Telje- ja kesksümmeetria. Sirge joone sümmeetria

Liikumise mõiste

Vaatleme kõigepealt sellist mõistet nagu liikumine.

Definitsioon 1

Tasapinnalist kaardistamist nimetatakse tasapinnaliseks liikumiseks, kui kaardistamine säilitab vahemaad.

Selle kontseptsiooniga on seotud mitu teoreemi.

2. teoreem

Kolmnurk läheb liikumisel üle võrdseks kolmnurgaks.

3. teoreem

Iga kujund läheb liikumisel üle temaga võrdseks figuuriks.

Aksiaalne ja keskne sümmeetria on liikumise näited. Vaatleme neid üksikasjalikumalt.

Aksiaalne sümmeetria

2. definitsioon

Punkte $A$ ja $A_1$ peetakse sümmeetrilisteks sirge $a$ suhtes, kui see sirge on lõiguga $(AA)_1$ risti ja läbib selle keskpunkti (joonis 1).

Pilt 1.

Vaatleme aksiaalset sümmeetriat, kasutades probleemi näitena.

Näide 1

Koostage antud kolmnurga jaoks sümmeetriline kolmnurk selle mis tahes külje suhtes.

Lahendus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. Ehitame selle sümmeetria külje $BC$ suhtes. Külg $BC$ läheb telgsümmeetria korral iseendasse (tuleneb definitsioonist). Punkt $A$ läheb punkti $A_1$ järgmiselt: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Kolmnurk $ABC$ muutub kolmnurgaks $A_1BC$ (joonis 2).

Joonis 2.

3. definitsioon

Joonist nimetatakse sümmeetriliseks sirge $a$ suhtes, kui selle kujundi iga sümmeetriline punkt sisaldub samal joonisel (joonis 3).

Joonis 3

Joonisel $3$ on kujutatud ristkülikut. Sellel on aksiaalne sümmeetria nii iga diameetri kui ka kahe sirge suhtes, mis läbivad antud ristküliku vastaskülgede keskpunkte.

Keskne sümmeetria

4. määratlus

Punkte $X$ ja $X_1$ peetakse punkti $O$ suhtes sümmeetriliseks, kui punkt $O$ on lõigu $(XX)_1$ keskpunkt (joonis 4).

Joonis 4

Vaatleme keskmist sümmeetriat ülesande näitel.

Näide 2

Koostage antud kolmnurga jaoks sümmeetriline kolmnurk selle mis tahes tipus.

Lahendus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. Konstrueerime selle sümmeetria tipu $A$ suhtes. Kesksümmeetria all olev tipp $A$ läheb iseendasse (tuleneb definitsioonist). Punkt $B$ läheb punkti $B_1$ järgmiselt $(BA=AB)_1$ ja punkt $C$ punkti $C_1$ järgmiselt: $(CA=AC)_1$. Kolmnurk $ABC$ läheb kolmnurgaks $(AB)_1C_1$ (joonis 5).

Joonis 5

Definitsioon 5

Joonis on sümmeetriline punkti $O$ suhtes, kui selle kujundi iga sümmeetriline punkt sisaldub samal joonisel (joonis 6).

Joonis 6

Joonis $6$ näitab rööpkülikut. Sellel on keskne sümmeetria diagonaalide lõikepunkti suhtes.

Ülesande näide.

Näide 3

Olgu meile antud segment $AB$. Ehitage selle sümmeetria sirge $l$ suhtes, mitte ristuva see segment ja joonel $l$ asuva punkti $C$ suhtes.

Lahendus.

Kujutame skemaatiliselt probleemi seisukorda.

Joonis 7

Esmalt kujutame aksiaalset sümmeetriat sirge $l$ suhtes. Kuna aksiaalne sümmeetria on liikumine, siis teoreemi $1$ järgi vastendatakse segment $AB$ sellega võrdsele lõigule $A"B"$. Selle koostamiseks teeme järgmist: tõmmake punktide $A\ ja\ B$ kaudu jooned $m\ ja\ n$, mis on risti sirgega $l$. Olgu $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Järgmisena joonistage lõigud $A"X=AX$ ja $B"Y=BY$.

Joonis 8

Kujutame nüüd kesksümmeetriat punkti $C$ suhtes. Kuna keskne sümmeetria on liikumine, siis teoreemi $1$ järgi vastendatakse segment $AB$ sellega võrdsele segmendile $A""B""$. Selle koostamiseks teeme järgmist: tõmbame jooned $AC\ ja\ BC$. Järgmisena joonistage lõigud $A^("")C=AC$ ja $B^("")C=BC$.

Joonis 9

Sümmeetria I Sümmeetria (kreeka keelest sümmeetria - proportsionaalsus)

matemaatikas

1) sümmeetria (in kitsas mõttes) või peegeldus (peegel) tasandi α suhtes ruumis (sirge suhtes). A tasapinnal), on ruumi (tasapinna) teisendus, milles iga punkt M läheb asja juurde M" nii, et segment MM" risti tasapinnaga α (sirge A) ja lõika pooleks. Tasand α (sirge A) nimetatakse tasapinnaks (teljeks) C.

Peegeldus on näide ortogonaalsest teisendusest (vt Ortogonaalne teisendus), mis muudab orientatsiooni (vt Orientatsioon) (erinevalt õigest liikumisest). Mis tahes ortogonaalset teisendust saab läbi viia piiratud arvu peegelduste järjestikuse täitmisega - see fakt mängib S-i uurimisel olulist rolli. geomeetrilised kujundid.

2) Sümmeetria (laias tähenduses) - geomeetrilise kujundi omadus F, mis iseloomustab vormi mõningast korrapärasust F, selle muutumatus liigutuste ja peegelduste mõjul. Täpsemalt, joonis F on S. (sümmeetriline), kui on olemas mitteidentne ortogonaalne teisendus, mis kaardistab selle kujundi iseendaga. Kõikide ortogonaalsete teisenduste kogum, mis ühendab figuuri F iseendaga on rühm (Vaata rühma), mida nimetatakse selle kujundi sümmeetriarühmaks (mõnikord nimetatakse neid teisendusi endid sümmeetriateks).

Niisiis on tasane kujund, mis peegeldusel iseendaks muundub, sirgjoone – C-telje – suhtes sümmeetriline. ( riis. 1 ); siin koosneb sümmeetriarühm kahest elemendist. Kui joonis F tasapinnal on selline, et pöörded suvalise punkti O ümber nurga all 360 ° / n, n- täisarv ≥ 2, siis tõlkige see iseendaks F on S. n-s järjekorras punkti suhtes KOHTA- keskpunkt C. Selliste kujundite näide on korrapärased hulknurgad (riis. 2 ); rühm S. siin - nn. tsükliline rühm n- järjekorras. Ringjoonel on lõpmatu järjestusega S. (kuna see ühendatakse iseendaga läbi mis tahes nurga keerates).

Lihtsaimad ruumilise S. tüübid, lisaks peegelduste poolt tekitatud S.-le, on ülekande keskne S., aksiaalne S. ja S..

a) Punkti O suhtes tsentraalse sümmeetria (inversiooni) korral ühendatakse kujund Ф iseendaga pärast järjestikuseid peegeldusi kolmelt üksteisega risti asetsevalt tasapinnalt ehk teisisõnu punkt O on sümmeetrilisi punkte Ф ühendava lõigu keskpunkt. ( riis. 3 ). b) Telgsümmeetria korral või S. sirgjoone suhtes n järjekorras, joonis kantakse enda peale, pöörates ümber mingi sirgjoone (N-telg) nurga all 360 ° / n. Näiteks kuubil on joon AB telg C. kolmandat järku ja sirgjoon CD- C. neljanda järgu telg ( riis. 3 ); üldiselt on korrapärased ja poolregulaarsed hulktahukad joonte jada suhtes sümmeetrilised. S. mängu telgede asukoht, arv ja järjekord oluline roll kristallograafias (vt. Kristallide sümmeetria), c) kujund, mis asetseb enda peale järjestikuse pööramise teel 360 ° / 2 nurga all kümber sirgjoone AB ja peegeldumisel sellega risti asetseval tasapinnal on peegeltelgjoon C. Sirge AB, nimetatakse 2. järku peegli-pöörlemisteljeks C k, on järjekorra C-telg k (riis. 4 ). Peegeltelgjoon suurusjärgus 2 on samaväärne keskjoonega d) Translatsioonisümmeetria korral kantakse kujund enda peale tõlke teel mööda mingit sirget (ülekandetelge) mõnel lõigul. Näiteks ühe translatsiooniteljega joonisel on lõpmatu arv S. tasapindu (kuna mis tahes tõlke saab teostada kahe järjestikuse peegeldusega tasanditelt, mis on ülekandeteljega risti) ( riis. 5 ). Kristallvõrede uurimisel mängivad olulist rolli mitme ülekandeteljega kujundid.

S. on kunstis laialt levinud harmoonilise kompositsiooni liigina (vt kompositsioon). See on omane arhitektuuriteostele (olles kui mitte kogu ehitise kui terviku, siis selle osade ja detailide – plaani, fassaadi, sammaste, kapiteelide jne asendamatu omadus) ning dekoratiiv- ja tarbekunstile. S. kasutatakse ka peamise tehnikana piirete ja ornamentide konstrueerimisel ( lamedad figuurid, millel on vastavalt üks või mitu S. ülekannet koos peegeldustega) ( riis. 6 , 7 ).

