustību augu šūnās ir desmitiem un simtiem reižu lielāka nekā to pašu D-formu iedarbība. Daudzas antibiotikas (penicilīns, gramicidīns u.c.), kas satur D-aminoskābes, ir baktericīdākas nekā to formas ar L-aminoskābēm. Biežāk sastopamās spirālveida L-kop bietes ir par 8-44% (atkarībā no šķirnes) smagākas un satur par 0,5-1% vairāk cukura nekā D-kop bietes.

Definīcija. Simetrija (nozīmē "proporcionalitāte") - ģeometrisku objektu īpašība apvienoties ar sevi noteiktās pārvērtībās. Zem simetrija saprast visu pareizību iekšējā struktūraķermeņi vai formas.

Simetrija par punktu ir centrālā simetrija (23. att. zemāk), un simetrija par taisnu līniju ir aksiālā simetrija (24. attēls tālāk).

Simetrija par punktu pieņem, ka kaut kas atrodas abās punkta pusēs vienādos attālumos, piemēram, citi punkti vai punktu lokuss (taisnas līnijas, izliektas līnijas, ģeometriskas figūras).

Ja jūs savienojat simetrisku punktu līniju (ģeometriskas figūras punktus) caur simetrijas punktu, tad simetriski punkti atrodas līnijas galos, un simetrijas punkts būs tās vidus. Ja jūs nofiksējat simetrijas punktu un pagriežat līniju, tad simetriski punkti aprakstīs līknes, kuru katrs punkts būs simetrisks arī citas izliektas līnijas punktam.

Simetrija par taisnu līniju(simetrijas ass) pieņem, ka gar perpendikulu, kas novilkts caur katru simetrijas ass punktu, divi simetriski punkti atrodas vienādā attālumā no tā. Tās pašas ģeometriskās figūras var atrasties attiecībā pret simetrijas asi (taisnu līniju) kā attiecībā pret simetrijas punktu.

Piemērs ir piezīmju grāmatiņas lapa, kas ir pārlocīta uz pusēm, ja gar locīšanas līniju ir novilkta taisna līnija (simetrijas ass). Katram lapas vienas puses punktam būs simetrisks punkts lapas otrajā pusē, ja tie atrodas vienādā attālumā no locīšanas līnijas perpendikulāri asij.

Aksiālās simetrijas līnija, kā parādīts 24. attēlā, ir vertikāla, un loksnes horizontālās malas ir tai perpendikulāras. Tas ir, simetrijas ass kalpo kā perpendikulārs horizontālo līniju viduspunktiem, kas ierobežo loksni. Simetriskie punkti (R un F, C un D) atrodas vienādā attālumā no aksiālās līnijas - perpendikulāra līnijām, kas savieno šos punktus. Līdz ar to visi caur nogriežņa vidu novilktā perpendikula (simetrijas ass) punkti atrodas vienādā attālumā no tā galiem; vai jebkurš perpendikula (simetrijas ass) punkts no segmenta vidus atrodas vienādā attālumā no šī segmenta galiem.

6.7.3. Aksiālā simetrija

punktus A Un A 1 ir simetriski attiecībā pret taisni m, jo līnija m ir perpendikulāra nogrieznim AA 1 un iet cauri tās vidum.

m ir simetrijas ass.

Taisnstūris ABCD ir divas simetrijas asis: taisna m Un l.

Ja zīmējums ir salocīts taisnā līnijā m vai taisnā līnijā l, tad abas zīmējuma daļas sakritīs.

Kvadrāts ABCD ir četras simetrijas asis: taisna m, l, k Un s.

Ja kvadrāts ir saliekts pa kādu no taisnēm: m, l, k vai s, tad abas kvadrāta daļas sakritīs.

Aplim, kura centrs ir punkts O un rādiuss OA, ir bezgalīgs skaits simetrijas asu. Tie ir tieši: m, m1, m2, m 3 .

Vingrinājums. Izveidojiet punktu A 1 , kas ir simetrisks punktam A (-4; 2) ap Ox asi.

Izveidojiet punktu A 2 , kas ir simetrisks punktam A (-4; 2) ap asi Oy.

Punkts A 1 (-4; -2) ir simetrisks punktam A (-4; 2) ap Ox asi, jo Ox ass ir perpendikulāra segmentam AA 1 un iet caur tā vidu.

Punktiem, kas ir simetriski pret x asi, abscises ir vienādas, un ordinātas ir pretēji skaitļi.

Punkts A 2 (4; -2) ir simetrisks punktam A (-4; 2) ap Oy asi, jo Oy ass ir perpendikulāra segmentam AA 2 un iet caur tā vidu.

Punktiem, kas ir simetriski pret Oy asi, ordinātas ir vienādas, un abscises ir pretēji skaitļi.

www.mathematics-repetition.com

wiki.eduVdom.com

Lietotāja rīki

Vietnes rīki

Sānu panelis

Ģeometrija:

Kontakti

Centrālā un aksiālā simetrija

Centrālā simetrija

Divus punktus A un A 1 sauc par simetriskiem attiecībā pret punktu O, ja O ir nogriežņa AA 1 viduspunkts (1. att.). Punkts O tiek uzskatīts par simetrisku sev.