S. kombinatsioonid, mis tekivad peegelduste ja pöörete abil (kurnavad ära kõik S. geomeetrilised kujundid), samuti ülekanded pakuvad huvi ja on uurimise objektiks erinevaid valdkondi loodusteadused. Näiteks taimede lehtede paigutuses täheldatakse spiraalset S.-d, mis viiakse läbi teatud nurga all ümber telje pööramise, millele lisandub ülekanne piki sama telge ( riis. 8 ) (vt täpsemalt artiklist Sümmeetria bioloogias). C. molekulide konfiguratsioon, mis mõjutab nende füüsikalisi ja keemilised omadused, loeb millal teoreetiline analüüsühendite struktuurid, nende omadused ja käitumine erinevates reaktsioonides (vt. Sümmeetria keemias). Lõpuks, füüsikateadustes üldiselt omandab lisaks juba näidatud kristallide ja võre geomeetrilisele sümmeetriale suure tähtsuse sümmeetria mõiste üldises tähenduses (vt allpool). Seega võimaldab füüsikalise aegruumi sümmeetria, mis väljendub selle homogeensuses ja isotroopsuses (vt relatiivsusteooria), kehtestada nn. looduskaitseseadused; üldistatud S. mängib hariduses olulist rolli aatomi spektrid ja klassifikatsioonis elementaarosakesed(vt Sümmeetria füüsikas).

3) Sümmeetria (üldises tähenduses) tähendab matemaatilise (või füüsikalise) objekti struktuuri muutumatust selle teisenduste suhtes. Näiteks relatiivsusteooria S. seadused on määratud nende invariantsusega Lorentzi teisenduste suhtes (vt Lorentzi teisendusi). Teisenduste kogumi definitsioon, mis jätab kõik objekti struktuursed suhted muutumatuks, st rühma määratlus G tema automorfismidest on saanud kaasaegse matemaatika ja füüsika juhtpõhimõte, mis võimaldab teil sügavalt tungida objekti kui terviku ja selle osade sisemisse struktuuri.

Kuna sellist objekti saab kujutada mõne ruumi elementidega R, mis on varustatud sellele sobiva iseloomuliku struktuuriga, kuivõrd objekti teisendused on teisendused R. See. saada rühma esindus G transformatsioonirühmas R(või lihtsalt sisse R) ja objekti S. uurimine taandatakse tegevuse uurimisele G peal R ja selle toimingu invariantide leidmine. Samamoodi S. füüsikalised seadused, mis juhivad uuritavat objekti ja mida tavaliselt kirjeldatakse võrranditega, mida rahuldavad ruumi elemendid R, määratakse tegevusega G sellistele võrranditele.

Näiteks kui mõni võrrand on lineaarruumis lineaarne R ja jääb mõne rühma teisenduste korral muutumatuks G, seejärel iga element g alates G vastab lineaarsele teisendusele Tg lineaarses ruumis R selle võrrandi lahendid. Kirjavahetus g → Tg on lineaarne esitus G ja teadmine kõigist selle esitusviisidest võimaldab meil kindlaks teha erinevaid lahenduste omadusi, samuti aitab paljudel juhtudel ("sümmeetria kaalutlustest") leida lahendusi endid. Eelkõige selgitab see vajadust matemaatika ja füüsika jaoks väljatöötatud rühmade lineaarsete esituste teooria järele. Konkreetsed näited vt Art. Sümmeetria füüsikas.

Lit.: Shubnikov A.V., Sümmeetria. (Sümmeetriaseadused ja nende rakendamine teaduses, tehnikas ja tarbekunstis), M. - L., 1940; Kokster G. S. M., Sissejuhatus geomeetriasse, tlk. inglise keelest, M., 1966; Weil G., Sümmeetria, tlk. inglise keelest, M., 1968; Wigner E., Etüüdid sümmeetriast, tlk. inglise keelest, M., 1971.

M. I. Voitsekhovski.

Riis. 3. Kuubik, mille kolmandat järku sümmeetriateljeks on sirge AB, neljandat järku sümmeetriateljeks sirge CD, sümmeetriakeskmeks punkt O. Kuubi punktid M ja M" on sümmeetrilised nii telgede AB ja CD kui ka keskpunkti O suhtes.

II Sümmeetria

füüsikas. Kui seadused, mis loovad seoseid füüsikalist süsteemi iseloomustavate suuruste vahel või määravad nende suuruste muutumise ajas, ei muutu teatud operatsioonide (teisenduste) käigus, millele süsteem võib alluda, siis öeldakse, et neil seadustel on S. ( või on muutumatud) andmete teisenduste suhtes. Matemaatiliselt moodustavad S. teisendused rühma (vt rühma).

Kogemused näitavad, et füüsikalised seadused on sümmeetrilised järgmiste kõige üldisemate teisenduste suhtes.

Pidevad teisendused

1) Süsteemi kui terviku ülekandmine (nihe) ruumis. Seda ja järgnevaid aegruumi teisendusi võib mõista kahes tähenduses: aktiivse teisendusena - füüsilise süsteemi reaalse ülekandmisena valitud võrdlussüsteemi suhtes või passiivse teisendusena - võrdlussüsteemi paralleelse ülekandmisena. S. füüsikalised seadused ruumi nihke suhtes tähendavad kõigi ruumipunktide samaväärsust, st mis tahes valitud punktide puudumist ruumis (ruumi homogeensus).

2) Süsteemi kui terviku pöörlemine ruumis. S. füüsikalised seadused selle teisenduse suhtes tähendavad kõigi ruumisuundade samaväärsust (ruumi isotroopia).

3) Aja päritolu muutmine (aja nihe). S. tähendab selle teisenduse kohta, et füüsikalised seadused aja jooksul ei muutu.

4) Üleminek tugiraamile, mis liigub antud kaadri suhtes konstantse (suunas ja suuruses) kiirusega. S. tähendab selle teisenduse suhtes eelkõige kõigi inertsiaalsete tugiraamistike samaväärsust (vt Inertsiaalne tugiraamistik) (vt Relatiivsusteooria).

5) Gabariidi teisendused. Seadused, mis kirjeldavad osakeste vastastikmõju, millel on mingi laeng (elektrilaeng (vt elektrilaeng), barüonilaeng (vt barüonilaeng), leptonilaeng (vt leptonilaeng), hüperlaengu oomid, on sümmeetrilised osakeste mõõtemuunduste suhtes. 1. liik. Need teisendused seisnevad selles, et kõigi osakeste lainefunktsioone (vt lainefunktsiooni) saab samaaegselt korrutada suvalise faasiteguriga:

kus ψ j- osakeste lainefunktsioon j, z j - osakesele vastav laeng, väljendatuna elementaarlaengu ühikutes (näiteks elementaarelektrilaeng e), β on suvaline arvutegur.

A→A + klass f, , (2)

Kus f(x,juures z t) on suvaline koordinaatide funktsioon ( X,juures,z) ja aeg ( t), Koos on valguse kiirus. Selleks, et teisendusi (1) ja (2) saaks elektromagnetväljade korral sooritada samaaegselt, on vaja üldistada 1. tüüpi gabariiditeisendused: on vaja nõuda, et vastastikmõju seadused oleksid teisenduste suhtes sümmeetrilised. (1) väärtusega β, mis on koordinaatide ja aja suvaline funktsioon: η – Plancki konstant. 1. ja 2. tüüpi gabariiditeisenduste vaheline seos elektromagnetilised vastasmõjud elektrilaengu kaksikrolli tõttu: ühelt poolt on elektrilaeng alalhoidev suurus, teiselt poolt aga toimib interaktsioonikonstantina, mis iseloomustab elektromagnetvälja suhet laetud osakestega.

Teisendused (1) vastavad erinevate laengute jäävuse seadustele (vt allpool), aga ka mõnele sisemisele sümmeetrilisele vastastikmõjule. Kui laengud pole mitte ainult säilivad suurused, vaid ka väljade allikad (nagu elektrilaeng), siis peavad neile vastavad väljad olema ka mõõtväljad (sarnaselt elektromagnetväljadele) ja teisendused (1) on üldistatud juhul, kui suurused β on suvalised koordinaatide ja aja funktsioonid (ja isegi operaatorid, mis muudavad sisesüsteemi olekuid). Selline lähenemine interakteeruvate väljade teoorias viib erinevate tugevate ja nõrkade interaktsioonide mõõtmise teooriateni (nn Yang-Milsi teooria).

Diskreetsed teisendused

Eespool loetletud S. tüüpidele on iseloomulikud parameetrid, mis võivad teatud väärtuste vahemikus pidevalt muutuda (näiteks ruumi nihet iseloomustab kolm nihkeparameetrit piki iga koordinaattelge, pöörlemine kolme pöördenurga võrra ümber need kirved jne). Koos pideva S-ga. suur tähtsus füüsikas on diskreetsed S. Peamised on järgmised.

Sümmeetria ja looduskaitseseadused

Noetheri teoreemi järgi (vt Noetheri teoreem) vastab süsteemi igale teisendusele, mida iseloomustab üks pidevalt muutuv parameeter, väärtusele, mis säilib (ei muutu ajas) süsteemi jaoks, millel on see süsteem Füüsikaliste seaduste süsteemist suletud süsteemi ruumis nihkumise osas järgib selle kui terviku pööramine ja aja alguse muutmine vastavalt impulsi, nurkimpulsi ja energia jäävuse seadusi. S.-st seoses esimest tüüpi gabariiditeisendustega - laengute jäävuse seadused (elektriline, barüon jne), isotoopide invariantsusest - isotoop spinni säilimine (vt Isotoop spin) tugeva interaktsiooni protsessides. Mis puutub diskreetsesse S.-sse, siis sisse klassikaline mehaanika need ei too kaasa mingeid looduskaitseseadusi. Siiski sisse kvantmehaanika, milles süsteemi olekut kirjeldatakse lainefunktsiooniga, või laineväljade (näiteks elektromagnetvälja) puhul, kus superpositsiooniprintsiip kehtib, eeldab diskreetse S. olemasolu säilivusseadusi mõne konkreetse suuruse jaoks, millel on klassikalises mehaanikas pole analooge. Selliste suuruste olemasolu saab demonstreerida ruumilise pariteedi (vt pariteedi) näitel, mille säilimine tuleneb S.-st ruumilise inversiooni suhtes. Tõepoolest, olgu ψ 1 lainefunktsioon, mis kirjeldab süsteemi mõnda olekut, ja ψ 2 süsteemi lainefunktsioon, mis tuleneb ruumidest. inversioon (sümboolselt: ψ 2 = Rψ 1 , kus R on kosmoseoperaator. inversioonid). Siis, kui ruumilise inversiooni suhtes on S., on ψ 2 süsteemi üks võimalikest olekutest ja superpositsiooni põhimõtte kohaselt on süsteemi võimalikeks olekuteks superpositsioonid ψ 1 ja ψ 2: sümmeetriline kombinatsioon. ψ s = ψ 1 + ψ 2 ja antisümmeetriline ψ a = ψ 1 - ψ 2 . Inversiooniteisenduste korral olek ψ 2 ei muutu (sest Pψs = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s) ja olek ψ a muudab märki ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Esimesel juhul öeldakse, et süsteemi ruumiline paarsus on positiivne (+1), teisel juhul negatiivne (-1). Kui süsteemi lainefunktsiooni määrata kasutades suurusi, mis ruumilise inversiooni käigus ei muutu (nagu näiteks nurkimpulss ja energia), siis on ka süsteemi paarsus üsna kindla väärtusega. Süsteem on kas positiivse või negatiivse pariteediga olekus (pealegi on ruumilise inversiooni suhtes sümmeetriliste jõudude toimel üleminekud ühest olekust teise absoluutselt keelatud).