Centrālās simetrijas piemērs

Figūru sauc par simetrisku attiecībā pret punktu O, ja katram figūras punktam tai pieder simetrisks punkts attiecībā pret punktu O. Punktu O sauc par figūras simetrijas centru. Tiek uzskatīts, ka figūrai ir arī centrālā simetrija.

Centrālās simetrijas figūru piemēri ir aplis un paralelograms (2. att.).

Apļa simetrijas centrs ir apļa centrs, un paralelograma simetrijas centrs ir tā diagonāļu krustpunkts. Taisnei ir arī centrālā simetrija, tomēr atšķirībā no apļa un paralelograma, kuriem ir tikai viens simetrijas centrs (2. att. O punkts), taisnei to ir bezgalīgi daudz - jebkurš taisnes punkts ir tā simetrijas centrs.

Aksiālā simetrija

Divus punktus A un A 1 sauc par simetriskiem taisnei a, ja šī taisne iet caur nogriežņa AA 1 vidu un ir tai perpendikulāra (3. att.). Katrs taisnes a punkts tiek uzskatīts par simetrisku sev.

Figūru sauc par simetrisku attiecībā pret taisni a, ja katram figūras punktam tai pieder arī tai attiecībā pret taisni a simetriskais punkts. Līniju a sauc par figūras simetrijas asi.

Šādu figūru un to simetrijas asu piemēri ir parādīti 4. attēlā.

Ņemiet vērā, ka riņķim jebkura taisna līnija, kas iet caur tā centru, ir simetrijas ass.

Simetriju salīdzinājums

Centrālā un aksiālā simetrija

Cik simetrijas asu ir attēlā redzamajam skaitlim?

wiki.eduvdom.com

Nodarbība "Aksiālā un centrālā simetrija"

Īss dokumenta apraksts:

Pietiek ar simetriju interesanta tēmaģeometrijā, jo tieši šis jēdziens ļoti bieži sastopams ne tikai cilvēka dzīves procesā, bet arī dabā.

Videoprezentācijas pirmajā daļā "Aksiālā un centrālā simetrija" ir noteikta divu punktu simetrija attiecībā pret plaknes taisni. To simetrijas nosacījums ir iespēja caur tiem novilkt segmentu, caur kuru vidu iet dotā taisne. Šādas simetrijas priekšnoteikums ir segmenta un līnijas perpendikularitāte.

Nākamā video apmācības daļa sniedz labs piemērs definīcija, kas parādīta zīmējuma veidā, kur vairāki punktu pāri ir simetriski attiecībā pret līniju, un jebkurš šīs līnijas punkts ir simetrisks pats pret sevi.

Pēc sākotnējo simetrijas jēdzienu saņemšanas studentiem tiek piedāvāta sarežģītāka figūras definīcija, kas ir simetriska pret taisni. Definīcija tiek piedāvāta teksta noteikuma veidā, un to pavada arī runātāja runa aizkulisēs. Šī daļa beidzas ar simetrisku un nesimetrisku figūru piemēriem, salīdzinoši taisni. Interesanti, ka ir ģeometriskas formas, kurām ir vairākas simetrijas asis - tās visas ir uzskatāmi parādītas zīmējumu veidā, kur asis ir izceltas atsevišķā krāsā. Šādā veidā iespējams atvieglot piedāvātā materiāla izpratni - objekts vai figūra ir simetrisks, ja tas precīzi sakrīt, kad abas puses ir salocītas attiecībā pret tā asi.

Papildus aksiālajai simetrijai ir simetrija par vienu punktu. Nākamā video prezentācijas daļa ir veltīta šai koncepcijai. Pirmkārt, tiek dota divu punktu simetrijas definīcija attiecībā pret trešo, pēc tam tiek sniegts piemērs attēla veidā, kas parāda simetrisku un nesimetrisku punktu pāri. Šī nodarbības daļa beidzas ar ģeometrisko formu piemēriem, kurām ir vai nav simetrijas centra.

Nodarbības noslēgumā skolēni tiek aicināti iepazīties ar spilgtākajiem simetrijas piemēriem, kas sastopami apkārtējā pasaulē. Izpratne un spēja veidot simetriskas figūras ir vienkārši nepieciešamas to cilvēku dzīvē, kuri nodarbojas ar dažādām profesijām. Savā pamatā simetrija ir visas cilvēka civilizācijas pamats, jo 9 no 10 objektiem, kas ieskauj cilvēku, ir viena vai otra veida simetrija. Bez simetrijas nebūtu iespējams uzcelt daudzas lielas arhitektūras būves, nebūtu iespējams sasniegt iespaidīgas jaudas rūpniecībā utt. Dabā simetrija ir arī ļoti izplatīta parādība, un, ja nedzīvos objektos to ir gandrīz neiespējami sastapt, tad dzīvā pasaule burtiski mudž no tās - gandrīz visai florai un faunai, ar retiem izņēmumiem, ir vai nu aksiālā, vai centrālā simetrija. .

Parastā skolas mācību programma ir veidota tā, lai to saprastu ikviens stundā uzņemtais skolēns. Videoprezentācija vairākkārt atvieglo šo procesu, jo vienlaikus ietekmē vairākus informācijas izstrādes centrus, sniedz materiālu vairākās krāsās, tādējādi liekot skolēniem koncentrēt uzmanību uz svarīgāko nodarbības laikā. Atšķirībā no skolās ierastā pasniegšanas veida, kad ne katrs skolotājs spēj vai vēlas atbildēt uz skolēniem precizējošiem jautājumiem, video nodarbību var viegli pārtīt uz nepieciešamo vietu lai vēlreiz noklausītos runātāju un vēlreiz izlasītu nepieciešamo informāciju līdz tās pilnīgai izpratnei. Ņemot vērā materiāla prezentācijas vieglumu, video prezentāciju var izmantot ne tikai mācību stundās, bet arī mājās, kā patstāvīgu mācību veidu.

urokimatematiki.ru

Prezentācija “Kustība. Aksiālā simetrija »

Arhīvā esošie dokumenti:

Dokumenta nosaukums 8.

Prezentācijas apraksts atsevišķos slaidos:

Centrālā simetrija ir viens no kustības piemēriem

Definīcija Aksiālā simetrija ar asi a - telpas kartēšana uz sevi, kurā jebkurš punkts K iet uz punktu K1, kas ir simetrisks tam attiecībā pret asi a

1) Oxyz - taisnstūra sistēma koordinātes Oz - simetrijas ass 2) M(x; y; z) un M1(x1; y1; z1), ir simetriskas attiecībā pret Oz asi. Formulas būs patiesas pat tad, ja punkts M ⊂ Oz y; z ) M1(x1; y1; z1) O

Pierādīt: 1. uzdevums ar aksiālo simetriju, taisne, kas veido leņķi φ ar simetrijas asi, tiek kartēta uz taisnes, kas arī veido leņķi φ ar simetrijas leņķa φ A F E N m l a φ φ simetrijas asi.

Dots: 2) △ABD - taisnstūrveida, saskaņā ar Pitagora teorēmu: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - taisnstūrveida, saskaņā ar Pitagora teorēmu: 2. uzdevums Atrast: BD2 Risinājums:

Īss dokumenta apraksts:

Prezentācija “Kustība. Aksiālā simetrija ”ir vizuāls materiāls šīs tēmas galveno noteikumu skaidrošanai skolas matemātikas stundā. Šajā prezentācijā aksiālā simetrija tiek uzskatīta par cita veida kustību. Prezentācijas laikā studentiem tiek atgādināts par izpētīto centrālās simetrijas jēdzienu, dota aksiālās simetrijas definīcija, pierādīta nostāja, ka aksiālā simetrija ir kustība, un divu problēmu risinājums, kurās nepieciešams operēt ar jēdzienu. ir aprakstīta aksiālās simetrijas.

Aksiālā simetrija ir kustība, tāpēc tās attēlošana uz tāfeles ir sarežģīta. Skaidrākas un saprotamākas konstrukcijas var izveidot, izmantojot elektroniskos līdzekļus. Pateicoties tam, konstrukcijas ir skaidri redzamas no jebkura galda klasē. Zīmējumos ir iespējams ar krāsu izcelt konstrukcijas detaļas, koncentrēties uz darbības iezīmēm. Tajā pašā nolūkā tiek izmantoti animācijas efekti. Ar prezentācijas rīku palīdzību skolotājam ir vieglāk sasniegt mācību mērķus, tāpēc prezentācija tiek izmantota stundas efektivitātes paaugstināšanai.

Demonstrācija sākas, atgādinot skolēniem par kustības veidu, ko viņi ir apguvuši – centrālo simetriju. Darbības piemērošanas piemērs ir simetrisks uzzīmēta bumbiera attēlojums. Plaknē tiek atzīmēts punkts, attiecībā pret kuru katrs attēla punkts kļūst simetrisks. Tādējādi parādītais attēls tiek apgriezts otrādi. Šajā gadījumā visi attālumi starp objekta punktiem tiek saglabāti ar centrālo simetriju.

Otrais slaids iepazīstina ar aksiālās simetrijas jēdzienu. Attēlā parādīts trijstūris, katra tā virsotne nonāk simetriskā trijstūra virsotnē attiecībā pret kādu asi. Lodziņā ir izcelta aksiālās simetrijas definīcija. Tiek atzīmēts, ka ar to katrs objekta punkts kļūst simetrisks.

Tālāk taisnstūra koordinātu sistēmā tiek ņemta vērā aksiālā simetrija, objekta koordinātu īpašības, kas attēlotas, izmantojot aksiālo simetriju, kā arī tiek pierādīts, ka šī kartēšana saglabā attālumus, kas ir kustības pazīme. Taisnstūra koordinātu sistēma Oxyz ir parādīta slaida labajā pusē. Oza ass tiek uzskatīta par simetrijas asi. Telpā ir atzīmēts punkts M, kas atbilstošā kartējumā pāriet uz M 1. Attēlā redzams, ka ar aksiālo simetriju punkts saglabā savu pielietojumu.

Jāatzīmē, ka šī kartējuma ar aksiālo simetriju abscisu un ordinātu vidējais aritmētiskais ir vienāds ar nulli, tas ir, (x+ x 1)/2=0; (y + y 1)/2=0. Pretējā gadījumā tas norāda, ka x=-x 1 ; y=-y1; z=z 1. Noteikums tiek saglabāts arī tad, ja punkts M ir atzīmēts uz pašas Oza ass.