Kvantmehaaniliste süsteemide ja statsionaarsete olekute sümmeetria. degeneratsioon

Erinevatele kvantmehaanilistele süsteemidele vastavate suuruste säilimine on tingitud sellest, et neile vastavad operaatorid pendeldavad süsteemi Hamiltoni süsteemiga, kui see ei sõltu otseselt ajast (vt Kvantmehaanika, Kommutatsiooniseosed). See tähendab, et need suurused on mõõdetavad samaaegselt süsteemi energiaga, st nad võivad antud energia väärtuse jaoks võtta üsna kindlad väärtused. Seetõttu saab neist teha nn. kogu suuruste komplekt, mis määravad süsteemi oleku. Seega on süsteemi statsionaarsed seisundid (antud energiaga olekud) määratud vaadeldava süsteemi S.-le vastavate suurustega.

S. olemasolu toob kaasa asjaolu, et kvantmehaanilise süsteemi erinevatel liikumisolekutel, mis saadakse üksteisest S. teisendusega, on samad väärtused füüsikalised kogused, mis nende teisenduste korral ei muutu. Seega viib süsteemi S. reeglina degeneratsiooni (vt degeneratsioon). Näiteks võib süsteemi energia teatud väärtusele vastata mitu erinevat olekut, mis C teisenduste käigus teisenevad üksteise kaudu. Matemaatiliselt kujutavad need olekud süsteemi C rühma taandamatu esituse alust (vt Rühm ). See määrab kvantmehaanikas rühmateooria meetodite rakendamise viljakuse.

Lisaks süsteemi eksplitsiitse S.-ga seotud energiatasemete taandarengule (näiteks süsteemi kui terviku pöörlemiste suhtes) esineb mitmes probleemis täiendav degeneratsioon, mis on seotud nn. varjatud S. interaktsioon. Sellised varjatud võnkumised eksisteerivad näiteks Coulombi interaktsiooni ja isotroopse ostsillaatori jaoks.

Kui süsteem, millel on mõni S., on seda S.-i rikkuvate jõudude väljas (kuid piisavalt nõrk, et neid saaks pidada väikeseks häiringuks), siis algse süsteemi degenereerunud energiatasemed jagunevad: erinevad olekud, mis , kuna S. süsteemidel oli sama energia, "asümmeetrilise" häire toimel omandavad nad erineva energianihke. Juhtudel, kui häirival väljal on teatud S., mis on osa algse süsteemi S.-st, ei eemaldata energiatasemete degeneratsiooni täielikult: mõned tasemed jäävad degenereerunud vastavalt interaktsiooni S.-le, mis "lülitab sisse" häiriva välja.

Energia-mandunud olekute olemasolu süsteemis viitab omakorda S. interaktsiooni olemasolule ja võimaldab põhimõtteliselt selle S. leidmise siis, kui see pole ette teada. Viimane asjaolu mängib olulist rolli näiteks elementaarosakeste füüsikas. Lähedaste masside ja muude sarnaste omadustega, kuid erinevate elektrilaengutega osakeste rühmade olemasolu (nn isotoopmultipletid) võimaldas tuvastada tugevate vastastikmõjude isotoopmuutmatust ja võimaluse kombineerida samade omadustega osakesi laiemaks. rühmad viisid avastuseni SU(3)-C. tugev vastastikmõju ja seda sümmeetriat rikkuvad vastasmõjud (vt Tugev vastastikmõju). On märke, et tugeval interaktsioonil on veelgi laiem C-rühm.

Väga mahlakas kontseptsioon on nn. dünaamiline S. süsteem, mis tekib, kui arvestada teisendusi, sh üleminekuid erinevate energiatega süsteemi olekute vahel. Dünaamiliste S. rühma taandamatu esitus on kogu süsteemi statsionaarsete olekute spekter. Dünaamilise S. mõistet saab laiendada ka juhtudele, kus süsteemi Hamiltoni olek sõltub otseselt ajast ja sel juhul on kõik kvantmehaanilise süsteemi olekud, mis ei ole statsionaarsed (st millel puudub etteantud energia). ühendatud üheks taandamatuks S dünaamilise rühma esituseks.

Lit.: Wigner E., Etüüdid sümmeetriast, tlk. inglise keelest, M., 1971.

S. S. Gershtein.

III Sümmeetria

keemias avaldub molekulide geomeetrilises konfiguratsioonis, mis mõjutab füüsikaliste ja keemilised omadused molekulid isoleeritud olekus, välisväljas ja interaktsioonis teiste aatomite ja molekulidega.

Enamikel lihtsatel molekulidel on tasakaalukonfiguratsiooni ruumilise sümmeetria elemendid: sümmeetriateljed, sümmeetriatasandid jne (vt Sümmeetria matemaatikas). Niisiis on ammoniaagi molekulil NH 3 tavalise kolmnurkse püramiidi sümmeetria, metaani molekulil CH 4 on tetraeedri sümmeetria. Komplekssetes molekulides tasakaalukonfiguratsiooni kui terviku sümmeetria reeglina puudub, kuid selle üksikute fragmentide sümmeetria on ligikaudu säilinud (lokaalne sümmeetria). Molekulide nii tasakaaluliste kui ka mittetasakaaluliste konfiguratsioonide sümmeetria kõige täielikum kirjeldus saavutatakse ideede põhjal nn. dünaamilised sümmeetriarühmad - rühmad, mis hõlmavad mitte ainult tuumakonfiguratsiooni ruumilise sümmeetria toiminguid, vaid ka identsete tuumade permutatsiooni operatsioone erinevates konfiguratsioonides. Näiteks NH3 molekuli dünaamiline sümmeetriarühm hõlmab ka selle molekuli ümberpööramist: lämmastiku aatomi üleminek tasandi ühelt küljelt, moodustatud aatomitest N, teisel pool.

Molekuli tuumade tasakaalukonfiguratsiooni sümmeetriaga kaasneb selle molekuli erinevate olekute lainefunktsioonide (vt lainefunktsioon) teatav sümmeetria, mis võimaldab klassifitseerida olekuid sümmeetriatüüpide järgi. Üleminek kahe valguse neeldumise või emissiooniga seotud oleku vahel, olenevalt olekute sümmeetria tüübist, võib ilmneda molekulaarspektris (vt molekulaarspektrid) või olla keelatud, nii et sellele üleminekule vastav joon või riba spektris puudub. Olekute sümmeetria tüübid, mille vahel on võimalikud üleminekud, mõjutavad joonte ja ribade intensiivsust, samuti nende polarisatsiooni. Näiteks homonukleaarsete kaheaatomiliste molekulide puhul on keelatud ja spektrites ei esine üleminekud sama paarsusega elektrooniliste olekute vahel, mille elektronlainefunktsioonid käituvad inversioonioperatsiooni ajal ühtemoodi; benseeni ja sarnaste ühendite molekulide puhul on keelatud üleminekud sama tüüpi sümmeetriaga mittedegenereerunud elektrooniliste olekute vahel jne. Sümmeetria valikureegleid täiendavad erinevate olekute vaheliste üleminekute puhul nende olekute Spiniga seotud valikureeglid.

Paramagnetiliste tsentritega molekulide puhul põhjustab nende tsentrite keskkonna sümmeetria teatud tüüpi anisotroopiat g-tegur (Lande tegur), mis mõjutab elektronide paramagnetilise resonantsi spektrite struktuuri (vt. Elektronide paramagnetiline resonants), samas kui molekulide puhul, mille aatomituumade spinn on nullist erinev, põhjustab üksikute lokaalsete fragmentide sümmeetria teatud tüüpi olekute energia jagunemist. erinevad projektsioonid tuumaspinn, mis mõjutab tuumamagnetresonantsspektrite struktuuri.

Kvantkeemia ligikaudsetes lähenemisviisides, mis kasutavad molekulaarorbitaalide mõistet, on sümmeetria klassifitseerimine võimalik mitte ainult molekuli kui terviku lainefunktsiooni, vaid ka üksikute orbitaalide jaoks. Kui molekuli tasakaalukonfiguratsioonil on sümmeetriatasand, milles asuvad tuumad, siis jagunevad kõik selle molekuli orbitaalid kahte klassi: sümmeetrilised (σ) ja antisümmeetrilised (π) peegelduse toimimise suhtes sellel tasandil. . Molekulid, milles ülemised (energias) hõivatud orbitaalid on π-orbitaalid, moodustavad spetsiifilisi küllastumata ja konjugeeritud ühendite klasse oma iseloomulike omadustega. Molekuli üksikute fragmentide lokaalse sümmeetria tundmine ja nendel fragmentidel paiknemine molekulaarsed orbitaalid võimaldab hinnata, millised fragmendid on kergemini ergastatud ja muutuvad tugevamalt keemiliste transformatsioonide käigus, näiteks fotokeemilistes reaktsioonides.