Lai noskaidrotu, vai attālumi starp punktiem tiek saglabāti ar aksiālo simetriju, ir aprakstīta darbība punktos A un B. Parādīti ap Oz asi, aprakstītie punkti iet uz A1 un B1. Lai noteiktu attālumu starp punktiem, mēs izmantojam formulu, kurā attālums tiek aprēķināts no koordinātām. Jāatzīmē, ka AB \u003d √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2) un parādītajiem punktiem A 1 B 1 \u003d √ (- x 2 + x 1) 2 + (-y 2 + y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2). Ņemot vērā kvadrātēšanas īpašības, var atzīmēt, ka AB=A 1 B 1 . Tas liek domāt, ka attālumi starp punktiem tiek saglabāti − galvenā iezīme kustība. Tādējādi aksiālā simetrija ir kustība.

5. slaidā aplūkots 1. uzdevuma risinājums. Tajā jāpierāda apgalvojums, ka taisne, kas iet leņķī φ pret simetrijas asi, veido ar to tādu pašu leņķi φ. Uzdevumam dots attēls, uz kura uzzīmēta simetrijas ass, kā arī taisne m, kas veido leņķi φ ar simetrijas asi un attiecībā pret asi tās attēlojums ir taisne l. Apgalvojuma pierādīšana sākas ar papildu punktu konstruēšanu. Tiek atzīmēts, ka taisne m krusto simetrijas asi punktā A. Ja uz šīs taisnes atzīmējam punktu F≠A un nolaižam perpendikulu no tā uz simetrijas asi, iegūstam perpendikula krustpunktu ar simetrijas asi. punktā E. Ar aksiālo simetriju segments FE pāriet segmentā NE. Šīs konstrukcijas rezultātā tika iegūti taisnleņķa trīsstūri ΔAEF un ΔAEN. Šie trīsstūri ir vienādi, jo AE ir to kopējā kāja, un FE = NE ir vienādi pēc konstrukcijas. Attiecīgi leņķis ∠EAN=∠EAF. No tā izriet, ka kartētā līnija veido arī leņķi φ ar simetrijas asi. Problēma atrisināta.

Pēdējā slaidā aplūkots 2. uzdevuma risinājums, kurā dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ar malu a. Ir zināms, ka pēc simetrijas ap asi, kurā atrodas mala B 1 D 1, punkts D pāriet uz D 1 . Uzdevums ir atrast BD 2 . Uzdevums tiek veidots. Attēlā parādīts kubs, kas parāda, ka simetrijas ass ir kuba skaldnes B 1 D 1 diagonāle. Punkta D kustības laikā izveidotais segments ir perpendikulārs tās sejas plaknei, kurai pieder simetrijas ass. Tā kā kustības laikā tiek saglabāti attālumi starp punktiem, tad DD 1 = D 1 D 2 =a, tas ir, attālums DD 2 =2a. No taisnleņķa trīsstūrisΔABD pēc Pitagora teorēmas izriet, ka BD=√(AB 2 +AD 2)=а√2. No taisnleņķa trīsstūra ΔВDD 2 izriet Pitagora teorēma BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2)=а√6. Problēma atrisināta.

Prezentācija “Kustība. Aksiālā simetrija" tiek izmantota, lai uzlabotu skolas matemātikas stundas efektivitāti. Arī šī vizualizācijas metode palīdzēs skolotājam tālmācības. Materiālu patstāvīgai izskatīšanai var piedāvāt skolēni, kuri nav pietiekami labi apguvuši stundas tēmu.

Kāpēc sieva aizgāja un neiesniedz šķiršanās pieteikumu Praktisks forums par patiesu mīlestību Sieva iesniedz laulības šķiršanu.Palīdzība! Sieva iesniedz laulības šķiršanas pieteikumu.Palīdziet! Ievietoja MIRON4IK » 2009. gada 23. oktobris, 16:22 Ievietoja raz » 2009. gada 23. oktobris, 19:17 Ievietoja MIRON4IK » 2009. gada 23. oktobris, 22:21 Postedon » […]

Spriedums par fašismu — Nirnbergas process 1945. gada 8. augustā, trīs mēnešus pēc uzvaras pār nacistisko Vāciju, uzvarējušās valstis: PSRS, ASV, Lielbritānija un Francija Londonas konferences laikā apstiprināja […]

Durovičs A.P. Mārketings tūrismā Apmācība. - Minska: Jaunas zināšanas, 2003. - 496 lpp. Tiek atklāta mārketinga būtība, principi, tā funkcijas un mārketinga aktivitāšu tehnoloģija tūrismā. Konceptuāli mācību rokasgrāmatas struktūra […]

Reizināšanas tabulas mācību ceļvedis, Lakeshore Pašpārbaudes dalīšanas dēlis padara matemātiku tik vienkāršu, ka bērni var mācīties paši! Bērni vienkārši nospiediet vienlīdzības pogas. Un šeit ir atbildes! 81 […]

Nodarbības mērķis:

jēdziena "simetriski punkti" veidošana;
iemācīt bērniem veidot punktus, kas ir simetriski datiem;
iemācīties veidot segmentus simetriski datiem;
pagātnes konsolidācija (skaitļošanas prasmju veidošana, sadalot daudzciparu skaitli viencipara skaitli).