Sümmeetria mõisted omavad suurt tähtsust kompleksühendite struktuuri, nende omaduste ja käitumise teoreetilisel analüüsil erinevates reaktsioonides. Kristallvälja teooria ja ligandivälja teooria määravad kindlaks hõivatud ja vabade orbitaalide suhtelise asukoha kompleksne ühend andmete põhjal selle sümmeetria, energiatasemete lõhenemise olemuse ja astme kohta koos ligandivälja sümmeetria muutumisega. Ainult kompleksi sümmeetria teadmine võimaldab väga sageli selle omadusi kvalitatiivselt hinnata.

1965. aastal pakkusid P. Woodward ja R. Hoffman välja orbitaalsümmeetria säilitamise põhimõtte keemilistes reaktsioonides, mida hiljem kinnitas ulatuslik eksperimentaalne materjal ja millel oli suur mõju preparatiivsete protsesside arengule. orgaaniline keemia. See põhimõte (Woodward-Hoffmani reegel) väidab, et üksikud elementaarsed teod keemilised reaktsioonid läbida, säilitades samal ajal molekulaarorbitaalide sümmeetria ehk orbitaalsümmeetria. Mida rohkem orbitaalide sümmeetriat elementaarakti käigus rikutakse, seda raskem on reaktsioon.

Molekulide sümmeetria arvestamine on oluline keemiliste laserite ja molekulaaralaldi loomisel kasutatavate ainete otsimisel ja valikul, orgaaniliste ülijuhtide mudelite konstrueerimisel, kantserogeensete ja farmakoloogiliste ainete analüüsimisel. toimeaineid jne.

Lit.: Hochstrasser R., Sümmeetria molekulaarsed aspektid, trans. inglise keelest, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f. Rühmade teooria ja selle rakendused molekulide kvantmehaanikas, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Orbitaalse sümmeetria säilitamine, tlk. inglise keelest, M., 1971.

N. F. Stepanov.

IV Sümmeetria

bioloogias (biosümmeetria). aastal pöörati tähelepanu S. fenomenile eluslooduses Vana-Kreeka Pythagorealased (5. sajand eKr) seoses nende harmooniaõpetuse väljatöötamisega. 19. sajandil on ilmunud isoleeritud teosed taimede (prantsuse teadlased O. P. Decandol ja O. Bravo), loomade (saksa keeles - E. Haeckel), biogeensete molekulide (prantsuse - A. Vechan, L. Pasteur jt) S. kohta. 20. sajandil bioloogilisi objekte uuriti vaatenurgast üldine teooria S. (nõukogude teadlased Yu. V. Vulf, V. N. Beklemishev, B. K. Vainshtein, hollandi füüsikakeemik F. M. Eger, inglise kristallograafid eesotsas J. Bernaliga) ning parem- ja vasakpoolsuse doktriin (nõukogude teadlased V. I. Vernadsky, V. V. F. Alpatov, G. Gause ja teised ning saksa teadlane W. Ludwig). Nende tööde tulemusel tuvastati 1961. aastal S. teooria erisuund – biosümmeetria.

Kõige intensiivsemalt on uuritud bioloogiliste objektide struktuurset S.-d. S.-i biostruktuuride – molekulaarsete ja supramolekulaarsete – uurimine struktuurse S. seisukohast võimaldab eelnevalt kindlaks teha nende võimalikud S. tüübid ning seeläbi ka võimalike modifikatsioonide arvu ja tüübi, et rangelt kirjeldada väliseid mõjusid. ruumiliste bioloogiliste objektide kuju ja sisemine struktuur. See viis struktuurse S. esituste laialdase kasutamiseni zooloogias, botaanikas, molekulaarbioloogia. Struktuurne S. avaldub eelkõige ühe või teise regulaarse korduse kujul. IN klassikaline teooria Saksa teadlaste J. F. Gesseli, E. S. Fedorovi jt poolt välja töötatud struktuurne sümmeetria, võib objekti sümmeetria ilmnemist kirjeldada selle struktuuri elementide kogumiga, st selliste geomeetriliste elementide (punktid, jooned, tasapinnad) abil, mille suhtes. järjestatakse samad objekti osad (vt Sümmeetria matemaatikas). Näiteks S. floksi lille vaade ( riis. 1 , c) - üks 5. järku telg, mis läbib lille keskpunkti; toodetud selle töö käigus - 5 pööret (72, 144, 216, 288 ja 360 ° võrra), millest igaühel langeb lill endaga kokku. Vaata C. liblika figuuri ( riis. 2 , b) - üks tasapind, mis jagab selle kaheks pooleks - vasakule ja paremale; tasapinna abil tehtav operatsioon on peegelpilt, mis “teeb” paremast vasaku poole, vasaku parema poole ja liblika kujundi endaga kombineerides. Vaata C. radiolarian Lithocubus geometricus ( riis. 3 , b), sisaldab see lisaks pöörlemistelgedele ja peegeldustasanditele ka keskpunkti C. Igasugune sirgjoon, mis on tõmmatud läbi sellise ühe punkti radiolaaria sees selle mõlemal küljel ja võrdsel kaugusel, kohtub samaga (vastav) joonise punktid. S. tsentri abil tehtavad toimingud on peegeldused punktis, mille järel kombineeritakse ka radiolaaria kuju iseendaga.

Eluslooduses (nagu ka elutus looduses) leidub erinevate piirangute tõttu S. liike tavaliselt oluliselt väiksem arv, kui see teoreetiliselt võimalik on. Näiteks eluslooduse arengu madalamatel etappidel on kõigi täpiliste S. klasside esindajad - kuni organismideni, mida iseloomustavad korrapärase hulktahuka S. ja pallid (vt. riis. 3 ). Kuid evolutsiooni kõrgematel etappidel leidub taimi ja loomi peamiselt nn. aksiaalne (tüüp n) ja aktinomorfne (tüüp n(m)KOOS. (mõlemal juhul n võib võtta väärtused 1 kuni ∞). Teljelise S-ga bioobjektid (vt. riis. 1 ) iseloomustavad ainult järgu C. telg n. Saktinomorfse S. bioobjektid (vt. riis. 2 ) iseloomustavad üks järjestustelg n ja piki seda telge ristuvad tasapinnad m. Looduses on S. liigid kõige levinumad. n = 1 ja 1. m = m, nimetatakse vastavalt asümmeetriaks (vt Asümmeetria) ja kahepoolseks ehk kahepoolseks S. Asümmeetria on iseloomulik enamiku taimeliikide lehtedele, kahepoolne S. - teatud määral inimkeha väliskuju, selgroogsete ja palju selgrootuid. Liikuvate organismide puhul on selline liikumine ilmselt seotud erinevustega nende liikumises üles ja alla ning edasi ja tagasi, samas kui nende liikumine paremale ja vasakule on sama. Nende kahepoolsete S. rikkumine tooks paratamatult kaasa ühe osapoole liikumise pärssimise ja edasiliikumise muutumise ringikujuliseks. 50-70ndatel. 20. sajandil intensiivsel õppetööl (eeskätt NSV Liidus) allutati nn. dissümmeetrilised bioobjektid ( riis. 4 ). Viimane võib eksisteerida vähemalt kahe modifikatsioonina - originaali ja selle peegelpildi (antipoodi) kujul. Veelgi enam, ühte neist vormidest (ükskõik milline) nimetatakse paremale või D-ks (ladina keelest dextro), teist - vasakpoolseks või L-ks (ladina keelest laevo). D- ja L-bioloogiliste objektide kuju ja ehituse uurimisel töötati välja dissümmeetriliste tegurite teooria, mis tõestab iga D- või L-objekti kahe või enama (kuni lõpmatu arvu) modifikatsiooni võimalust (vt ka riis. 5 ); samas sisaldas see ka valemeid viimaste arvu ja tüübi määramiseks. See teooria viis avastamiseni nn. bioloogiline isomeeria (vt. Isomerism) (sama koostisega erinevad bioloogilised objektid; edasi riis. 5 Näidatud on 16 pärnalehe isomeeri).

Bioloogiliste objektide esinemist uurides selgus, et mõnel juhul on ülekaalus D-vormid, teistel L-vormid, teistel on need sama levinud. Bechamp ja Pasteur (19. sajandi 40. aastad) ning 30. aastatel. 20. sajandil Nõukogude teadlased G. F. Gause ja teised näitasid, et organismide rakud on ehitatud ainult või peamiselt L-aminohapetest, L-valkudest, D-desoksüribonukleiinhapetest, D-suhkrutest, L-alkaloididest, D- ja L-terpeenidest jne. elusrakkude põhiline ja iseloomulik tunnus, mida Pasteur nimetas protoplasma dissümmeetriaks, tagab rakule, nagu 20. sajandil kindlaks tehti, aktiivsema ainevahetuse ning seda säilitatakse keeruliste bioloogiliste ja füüsikalis-keemiliste mehhanismide kaudu, mis on tekkinud evolutsiooni protsess. Öökullid. 1952. aastal tegi teadlane V. V. Alpatov 204 soontaimede liigi kohta kindlaks, et 93,2% taimeliikidest kuulub L-tüüpi, 1,5% - veresoonte seinte spiraalse paksenemise D-kursusega, 5,3% liikidest. - ratseemilise tüübini (D-veresoonte arv on ligikaudu võrdne L-veresoonte arvuga).

D- ja L-bioloogiliste objektide uurimisel leiti, et võrdsus vahel D ja L kuju mõnel juhul on see häiritud nende füsioloogiliste, biokeemiliste ja muude omaduste erinevuse tõttu. Seda eluslooduse tunnust nimetati elu dissümmeetriaks. Seega on L-aminohapete ergastav toime plasma liikumisele taimerakkudes kümneid ja sadu kordi suurem kui nende D-vormide sama mõju. Paljud D-aminohappeid sisaldavad antibiootikumid (penitsilliin, gramitsidiin jt) on bakteritsiidsemad kui nende vormid L-aminohapetega. Levinud spiraalne L-kop peet on 8-44% (olenevalt sordist) raskem ja sisaldab 0,5-1% rohkem suhkrut kui D-kop peet.

Definitsioon. Sümmeetria (tähendab "proportsionaalsus") - geomeetriliste objektide omadus olla teatud teisenduste korral iseendaga ühendatud. Under sümmeetria mõista kogu õigsust sisemine struktuur kehad või kujundid.

Punkti sümmeetria on keskne sümmeetria (joonis 23 allpool) ja sümmeetria sirgjoone suhtes on teljesuunaline sümmeetria (joonis 24 allpool).

Punkti sümmeetria eeldab, et miski asub punkti mõlemal küljel võrdsel kaugusel, näiteks teised punktid või punktide asukoht (sirged, kõverjooned, geomeetrilised kujundid).

Kui ühendate sümmeetriliste punktide joone (geomeetrilise kujundi punktid) läbi sümmeetriapunkti, asuvad sümmeetrilised punktid joone otstes ja sümmeetriapunkt on selle keskpunkt. Kui fikseerite sümmeetriapunkti ja pöörate joont, siis kirjeldavad sümmeetrilised punktid kõveraid, mille iga punkt on sümmeetriline ka teise kõverjoone punktiga.

Sirge joone sümmeetria(sümmeetriatelg) eeldab, et piki sümmeetriatelje iga punkti tõmmatud risti asetsevad kaks sümmeetrilist punkti sellest samal kaugusel. Samad geomeetrilised kujundid võivad paikneda nii sümmeetriatelje (sirge) kui sümmeetriapunkti suhtes.

Näiteks on märkmiku leht, mis volditakse pooleks, kui mööda voltimisjoont tõmmatakse sirgjoon (sümmeetriatelg). Lehe ühe poole igal punktil on lehe teisel poolel sümmeetriline punkt, kui need asuvad voltimisjoonest samal kaugusel teljega risti.

Telgsümmeetriajoon, nagu joonisel 24, on vertikaalne ja lehe horisontaalsed servad on sellega risti. See tähendab, et sümmeetriatelg on risti lehte piiravate horisontaaljoonte keskpunktidega. Sümmeetrilised punktid (R ja F, C ja D) asuvad telgjoonest samal kaugusel - risti neid punkte ühendavate joontega. Järelikult on kõik läbi lõigu keskosa tõmmatud risti (sümmeetriatelje) punktid selle otstest võrdsel kaugusel; või mis tahes punkt, mis on risti (sümmeetriatelg) lõigu keskkohaga, on selle lõigu otstest võrdsel kaugusel.

6.7.3. Aksiaalne sümmeetria

punktid A Ja A 1 on sümmeetrilised sirge m suhtes, kuna sirge m on lõiguga risti AA 1 ja läbib selle keskosa.

m on sümmeetriatelg.

Ristkülik ABCD on kaks sümmeetriatelge: sirge m Ja l.

Kui joonis on volditud sirgjooneliselt m või sirgjooneliselt l, siis langevad mõlemad joonise osad kokku.

Ruut ABCD sellel on neli sümmeetriatelge: sirge m, l, k Ja s.

Kui ruut on painutatud piki mõnda sirgjoont: m, l, k või s, siis langevad mõlemad ruudu osad kokku.

Ringjoonel, mille keskpunkt on punkt O ja raadius OA, on lõpmatu arv sümmeetriatelge. Need on otsesed: m, m1, m2, m 3 .

Harjutus. Koostage punkt A 1 , mis on sümmeetriline punktiga A (-4; 2) ümber Ox-telje.

Ehitage punkt A 2 sümmeetriline punktiga A (-4; 2) ümber telje Oy.

Punkt A 1 (-4; -2) on sümmeetriline punktiga A (-4; 2) ümber Ox-telje, kuna Ox-telg on lõiguga AA 1 risti ja läbib selle keskpunkti.

Punktide puhul, mis on sümmeetrilised x-telje suhtes, on abstsissid samad ja ordinaadid on vastandarvud.

Punkt A 2 (4; -2) on sümmeetriline punktiga A (-4; 2) Oy telje ümber, kuna Oy telg on risti lõiguga AA 2 ja läbib selle keskpunkti.

Oy telje suhtes sümmeetriliste punktide korral on ordinaadid samad ja abstsissid on vastandarvud.

www.mathematics-repetition.com

wiki.eduVdom.com

Kasutaja tööriistad

Saidi tööriistad

Kõrvalpaneel

Geomeetria:

Kontaktid

Tsentraalne ja aksiaalne sümmeetria

Keskne sümmeetria

Kahte punkti A ja A 1 nimetatakse punkti O suhtes sümmeetrilisteks, kui O on lõigu AA 1 keskpunkt (joonis 1). Punkti O peetakse enda suhtes sümmeetriliseks.

Keskse sümmeetria näide

Kujundit nimetatakse sümmeetriliseks punkti O suhtes, kui kujundi iga punkti jaoks kuulub sellesse kujundisse ka tema suhtes punkti O suhtes sümmeetriline punkt. Punkti O nimetatakse joonise sümmeetriakeskmeks. Väidetavalt on figuuril ka keskne sümmeetria.

Keskse sümmeetriaga kujundite näideteks on ring ja rööpkülik (joonis 2).

Ringjoone sümmeetriakese on ringi keskpunkt ja rööpküliku sümmeetriakese on selle diagonaalide lõikepunkt. Sirgel on ka kesksümmeetria, kuid erinevalt ringist ja rööpkülikust, millel on ainult üks sümmeetriakese (punkt O joonisel 2), on sirgel neid lõpmatu arv – sirge mis tahes punkt on selle sümmeetriakeskus.

Aksiaalne sümmeetria

Kahte punkti A ja A 1 nimetatakse sümmeetrilisteks sirge a suhtes, kui see sirge läbib lõigu AA 1 keskosa ja on sellega risti (joonis 3). Sirge a iga punkti peetakse enda suhtes sümmeetriliseks.

Joonist nimetatakse sümmeetriliseks sirge a suhtes, kui joonise iga punkti jaoks kuulub sellele joonisele ka punkt, mis on sümmeetriline sirge a suhtes. Sirget a nimetatakse joonise sümmeetriateljeks.

Selliste kujundite ja nende sümmeetriatelgede näited on toodud joonisel 4.

Pange tähele, et ringi puhul on iga selle keskpunkti läbiv sirgjoon sümmeetriatelg.

Sümmeetriate võrdlus

Tsentraalne ja aksiaalne sümmeetria

Mitu sümmeetriatelge on joonisel kujutatud joonisel?

wiki.eduvdom.com

Tund "Aksiaalne ja kesksümmeetria"

Dokumendi lühikirjeldus:

Sümmeetriast piisab huvitav teema geomeetrias, kuna just seda mõistet leidub väga sageli mitte ainult inimelus, vaid ka looduses.

Videoesitluse esimene osa "Aksiaalne ja kesksümmeetria" määratleb kahe punkti sümmeetria tasapinna sirgjoone suhtes. Nende sümmeetria tingimuseks on võimalus tõmmata neist läbi segment, mille keskelt läbib etteantud sirge. Sellise sümmeetria eelduseks on lõigu ja sirge risti.

Videoõpetuse järgmine osa annab hea näide definitsioon, mis on näidatud joonise kujul, kus mitu punkti paari on sümmeetrilised sirge suhtes ja mis tahes punkt sellel sirgel on sümmeetriline iseenda suhtes.

Pärast sümmeetria esialgsete mõistete saamist pakutakse õpilastele sirgjoone suhtes sümmeetrilise kujundi keerukamat määratlust. Definitsioon on välja pakutud tekstireeglina ning sellega kaasneb ka esineja kõne lava taga. See osa lõpeb sümmeetriliste ja mittesümmeetriliste kujundite näidetega, suhteliselt sirged. Huvitav on see, et on geomeetrilisi kujundeid, millel on mitu sümmeetriatelge - kõik need on selgelt esitatud jooniste kujul, kus teljed on eraldi värviga esile tõstetud. Sel viisil on võimalik hõlbustada pakutava materjali mõistmist - objekt või kujund on sümmeetriline, kui see sobib täpselt kokku, kui kaks poolt volditakse oma telje suhtes.

Lisaks telgsümmeetriale on sümmeetria ühe punkti ümber. Videoesitluse järgmine osa on pühendatud sellele kontseptsioonile. Esiteks antakse kahe punkti sümmeetria määratlus kolmanda suhtes, seejärel tuuakse näide joonise kujul, mis näitab sümmeetrilist ja mittesümmeetrilist punktide paari. Tunni see osa lõpeb näidetega geomeetrilistest kujunditest, millel on või ei ole sümmeetriakeset.

Tunni lõpus kutsutakse õpilasi tutvuma kõige silmatorkavamate sümmeetrianäidetega, mida neid ümbritsevast maailmast leida võib. Arusaamine ja sümmeetriliste kujundite loomise oskus on erinevate elukutsete esindajate elus lihtsalt vajalikud. Sümmeetria on oma tuumaks kogu inimtsivilisatsiooni alus, kuna 9 inimest kümnest ümbritsevast objektist omavad üht või teist tüüpi sümmeetriat. Ilma sümmeetriata poleks võimalik püstitada palju suuri arhitektuurseid ehitisi, poleks võimalik saavutada muljetavaldavaid võimsusi tööstuses jne. Looduses on sümmeetria samuti väga levinud nähtus ja kui elututel objektidel on seda peaaegu võimatu kohata, siis elus maailm sõna otseses mõttes kubiseb sellest - peaaegu kogu taimestik ja loomastik on harvade eranditega kas telje- või kesksümmeetriaga. .