Uz stenda "uz nodarbību" kartītes:

1. Organizatoriskais moments

Sveicieni.

Skolotājs vērš uzmanību uz stendu:

Bērni, mēs sākam nodarbību, plānojot savu darbu.

Šodien matemātikas stundā dosimies ceļojumā uz 3 valstībām: aritmētikas, algebras un ģeometrijas valstību. Sāksim nodarbību ar mums šodien svarīgāko, ar ģeometriju. Es jums pastāstīšu pasaku, bet "Pasaka ir meli, bet tajā ir mājiens - mācība labiem biedriem."

": Vienam filozofam, vārdā Buridans, bija ēzelis. Reiz, ilgu laiku aizejot, filozofs nolika ēzelim priekšā divas vienādas siena rokas. Viņš nolika soliņu un pa kreisi no sola un pa labi no tā. tādā pašā attālumā viņš nolika tieši tādas pašas siena rokas.

1. attēls uz tāfeles:

Ēzelis gāja no vienas siena rokas uz otru, bet neizlēma, ar kuru roku sākt. Un galu galā viņš nomira no bada.

Kāpēc ēzelis neizlēma, ar kuru siena sauju sākt?

Ko jūs varat teikt par šīm siena rokām?

(Siena rokas ir tieši vienādas, tās atradās vienādā attālumā no sola, kas nozīmē, ka tās ir simetriski).

2. Veiksim kādu pētījumu.

Paņemiet papīra lapu (katram bērnam uz galda ir krāsaina papīra lapa), salokiet to uz pusēm. Izduriet to ar kompasa kāju. Izvērst.

Ko tu dabūji? (2 simetriski punkti).

Kā pārliecināties, ka tie patiešām ir simetriski? (locīt lapu, punkti sakrīt)

3. Uz galda:

Vai jūs domājat, ka šie punkti ir simetriski? (Nē). Kāpēc? Kā mēs varam par to būt pārliecināti?

3. attēls:

Vai šie punkti A un B ir simetriski?

Kā mēs to varam pierādīt?

(Izmēra attālumu no taisnes līdz punktiem)

Mēs atgriežamies pie mūsu krāsainā papīra gabaliņiem.

Izmēriet attālumu no locījuma līnijas (simetrijas ass) vispirms līdz vienam un pēc tam citam punktam (bet vispirms savienojiet tos ar segmentu).

Ko jūs varat teikt par šiem attālumiem?

(Tas pats)

Atrodiet sava segmenta viduspunktu.

Kur viņa ir?

(Tas ir segmenta AB krustošanās punkts ar simetrijas asi)

4. Pievērsiet uzmanību stūriem, veidojas nogriežņa AB krustošanās rezultātā ar simetrijas asi. (Noskaidrojam ar kvadrāta palīdzību, katrs bērns strādā savā darba vietā, viens mācās uz tāfeles).

Secinājums bērniem: segments AB atrodas taisnā leņķī pret simetrijas asi.

To nezinot, mēs tagad esam atklājuši matemātisko likumu:

Ja punkti A un B ir simetriski pret taisni vai simetrijas asi, tad segments, kas savieno šos punktus, atrodas taisnā leņķī jeb perpendikulāri šai taisnei. (Atsevišķi uz stenda rakstīts vārds "perpendikulārs"). Vārds "perpendikulārs" tiek izrunāts skaļi unisonā.

5. Pievērsīsim uzmanību tam, kā šis noteikums ir rakstīts mūsu mācību grāmatā.

Mācību grāmatu darbs.

Atrodiet simetriskus punktus uz taisnas līnijas. Vai punkti A un B būs simetriski šai taisnei?

6. Darbs pie jauna materiāla.

Uzzināsim, kā izveidot punktus, kas ir simetriski taisnas līnijas datiem.

Skolotājs māca spriest.

Lai izveidotu punktu, kas ir simetrisks punktam A, šis punkts ir jāpārvieto no līnijas par tādu pašu attālumu pa labi.

7. Mēs iemācīsimies veidot segmentus, kas ir simetriski datiem attiecībā pret taisnu līniju. Mācību grāmatu darbs.

Skolēni diskutē pie tāfeles.

8. Mutisks konts.

Uz to mēs pabeigsim savu uzturēšanos "Ģeometrijas" valstībā un veiksim nelielu matemātisko iesildīšanos, apmeklējot "Aritmētikas" valstību.

Kamēr visi strādā mutiski, divi studenti strādā pie atsevišķām tāfelēm.

A) Veiciet dalīšanu ar pārbaudi:

B) Pēc nepieciešamo skaitļu ievietošanas atrisiniet piemēru un pārbaudiet:

Verbālā skaitīšana.

Bērza paredzamais mūža ilgums ir 250 gadi, bet ozola – 4 reizes ilgāks. Cik gadus dzīvo ozols?
Papagailis dzīvo vidēji 150 gadus, bet zilonis - 3 reizes mazāk. Cik gadus dzīvo zilonis?
Lācis aicināja pie sevis viesus: ezis, lapsa un vāvere. Un kā dāvanu viņi viņam uzdāvināja sinepju podu, dakšiņu un karoti. Ko ezis lācim uzdāvināja?

Mēs varam atbildēt uz šo jautājumu, ja mēs izpildām šīs programmas.

Sinepes - 7
Dakša - 8
karote - 6

(Ezītis iedeva karoti)

4) Aprēķināt. Atrodiet citu piemēru.

810: 90
360: 60
420: 7
560: 80

5) Atrodiet modeli un palīdziet pierakstīt pareizo numuru:

3 9 81
2 16

5 10 20
6 24

9. Un tagad mazliet atpūtīsimies.

Klausieties Bēthovena Mēness sonāti. Klasiskās mūzikas mirklis. Skolēni noliek galvas uz rakstāmgalda, aizver acis, klausās mūziku.

10. Ceļojums algebras valstībā.

Uzminiet vienādojuma saknes un pārbaudiet:

Studenti pieņem lēmumus uz tāfeles un burtnīcās. Paskaidrojiet, kā jūs to izdomājāt.

11. "zibens turnīrs" .

a) Asija nopirka 5 bageles par rubli un 2 klaipus par b rubļiem. Cik maksā viss pirkums?

Mēs pārbaudām. Mēs dalāmies viedokļos.

12. Apkopojot.

Tātad, mēs esam pabeiguši savu ceļojumu uz matemātikas sfēru.

Kas tev stundā bija vissvarīgākais?

Kam patika mūsu nodarbība?

Man patika strādāt ar jums

Paldies par nodarbību.

es . Simetrija matemātikā :

Pamatjēdzieni un definīcijas.

Aksiālā simetrija (definīcijas, konstrukcijas plāns, piemēri)

Centrālā simetrija (definīcijas, būvniecības plāns, arpasākumi)

Kopsavilkuma tabula (visi rekvizīti, līdzekļi)

II . Simetrijas lietojumprogrammas:

1) matemātikā

2) ķīmijā

3) bioloģijā, botānikā un zooloģijā

4) mākslā, literatūrā un arhitektūrā

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Simetrijas pamatjēdzieni un tās veidi.

Simetrijas jēdziens n R iet visā cilvēces vēsturē. Tas ir atrodams jau cilvēka zināšanu pirmsākumos. Tas radās saistībā ar dzīva organisma, proti, cilvēka, izpēti. Un to izmantoja tēlnieki jau 5. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. Vārds "simetrija" ir grieķu valoda, tas nozīmē "proporcionalitāte, proporcionalitāte, vienlīdzība daļu izkārtojumā". To plaši izmanto visās mūsdienu zinātnes jomās bez izņēmuma. Daudzi lieliski cilvēki domāja par šo modeli. Piemēram, L. N. Tolstojs teica: “Stāvot melna tāfeles priekšā un ar krītu uz tā zīmējot dažādas figūras, mani pēkšņi pārņēma doma: kāpēc simetrija ir skaidra acij? Kas ir simetrija? Tā ir iedzimta sajūta, es sev atbildēju. Uz ko tas ir balstīts?" Simetrija tiešām ir acij tīkama. Kurš gan nav apbrīnojis dabas darinājumu simetriju: lapas, ziedi, putni, dzīvnieki; jeb cilvēku darinājumi: ēkas, tehnika, – viss, kas mūs ieskauj no bērnības, kas tiecas pēc skaistuma un harmonijas. Hermans Veils teica: "Simetrija ir ideja, ar kuras palīdzību cilvēks gadsimtiem ilgi ir mēģinājis izprast un radīt kārtību, skaistumu un pilnību." Hermans Veils ir vācu matemātiķis. Tās darbība attiecas uz divdesmitā gadsimta pirmo pusi. Tas bija viņš, kurš formulēja simetrijas definīciju, kas noteikta pēc kādām zīmēm, lai redzētu simetrijas klātbūtni vai, gluži pretēji, neesamību konkrētā gadījumā. Tādējādi matemātiski stingrs attēlojums izveidojās salīdzinoši nesen - 20. gadsimta sākumā. Tas ir diezgan sarežģīti. Mēs pagriezīsimies un vēlreiz atgādināsim definīcijas, kas mums dotas mācību grāmatā.

2. Aksiālā simetrija.

2.1. Pamatdefinīcijas

Definīcija. Divus punktus A un A 1 sauc par simetriskiem attiecībā pret taisni a, ja šī taisne iet caur nogriežņa AA 1 viduspunktu un ir tai perpendikulāra. Katrs taisnes a punkts tiek uzskatīts par simetrisku sev.

Definīcija. Tiek uzskatīts, ka figūra ir simetriska attiecībā pret taisnu līniju. A, ja katram figūras punktam punkts ir simetrisks tam attiecībā pret taisni A arī pieder šim skaitlim. Taisni A sauc par figūras simetrijas asi. Tiek uzskatīts, ka figūrai ir arī aksiālā simetrija.

2.2 Būvniecības plāns

Un tā, lai izveidotu simetrisku figūru attiecībā pret taisnu līniju no katra punkta, mēs novelkam perpendikulāru šai taisnei un pagarinām to par tādu pašu attālumu, atzīmējam iegūto punktu. Mēs to darām ar katru punktu, mēs iegūstam jaunās figūras simetriskas virsotnes. Tad savienojam tos virknē un iegūstam šīs relatīvās ass simetrisku figūru.