Tavaline kooli õppekava on koostatud nii, et see oleks arusaadav igale tundi vastuvõetud õpilasele. Videoesitlus hõlbustab seda protsessi mitu korda, kuna see mõjutab korraga mitut teabe arendamise keskust, annab materjali mitmes värvitoonis, sundides õpilasi keskenduma tunni jooksul kõige olulisemale. Erinevalt koolis tavapärasest õpetamisviisist, kus igal õpetajal ei ole oskust ega soovi õpilastele täpsustavatele küsimustele vastata, saab videotundi hõlpsasti tagasi kerida. vajalik ruum et kõnelejat uuesti kuulata ja vajalikku teavet uuesti lugeda, kuni selle täieliku mõistmiseni. Arvestades materjali esitlemise lihtsust, saab videoesitlust iseseisva õppimisviisina kasutada mitte ainult koolitundides, vaid ka kodus.

urokimatematiki.ru

Ettekanne “Liikumine. Aksiaalne sümmeetria »

Arhiivis olevad dokumendid:

Dokumendi nimi 8.

Esitluse kirjeldus üksikutel slaididel:

Keskne sümmeetria on üks näide liikumisest

Definitsioon Aksiaalne sümmeetria teljega a - ruumi kaardistamine iseendaga, kus iga punkt K läheb punkti K1, mis on temaga sümmeetriline telje a suhtes

1) Oxyz - ristkülikukujuline süsteem koordinaadid Oz - sümmeetriatelg 2) M(x; y; z) ja M1(x1; y1; z1) on Oz-telje suhtes sümmeetrilised. Valemid on tõesed ka siis, kui punkt M ⊂ Oz y; z ) M1(x1; y1; z1) O

Tõesta: Ülesanne 1 teljesuunalise sümmeetriaga, sirge, mis moodustab sümmeetriateljega nurga φ, kaardistatakse sirgele, mis moodustab ka nurga φ sümmeetrianurga φ A F E N m l a φ φ sümmeetriateljega.

Antud: 2) △ABD - ristkülikukujuline, Pythagorase teoreemi järgi: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - ristkülikukujuline Pythagorase teoreemi järgi: Ülesanne 2 Leia: BD2 Lahendus:

Dokumendi lühikirjeldus:

Ettekanne “Liikumine. Telgsümmeetria ”on visuaalne materjal selle teema põhisätete selgitamiseks kooli matemaatikatunnis. Selles esitluses käsitletakse aksiaalset sümmeetriat kui teist tüüpi liikumist. Ettekande käigus tuletatakse õpilastele meelde uuritud tsentraalse sümmeetria mõistet, antakse telgsümmeetria definitsioon, tõestatakse seisukoht, et telgsümmeetria on liikumine ning kahe ülesande lahendus, mille puhul on vaja kontseptsiooniga opereerida. telgsümmeetriat kirjeldatakse.

Telgsümmeetria on liikumine, seega on selle kujutamine tahvlil keeruline. Selgemaid ja arusaadavamaid konstruktsioone saab teha elektrooniliste vahenditega. Tänu sellele on konstruktsioonid hästi nähtavad igalt klassiruumi laualt. Joonistel on võimalik konstruktsiooni detaile värviga esile tõsta, keskenduda toimingu iseärasustele. Samal eesmärgil kasutatakse animatsiooniefekte. Esitlusvahendite abil on õpetajal lihtsam õpieesmärke saavutada, seega kasutatakse ettekannet tunni tulemuslikkuse tõstmiseks.

Demonstratsioon algab õpilastele õpitud liikumisviisi meeldetuletamisega – kesksümmeetria. Toimingu rakendamise näide on joonistatud pirni sümmeetriline kuvamine. Tasapinnale märgitakse punkt, mille suhtes muutub pildi iga punkt sümmeetriliseks. Kuvatav pilt on seega vastupidine. Sel juhul säilivad kõik objekti punktide vahelised kaugused tsentraalse sümmeetriaga.

Teine slaid tutvustab aksiaalse sümmeetria mõistet. Joonisel on kolmnurk, mille iga tipp läheb mingi telje suhtes kolmnurga sümmeetrilisse tippu. Kast tõstab esile aksiaalse sümmeetria määratluse. Märgitakse, et sellega muutub objekti iga punkt sümmeetriliseks.

Lisaks arvestatakse ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis telgsümmeetriat, objekti koordinaatide omadusi, mis kuvatakse telgsümmeetriat kasutades, ja tõestatakse ka, et see kaardistus säilitab kaugused, mis on liikumise märk. Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz on näidatud slaidi paremal küljel. Ozi telge võetakse sümmeetriateljeks. Ruumis on märgitud punkt M, mis vastava kaardistuse all läheb üle punktiks M 1. Joonis näitab, et telgsümmeetria korral säilitab punkt oma rakenduse.

Märgitakse, et selle telgsümmeetriaga kaardistamise abstsisside ja ordinaatide aritmeetiline keskmine on võrdne nulliga, st (x+ x 1)/2=0; (y + y 1)/2 = 0. Vastasel juhul näitab see, et x=-x 1 ; y = -y1; z=z1. Reegel säilib ka siis, kui punkt M on märgitud Ozi teljele endale.

Et kaaluda, kas punktidevahelised kaugused säilivad aksiaalse sümmeetriaga, kirjeldatakse toimingut punktides A ja B. Oz-telje ümber kuvatuna lähevad kirjeldatud punktid punktidele A1 ja B1. Punktidevahelise kauguse määramiseks kasutame valemit, milles kaugus arvutatakse koordinaatide järgi. Tuleb märkida, et AB \u003d √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2) ja kuvatud punktide puhul A 1 B 1 \u003d √ (- x 2 + x 1) 2 + (-y 2 + y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2). Arvestades kvadratuureerimise omadusi, võib märkida, et AB=A 1 B 1 . See viitab sellele, et punktide vahelised kaugused säilivad − peamine omadus liikumine. Seega on aksiaalne sümmeetria liikumine.

Slaid 5 käsitleb ülesande 1 lahendust. Selles on vaja tõestada väidet, et sümmeetriatelje suhtes nurga φ all kulgev sirge moodustab sellega sama nurga φ. Ülesande jaoks on antud pilt, millele on tõmmatud sümmeetriatelg, samuti joon m, mis moodustab sümmeetriateljega nurga φ ja telje suhtes on selle kuvaks joon l. Väite tõestamine algab lisapunktide ehitamisest. Märgitakse, et sirge m lõikab sümmeetriatelge punktis A. Kui märgime sellele sirgele punkti F≠A ja langetame sellelt risti sümmeetriateljele, saame risti lõikumispunkti sümmeetriateljega. punktis E. Telgsümmeetriaga läheb lõik FE lõiku NE. Selle konstruktsiooni tulemusena saadi täisnurksed kolmnurgad ΔAEF ja ΔAEN. Need kolmnurgad on võrdsed, kuna AE on nende ühine jalg ja FE = NE on ehituselt võrdsed. Vastavalt sellele on nurk ∠EAN=∠EAF. Sellest järeldub, et kaardistatud joon moodustab ka sümmeetriateljega nurga φ. Probleem lahendatud.

Viimasel slaidil on käsitletud ülesande 2 lahendust, milles on antud kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küljega a. On teada, et pärast sümmeetriat serva B 1 D 1 sisaldava telje suhtes läheb punkt D punkti D 1 . Ülesanne on leida BD 2 . Ülesannet ehitatakse. Joonisel on kujutatud kuubik, mis näitab, et sümmeetriatelg on kuubi B 1 D 1 tahu diagonaal. Punkti D liikumisel tekkiv segment on risti selle näo tasapinnaga, millele sümmeetriatelg kuulub. Kuna liikumisel punktidevahelised kaugused säilivad, siis DD 1 = D 1 D 2 =a ehk kaugus DD 2 =2a. Alates täisnurkne kolmnurkΔABD Pythagorase teoreemi järgi järeldub, et BD=√(AB 2 +AD 2)=а√2. Täisnurksest kolmnurgast ΔВDD 2 järgneb Pythagorase teoreem BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2)=а√6. Probleem lahendatud.

Ettekanne “Liikumine. Telgsümmeetriat" kasutatakse kooli matemaatikatunni tõhususe parandamiseks. Samuti aitab see visualiseerimismeetod õpetajat kaugõpe. Materjali saavad iseseisvaks kaalumiseks pakkuda õpilased, kes pole tunni teemat piisavalt hästi valdanud.

Miks naine lahkus ega esita lahutusavaldust Praktiline tõelise armastuse foorum Naine esitab abielulahutuse.Abi! Abikaasa esitab abielulahutuse. Postitas MIRON4IK » 23. oktoober 2009, 16:22 Postitas raz » 23. oktoober 2009, 19:17 Postitas MIRON4IK » 23. oktoober 2009, 22:21 Postedon » […]

Kohtuotsus fašismi kohta – Nürnbergi protsess 8. augustil 1945, kolm kuud pärast võitu Natsi-Saksamaa üle, kiitsid võidukad riigid NSV Liit, USA, Suurbritannia ja Prantsusmaa Londoni konverentsi ajal heaks […]

Durovich A.P. Turundus turismis Õpetus. - Minsk: Uued teadmised, 2003. - 496 lk. Selgitatakse välja turunduse olemus, põhimõtted, selle funktsioonid ja turundustegevuse tehnoloogia turismis. Kontseptuaalselt on õppejuhendi ülesehitus […]

Korrutustabeli õppejuhend, Lakeshore Enesekontrolliv jaotuslaud teeb matemaatika nii lihtsaks, et lapsed saavad ise õppida! Lapsed lihtsalt vajutage võrdseid nuppe. Ja siin on vastused! 81 […]

Tunni eesmärk:

"sümmeetriliste punktide" mõiste kujunemine;
õpetada lapsi koostama punkte, mis on andmete suhtes sümmeetrilised;
õppida koostama andmete suhtes sümmeetrilisi segmente;
mineviku kinnistamine (arvutusoskuse kujundamine, mitmekohalise arvu jagamine ühekohaliseks).