2.3. Aksiālās simetrijas figūru piemēri.

3. Centrālā simetrija

3.1. Pamatdefinīcijas

Definīcija. Divus punktus A un A 1 sauc par simetriskiem attiecībā pret punktu O, ja O ir nogriežņa AA 1 viduspunkts. Punkts O tiek uzskatīts par simetrisku sev.

Definīcija. Figūru sauc par simetrisku attiecībā pret punktu O, ja katram figūras punktam tai pieder simetrisks punkts attiecībā pret punktu O.

3.2 Būvniecības plāns

Trijstūra konstrukcija, kas ir simetriska dotajam attiecībā pret centru O.

Konstruēt punktu, kas ir simetrisks punktam A attiecībā pret punktu PAR, pietiek novilkt taisnu līniju OA(46. att ) un punkta otrā pusē PAR atlikt segmentu, kas vienāds ar segmentu OA. Citiem vārdiem sakot , punktu A un ; In un ; C un ir simetriski attiecībā pret kādu punktu O. Att. 46 uzbūvēja trijstūri, kas ir simetrisks trīsstūrim ABC attiecībā pret punktu PAR.Šie trīsstūri ir vienādi.

Simetrisku punktu uzbūve ap centru.

Attēlā punkti M un M 1, N un N 1 ir simetriski attiecībā pret punktu O, un punkti P un Q nav simetriski attiecībā pret šo punktu.

Kopumā skaitļi, kas ir simetriski attiecībā pret kādu punktu, ir vienādi ar .

3.3. Piemēri

Sniegsim piemērus figūrām ar centrālo simetriju. Vienkāršākās figūras ar centrālo simetriju ir aplis un paralelograms.

Punktu O sauc par figūras simetrijas centru. Šādos gadījumos figūrai ir centrālā simetrija. Apļa simetrijas centrs ir apļa centrs, un paralelograma simetrijas centrs ir tā diagonāļu krustpunkts.

Līnijai ir arī centrālā simetrija, tomēr atšķirībā no riņķa un paralelograma, kuriem ir tikai viens simetrijas centrs (attēlā O punkts), taisnei to ir bezgalīgi daudz - jebkurš līnijas punkts ir tās simetrijas centrs. .

Attēli parāda leņķi, kas ir simetrisks pret virsotni, segmentu, kas ir simetrisks citam segmentam ap centru A un četrstūris, kas ir simetrisks pret tā virsotni M.

Tādas figūras piemērs, kurai nav simetrijas centra, ir trīsstūris.

4. Nodarbības kopsavilkums

Apkoposim iegūtās zināšanas. Šodien nodarbībā iepazināmies ar diviem galvenajiem simetrijas veidiem: centrālo un aksiālo. Apskatīsim ekrānu un sistematizējam iegūtās zināšanas.

Kopsavilkuma tabula

	Aksiālā simetrija	Centrālā simetrija
Savdabība	Visiem figūras punktiem jābūt simetriskiem attiecībā pret kādu taisni.	Visiem figūras punktiem jābūt simetriskiem pret punktu, kas izvēlēts par simetrijas centru.
Īpašības	1. Simetriskie punkti atrodas uz taisnes perpendikuliem. 3. Taisnas līnijas pārvēršas taisnās līnijās, leņķi vienādos leņķos. 4. Tiek saglabāti figūru izmēri un formas.	1. Simetriskie punkti atrodas uz taisnas līnijas, kas iet caur centru un dots punkts skaitļi. 2. Attālums no punkta līdz taisnei ir vienāds ar attālumu no taisnes līdz simetriskam punktam. 3. Tiek saglabāti figūru izmēri un formas.

II. Simetrijas pielietojums

Matemātika

Algebras stundās pētījām funkciju y=x un y=x grafikus

Attēlos redzami dažādi attēli, kas attēloti ar parabolu zaru palīdzību.

a) oktaedrs,

(b) rombveida dodekaedrs, (c) sešstūra oktaedrs.

krievu valoda

Drukāti burti Krievu alfabētam ir arī dažāda veida simetrijas.

Krievu valodā ir "simetriski" vārdi - palindromi, ko var nolasīt vienādi abos virzienos.

A D L M P T V- vertikālā ass

B E W K S E Yu — horizontālā ass

W N O X- gan vertikāli, gan horizontāli

B G I Y R U C W Y Z- nav ass

Radara būda Alla Anna

Literatūra

Teikumi var būt arī palindromiski. Brjusovs uzrakstīja dzejoli "Mēness balss", kurā katra rinda ir palindroms.

Paskatieties uz A.S.Puškina "Bronzas jātnieka" četriniekiem. Ja aiz otrās līnijas novelkam līniju, varam redzēt aksiālās simetrijas elementus

Un roze uzkrita Azoram uz ķepas.

Es eju ar tiesneša zobenu. (Deržavins)

"Meklējiet taksometru"

"Argentīna aicina melno vīrieti"

"Novērtē nēģeri argentīnieti",

"Leša plauktā atrada kļūdu."

Ņeva ir ietērpta granītā;

Tilti karājās pāri ūdeņiem;

Tumši zaļi dārzi

Salas bija klātas ar to ...

Bioloģija

Cilvēka ķermenis ir veidots pēc divpusējās simetrijas principa. Lielākā daļa no mums smadzenes domā kā vienotu struktūru, patiesībā tās ir sadalītas divās daļās. Šīs divas daļas – divas puslodes – cieši pieguļ viena otrai. Pilnībā saskaņā ar cilvēka ķermeņa vispārējo simetriju katra puslode ir gandrīz precīzs otras puslodes spoguļattēls.

Cilvēka ķermeņa pamatkustību un maņu funkciju kontrole ir vienmērīgi sadalīta starp abām smadzeņu puslodēm. Kreisā puslode kontrolē smadzeņu labo pusi, bet labā puslode kontrolē kreiso pusi.

Botānika

Zieds tiek uzskatīts par simetrisku, ja katrs apmale sastāv no vienāda skaita daļu. Ziedi, kuriem ir pārī savienotas daļas, tiek uzskatīti par ziediem ar dubultu simetriju utt. Trīskāršā simetrija ir izplatīta viendīgļaudzēm, piecas - divdīgļlapiņām. raksturīga iezīme augu struktūra un to attīstība ir helicity.

Pievērsiet uzmanību lapu izkārtojuma dzinumiem - tas ir arī sava veida spirāle - spirālveida. Pat Gēte, kurš bija ne tikai izcils dzejnieks, bet arī dabas pētnieks, uzskatīja helicitāti par vienu no raksturīgās iezīmes no visiem organismiem, dzīvības visdziļākās būtības izpausme. Augu stīgas savijas pa spirāli, audi aug spirālē koku stumbros, sēklas saulespuķē kārtojas spirālē, spirālveida kustības vērojamas sakņu un dzinumu augšanas laikā.

Augu struktūras un to attīstības raksturīga iezīme ir spirāle.

Paskaties uz priežu čiekuru. Zvīņas uz tās virsmas ir izvietotas stingri regulāri - pa divām spirālēm, kas krustojas aptuveni taisnā leņķī. Šādu spirāļu skaits priežu čiekuros ir 8 un 13 vai 13 un 21.

Zooloģija

Simetrija dzīvniekiem tiek saprasta kā izmēra, formas un kontūras atbilstība, kā arī to ķermeņa daļu relatīvā atrašanās vieta, kas atrodas sadalošās līnijas pretējās pusēs. Ar radiālo vai starojuma simetriju ķermenim ir īsa vai gara cilindra vai trauka forma ar centrālo asi, no kuras ķermeņa daļas atkāpjas radiālā secībā. Tie ir koelenterāti, adatādaiņi, jūras zvaigznes. Ar divpusēju simetriju ir trīs simetrijas asis, bet tikai viens simetrisko malu pāris. Jo pārējās divas puses - vēdera un muguras - nav līdzīgas viena otrai. Šāda simetrija ir raksturīga lielākajai daļai dzīvnieku, tostarp kukaiņiem, zivīm, abiniekiem, rāpuļiem, putniem un zīdītājiem.

Aksiālā simetrija

Dažādi fizikālo parādību simetrijas: elektrisko un magnētisko lauku simetrija (1. att.)

Savstarpēji perpendikulārās plaknēs elektromagnētisko viļņu izplatība ir simetriska (2. att.)

att.1 att.2

Art

Mākslas darbos bieži var novērot spoguļa simetriju. Spoguļa "simetrija plaši sastopama primitīvo civilizāciju mākslas darbos un senajā glezniecībā. Šāda simetrija ir raksturīga arī viduslaiku reliģiskajām gleznām.

Viens no Rafaela labākajiem agrīnajiem darbiem "Marijas saderināšanās" tika izveidots 1504. gadā. Zem saulainām zilajām debesīm stiepjas ieleja, kuras virsotnē ir balta akmens templis. Priekšplānā ir saderināšanās ceremonija. Augstais priesteris satuvina Marijas un Jāzepa rokas. Aiz Marijas ir meiteņu grupa, aiz Jāzepa ir jaunu vīriešu grupa. Abas simetriskās kompozīcijas daļas satur kopā pretimnākošā varoņu kustība. Mūsdienu gaumei šāda attēla kompozīcija ir garlaicīga, jo simetrija ir pārāk acīmredzama.

Ķīmija

Ūdens molekulai ir simetrijas plakne (taisna vertikāla līnija).DNS molekulām (dezoksiribonukleīnskābe) ir ārkārtīgi svarīga loma savvaļas dzīvnieku pasaulē. Tas ir divpavedienu augstas molekulmasas polimērs, kura monomērs ir nukleotīdi. DNS molekulām ir dubultspirāles struktūra, kas veidota uz komplementaritātes principa.

arhitektūraPVO

Kopš seniem laikiem cilvēks arhitektūrā ir izmantojis simetriju. Senie arhitekti īpaši izcili izmantoja simetriju arhitektūras konstrukcijās. Turklāt senie grieķu arhitekti bija pārliecināti, ka savos darbos viņi vadās pēc likumiem, kas pārvalda dabu. Izvēloties simetriskas formas, mākslinieks tādējādi pauda izpratni par dabisko harmoniju kā stabilitāti un līdzsvaru.

Norvēģijas galvaspilsētā Oslo ir izteiksmīgs dabas un mākslas ansamblis. Tas ir Frogner - parks - daiļdārzniecības skulptūru komplekss, kas tika izveidots vairāk nekā 40 gadus.