Stendil "tundi" kaardid:

1. Organisatsioonimoment

Tervitused.

Õpetaja juhib tähelepanu stendile:

Lapsed, me alustame õppetundi oma töö planeerimisega.

Täna matemaatika tunnis teeme reisi 3 kuningriiki: aritmeetika, algebra ja geomeetria kuningriiki. Alustame õppetundi meie jaoks täna kõige olulisemast, geomeetriast. Ma räägin teile muinasjuttu, aga "Muinasjutt on vale, aga selles on vihje – õppetund headele kaaslastele."

": Ühel filosoofil nimega Buridan oli eesel. Kord pikaks ajaks lahkudes pani filosoof eesli ette kaks ühesugust käetäit heina. Ta pani pingi ja pingist vasakule ja sellest paremale. samale kaugusele pani ta täpselt samasugused käsivarred heina.

Joonis 1 tahvlil:

Eesel kõndis ühe heinatäie juurest teise juurde, kuid ei otsustanud, millise käega alustada. Ja lõpuks suri ta nälga.

Miks eesel ei otsustanud, millise peotäie heinaga alustada?

Mida nende kaenlaaluste heina kohta öelda?

(Heina käsivarretäied on täpselt samad, need olid pingist samal kaugusel, mis tähendab, et nad on sümmeetrilised).

2. Teeme natuke uurimistööd.

Võtke paberileht (igal lapsel on laual värviline paber), voltige see pooleks. Torgake see kompassi jalaga läbi. Laienda.

Mis sa said? (2 sümmeetrilist punkti).

Kuidas veenduda, et need on tõesti sümmeetrilised? (voldi leht kokku, punktid ühtivad)

3. Töölaual:

Kas need punktid on teie arvates sümmeetrilised? (Ei). Miks? Kuidas me saame selles kindlad olla?

Joonis 3:

Kas need punktid A ja B on sümmeetrilised?

Kuidas me saame seda tõestada?

(Mõõtke kaugust sirgjoonest punktideni)

Naaseme oma värviliste paberitükkide juurde.

Mõõtke kaugus voltimisjoonest (sümmeetriatelg) esmalt ühe ja seejärel teise punktini (kuid kõigepealt ühendage need segmendiga).

Mida nende vahemaade kohta öelda?

(Sama)

Leidke oma lõigu keskpunkt.

Kus ta on?

(See on lõigu AB ja sümmeetriatelje lõikepunkt)

4. Pöörake tähelepanu nurkadele, tekkinud lõigu AB sümmeetriateljega lõikumise tulemusena. (Selle saame ruudu abil teada, iga laps töötab oma töökohal, üks õpib tahvlil).

Laste järeldus: lõik AB on sümmeetriateljega täisnurga all.

Seda teadmata oleme nüüd avastanud matemaatilise reegli:

Kui punktid A ja B on sümmeetrilised sirge või sümmeetriatelje suhtes, siis on neid punkte ühendav lõik selle sirgega täisnurga all ehk risti. (Stendile on eraldi kirjutatud sõna "risti"). Sõna "perpendikulaarne" hääldatakse valjuhäälselt ühehäälselt.

5. Pöörame tähelepanu sellele, kuidas see reegel meie õpikus kirjas on.

Õpikutöö.

Otsige sirge sümmeetrilisi punkte. Kas punktid A ja B on selle sirge suhtes sümmeetrilised?

6. Uue materjali kallal töötamine.

Õpime koostama punkte, mis on sümmeetrilised sirgjoone andmetega.

Õpetaja õpetab mõtlema.

Punkti A suhtes sümmeetrilise punkti konstrueerimiseks peate selle punkti joonelt sama kaugele paremale nihutama.

7. Õpime koostama segmente, mis on sirgjoone suhtes andmetega sümmeetrilised. Õpikutöö.

Õpilased arutavad tahvlil.

8. Suuline konto.

Sellega lõpetame oma viibimise "Geomeetria" kuningriigis ja teeme väikese matemaatilise soojenduse, olles külastanud "Aritmeetika" kuningriiki.

Samal ajal kui kõik töötavad suuliselt, töötavad kaks õpilast üksikutel tahvlitel.

A) Tehke jagamine kontrolliga:

B) Pärast vajalike numbrite sisestamist lahendage näide ja kontrollige:

Sõnaline loendamine.

Kase eluiga on 250 aastat, tammel 4 korda pikem. Mitu aastat tammepuu elab?
Papagoi elab keskmiselt 150 aastat ja elevant 3 korda vähem. Mitu aastat elevant elab?
Karu kutsus enda juurde külalisi: siili, rebase ja orava. Ja kingituseks kinkisid nad talle sinepipoti, kahvli ja lusika. Mida siil karule kinkis?

Sellele küsimusele saame vastata, kui me neid programme käivitame.

Sinep - 7
Kahvel - 8
Lusikas - 6

(Siil andis lusika)

4) Arvutage. Otsige teine näide.

810: 90
360: 60
420: 7
560: 80

5) Otsige üles muster ja aidake õige number üles kirjutada:

3 9 81
2 16

5 10 20
6 24

9. Ja nüüd puhkame natuke.

Kuulake Beethoveni Kuuvalgussonaati. Hetk klassikalisest muusikast. Õpilased panevad pea lauale, sulgevad silmad, kuulavad muusikat.

10. Reis algebra valdkonda.

Arvake ära võrrandi juured ja kontrollige:

Õpilased otsustavad tahvlil ja vihikutes. Selgitage, kuidas te selle välja mõtlesite.

11. "välkturniir" .

a) Asya ostis a rubla eest 5 bagelit ja b rubla eest 2 pätsi. Kui palju kogu ost maksab?

Me kontrollime. Jagame arvamusi.

12. Kokkuvõtteid tehes.

Niisiis, oleme lõpetanud oma teekonna matemaatika valdkonda.

Mis oli sinu jaoks tunnis kõige olulisem?

Kellele meie tund meeldis?

Mulle meeldis teiega koos töötada

Tänan teid õppetunni eest.

I . Sümmeetria matemaatikas :

Põhimõisted ja määratlused.

Telgsümmeetria (definitsioonid, ehitusplaan, näited)

Keskne sümmeetria (määratlused, ehitusplaan, koosmeetmed)

Kokkuvõtlik tabel (kõik omadused, funktsioonid)

II . Sümmeetria rakendused:

1) matemaatikas

2) keemias

3) bioloogias, botaanikas ja zooloogias

4) kunstis, kirjanduses ja arhitektuuris

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Sümmeetria põhimõisted ja selle liigid.

Sümmeetria mõiste n R läbib kogu inimkonna ajaloo. Seda leidub juba inimteadmiste algul. See tekkis seoses elusorganismi, nimelt inimese uurimisega. Ja seda kasutasid skulptorid juba 5. sajandil eKr. e. Sõna "sümmeetria" on kreeka keeles, see tähendab "proportsionaalsust, proportsionaalsust, osade paigutuse võrdsust". Seda kasutavad eranditult laialdaselt kõik kaasaegse teaduse valdkonnad. Paljud suurepärased inimesed mõtlesid selle mustri peale. Näiteks L. N. Tolstoi ütles: „Musta tahvli ees seistes ja sellele kriidiga erinevaid kujundeid joonistades tabas mind järsku mõte: miks on sümmeetria silmale selge? Mis on sümmeetria? See on kaasasündinud tunne, vastasin endale. Millel see põhineb?" Sümmeetria on tõesti silmale meeldiv. Kes poleks imetlenud looduse loomingu sümmeetriat: lehed, lilled, linnud, loomad; või inimeste looming: hooned, tehnika, – kõik see, mis meid lapsepõlvest saati ümbritseb, mis püüdleb ilu ja harmoonia poole. Hermann Weyl ütles: "Sümmeetria on idee, mille kaudu inimene on sajandeid püüdnud mõista ja luua korda, ilu ja täiuslikkust." Hermann Weyl on saksa matemaatik. Selle tegevus langeb kahekümnenda sajandi esimesse poolde. Just tema sõnastas sümmeetria määratluse, mille määras kindlaks, milliste märkide järgi konkreetsel juhul sümmeetria olemasolu või, vastupidi, puudumist näha. Seega kujunes matemaatiliselt range esitus suhteliselt hiljuti – 20. sajandi alguses. See on üsna keeruline. Pöörame ringi ja tuletame veel kord meelde definitsioone, mis meile õpikus on antud.

2. Aksiaalne sümmeetria.

2.1 Põhimõisted

Definitsioon. Kahte punkti A ja A 1 nimetatakse sümmeetrilisteks sirge a suhtes, kui see sirge läbib lõigu AA 1 keskpunkti ja on sellega risti. Sirge a iga punkti peetakse enda suhtes sümmeetriliseks.

Definitsioon. Väidetavalt on kujund sirgjoone suhtes sümmeetriline. A, kui joonise iga punkti jaoks on selle suhtes sirge suhtes sümmeetriline punkt A kuulub ka sellesse kujundisse. Otse A nimetatakse joonise sümmeetriateljeks. Figuuril on väidetavalt ka teljesuunaline sümmeetria.

2.2 Ehitusplaan

Ja nii, et luua sümmeetriline kujund igast punktist sirgjoone suhtes, joonistame selle sirgjoonega risti ja pikendame seda sama vahemaa võrra, märgime saadud punkti. Teeme seda iga punktiga, saame uue kujundi sümmeetrilised tipud. Seejärel ühendame need järjestikku ja saame selle suhtelise telje sümmeetrilise kujundi.

2.3 Näited telgsümmeetriaga joonistest.

3. Keskne sümmeetria

3.1 Põhimõisted

Definitsioon. Kahte punkti A ja A 1 nimetatakse punkti O suhtes sümmeetrilisteks, kui O on lõigu AA 1 keskpunkt. Punkti O peetakse enda suhtes sümmeetriliseks.

Definitsioon. Kujundit nimetatakse sümmeetriliseks punkti O suhtes, kui kujundi iga punkti jaoks kuulub sellesse kujundisse ka tema suhtes punkti O suhtes sümmeetriline punkt.

3.2 Ehitusplaan

Antud kolmnurga konstrueerimine, mis on sümmeetriline keskpunkti O suhtes.

Punkti konstrueerimiseks sümmeetriline punkt A punkti suhtes KOHTA, piisab sirgjoone tõmbamisest OA(Joonis 46 ) ja teisel pool punkti KOHTA eraldage segmendiga võrdne segment OA. Teisisõnu , punktid A ja ; Aastal ja ; C ja on sümmeetrilised mingi punkti O suhtes. Joonisel fig. 46 ehitas kolmnurgaga sümmeetrilise kolmnurga ABC punkti suhtes KOHTA. Need kolmnurgad on võrdsed.

Sümmeetriliste punktide ehitamine keskpunkti ümber.

Joonisel on punktid M ja M 1, N ja N 1 sümmeetrilised punkti O suhtes ning punktid P ja Q ei ole selle punkti suhtes sümmeetrilised.

Üldiselt on mõne punkti suhtes sümmeetrilised arvud võrdsed .

3.3 Näited

Toome näiteid keskse sümmeetriaga kujundite kohta. Lihtsamad tsentraalse sümmeetriaga kujundid on ring ja rööpkülik.

Punkti O nimetatakse joonise sümmeetriakeskmeks. Sellistel juhtudel on joonisel keskne sümmeetria. Ringjoone sümmeetriakese on ringi keskpunkt ja rööpküliku sümmeetriakese on selle diagonaalide lõikepunkt.

Sirgel on ka tsentraalne sümmeetria, kuid erinevalt ringist ja rööpkülikust, millel on ainult üks sümmeetriakese (joonisel punkt O), on sirgel neid lõpmatu arv – iga punkt sirgel on selle sümmeetriakese. .

Joonistel on kujutatud tipu suhtes sümmeetrilist nurka, keskpunkti ümber oleva teise segmendi suhtes sümmeetrilist lõiku A ja selle tipu suhtes sümmeetriline nelinurk M.

Näide joonisest, millel pole sümmeetriakeset, on kolmnurk.

4. Tunni kokkuvõte

Teeme kokkuvõtte saadud teadmistest. Tänases tunnis tutvusime kahe peamise sümmeetriatüübiga: tsentraalne ja aksiaalne. Vaatame ekraani ja süstematiseerime saadud teadmisi.

Kokkuvõttev tabel

	Aksiaalne sümmeetria	Keskne sümmeetria
Omapära	Kõik joonise punktid peavad olema sümmeetrilised mõne sirge suhtes.	Kõik joonise punktid peavad olema sümmeetria keskpunktiks valitud punkti suhtes sümmeetrilised.
Omadused	1. Sümmeetrilised punktid asuvad sirgega risti. 3. Sirged jooned muutuvad sirgeks, nurgad võrdseteks nurkadeks. 4. Figuuride suurused ja kujud salvestatakse.	1. Sümmeetrilised punktid asuvad sirgel, mis läbib keskpunkti ja antud punkt arvud. 2. Kaugus punktist sirgeni on võrdne kaugusega sirgest sümmeetrilise punktini. 3. Figuuride suurused ja kujud salvestatakse.

II. Sümmeetria rakendamine

Matemaatika

Algebratundides uurisime funktsioonide y=x ja y=x graafikuid

Joonistel on kujutatud erinevaid paraboolide okste abil kujutatud pilte.

a) oktaeeder,

(b) rombikujuline dodekaeeder, (c) kuusnurkne oktaeeder.

vene keel

Trükitud tähed Vene tähestikus on ka erinevat tüüpi sümmeetriaid.

Vene keeles on "sümmeetrilised" sõnad - palindroomid, mida saab lugeda mõlemas suunas ühtemoodi.

A D L M P T V- vertikaalne telg

B E W K S E Yu - horisontaaltelg

W N O X- nii vertikaalselt kui ka horisontaalselt

B G I Y R U C W Y Z- telge pole

Radarionn Alla Anna

Kirjandus

Laused võivad olla ka palindroomsed. Brjusov kirjutas luuletuse "Kuu hääl", milles iga rida on palindroom.

Vaadake A. S. Puškini "Pronksratsutaja" nelikuid. Kui tõmbame teise joone järel joone, näeme telgsümmeetria elemente

Ja roos kukkus Azori käpa peale.

Ma lähen kohtuniku mõõgaga. (Deržavin)

"Otsige taksot"

"Argentiina kutsub musta meest",

"Hindab argentiinlast neegrit",

"Lesha leidis riiulilt vea."

Neeva on riietatud graniidiga;

Üle vete rippusid sillad;

Tumerohelised aiad

Saared olid sellega kaetud ...

Bioloogia

Inimkeha on üles ehitatud kahepoolse sümmeetria põhimõttel. Enamik meist arvab, et aju on ühtne struktuur, tegelikult on see jagatud kaheks pooleks. Need kaks osa – kaks poolkera – sobivad tihedalt kokku. Täielikult kooskõlas inimkeha üldise sümmeetriaga on kumbki poolkera teise peaaegu täpne peegelpilt.

Inimkeha põhiliigutuste ja sensoorsete funktsioonide kontroll on jaotunud ühtlaselt kahe ajupoolkera vahel. Vasak poolkera kontrollib aju paremat poolt, parem poolkera aga vasakut poolt.

Botaanika

Lille peetakse sümmeetriliseks, kui iga periant koosneb võrdsest arvust osadest. Paarisosadega lilli peetakse topeltsümmeetriaga lilleks jne. Kolmiksümmeetria on tavaline üheidulehelistel, viis - kaheidulehelistel. iseloomulik tunnus taimede struktuur ja nende areng on helilisus.

Pöörake tähelepanu võrsete lehtede paigutusele - see on ka omamoodi spiraal - spiraalne. Isegi Goethe, kes polnud mitte ainult suur poeet, vaid ka loodusteadlane, pidas helilisust üheks iseloomulikud tunnused kõigist organismidest on elu sisemise olemuse ilming. Taimede kõõlused väänduvad spiraalselt, koed kasvavad spiraalselt puutüvedes, päevalillel asetsevad seemned spiraalselt, juurte ja võrsete kasvamisel täheldatakse spiraalseid liikumisi.

Taimede struktuuri ja nende arengu iseloomulik tunnus on helilisus.

Vaata männikäbi. Selle pinnal olevad kaalud on paigutatud rangelt korrapäraselt - mööda kahte spiraali, mis ristuvad ligikaudu täisnurga all. Selliste spiraalide arv männikäbides on 8 ja 13 või 13 ja 21.

Zooloogia

Loomade sümmeetria all mõistetakse suuruse, kuju ja kontuuri vastavust, samuti eraldusjoone vastaskülgedel asuvate kehaosade suhtelist asukohta. Radiaal- või kiirgussümmeetria korral on kehal keskteljega lühike või pikk silinder või anum, millest kehaosad väljuvad radiaalses järjekorras. Need on koelenteraadid, okasnahksed, meritähed. Kahepoolse sümmeetria korral on kolm sümmeetriatelge, kuid ainult üks paar sümmeetrilisi külgi. Sest ülejäänud kaks külge – kõhu- ja seljaosa – ei ole üksteisega sarnased. Selline sümmeetria on iseloomulik enamikule loomadele, sealhulgas putukatele, kaladele, kahepaiksetele, roomajatele, lindudele ja imetajatele.

Aksiaalne sümmeetria

Erinevad liigid füüsikaliste nähtuste sümmeetriad: elektri- ja magnetvälja sümmeetria (joon. 1)

Vastastikku risti asetsevates tasandites on elektromagnetlainete levimine sümmeetriline (joon. 2)

joon.1 joon.2

Art

Kunstiteostes võib sageli täheldada peegelsümmeetriat. Peegelsümmeetriat leidub laialdaselt primitiivsete tsivilisatsioonide kunstiteostes ja iidses maalikunstis. Selline sümmeetria iseloomustab ka keskaegseid religioosseid maale.

Üks Raffaeli parimaid varaseid teoseid, Maarja kihlamine, loodi 1504. aastal. Päikesepaistelise sinise taeva all laiub org, mille tipus on valgest kivist tempel. Esiplaanil on kihlamistseremoonia. Ülempreester lähendab Maarja ja Joosepi käed. Maarja taga on seltskond tüdrukuid, Joosepi taga rühm noori mehi. Sümmeetrilise kompositsiooni mõlemat osa hoiab koos tegelaste lähenev liikumine. Kaasaegse maitse jaoks on sellise pildi kompositsioon igav, sest sümmeetria on liiga ilmne.

Keemia

Veemolekulil on sümmeetriatasand (sirge vertikaalne joon).DNA molekulid (desoksüribonukleiinhape) mängivad eluslooduse maailmas äärmiselt olulist rolli. See on kaheahelaline suure molekulmassiga polümeer, mille monomeeriks on nukleotiidid. DNA molekulidel on topeltheeliksi struktuur, mis on üles ehitatud komplementaarsuse põhimõttele.

arhitektuurWHO

Iidsetest aegadest on inimene kasutanud arhitektuuris sümmeetriat. Iidsed arhitektid kasutasid sümmeetriat eriti hiilgavalt arhitektuuristruktuurides. Veelgi enam, Vana-Kreeka arhitektid olid veendunud, et oma töödes juhinduvad nad loodust reguleerivatest seadustest. Valides sümmeetrilisi vorme, väljendas kunstnik oma arusaama loomulikust harmooniast kui stabiilsusest ja tasakaalust.

Norra pealinnas Oslos on ilmekas looduse ja kunsti ansambel. See on Frogner - park - maastikuaiaskulptuuride kompleks, mis loodi üle 40 aasta.