Aritmeetikast, arvuteadusest, algab meie tutvus matemaatikaga. Üks esimesi venekeelseid aritmeetikaõpikuid, mille kirjutas L. F. Magnitski 1703. aastal, algas sõnadega: „Aritmeetika ehk lugeja on kunst, mis on aus, kadestusväärne ja kõigile mugavalt arusaadav, kõige kasulikum ja kiidetud, alates vanimast. ja uusim, sisse erinevad ajad kes elas parimat aritmeetikat, leiutas ja selgitas. Aritmeetika abil siseneme, nagu ütles M. V. Lomonosov, "õppimise väravatesse" ja alustame oma pikka ja rasket, kuid põnevat maailma tundmise teekonda.
Sõna "aritmeetika" pärineb kreekakeelsest sõnast arithmos, mis tähendab "arvu". See teadus uurib arvude tehteid, erinevaid reegleid Nende käsitlemine õpetab lahendama ülesandeid, mis taanduvad arvude liitmisele, lahutamisele, korrutamisele ja jagamisele. Aritmeetikat kujutatakse sageli ette mingi esimese sammuna matemaatikas, mille põhjal on võimalik uurida selle keerulisemaid lõike – algebrat, matemaatilist analüüsi jne. Isegi täisarvudele – aritmeetika põhiobjektile – viidatakse nende arvestamisel üldised omadused ja mustrid kõrgemale aritmeetikale või arvuteooriale. Sellisel aritmeetikavaatel on muidugi alust – see jääb tõesti "loendamise tähestikuks", kuid tähestik on "kõige kasulikum" ja "mugavam".
Aritmeetika ja geomeetria on inimese vanad kaaslased. Need teadused ilmusid siis, kui tekkis vajadus loendada objekte, mõõta maad, jagada saaki, jälgida aega.
Aritmeetika sai alguse Vana-Ida riikidest: Babülonist, Hiinast, Indiast, Egiptusest. Näiteks Egiptuse papüürus Rinda (nimetatud selle omaniku G. Rinda järgi) pärineb 20. sajandist. eKr. Muu hulgas sisaldab see murdosa laiendusi murdude summaks, mille lugeja on võrdne ühega, näiteks:
Vana-Ida riikides kogutud matemaatiliste teadmiste aardeid arendasid ja jätkasid Vana-Kreeka teadlased. Ajalugu on meile säilitanud palju antiikmaailma aritmeetikaga tegelevate teadlaste nimesid – Anaxagoras ja Zenon, Eukleides (vt Eukleides ja tema "Algused"), Archimedes, Eratosthenes ja Diophantos. Pythagorase nimi (VI sajand eKr) sädeleb siin ereda tähena. Pythagoraslased (Pythagorase jüngrid ja järgijad) kummardasid numbreid, uskudes, et need sisaldavad kogu maailma harmooniat. Määrati individuaalsed numbrid ja numbripaarid erilised omadused. Numbrid 7 ja 36 olid au sees, samas pöörati tähelepanu nn täiuslikele numbritele, sõbralikele numbritele jne.
Keskajal seostatakse aritmeetika arengut ka idaga: India, araabia maailma riikide ja Kesk-Aasia. Indiaanlastelt jõudsid meieni numbrid, mida me kasutame, null ja positsiooniline numbrisüsteem; al-Kashist (XV sajand), kes töötas Samarkandi observatooriumis Ulugbeki, - kümnendmurrud.
Tänu kaubanduse ja mõjuvõimu arengule Ida kultuur alates 13. sajandist. kasvav huvi aritmeetika vastu Euroopas. Tuleks meeles pidada itaalia teadlase Leonardo Pisa (Fibonacci) nime, kelle teos "Abakuse raamat" tutvustas eurooplastele idamaade matemaatika peamisi saavutusi ning oli paljude aritmeetika ja algebra uuringute algus.
Koos trükikunsti leiutamisega (15. sajandi keskpaik) ilmusid esimesed trükitud matemaatilised raamatud. Esimene trükitud aritmeetikaraamat ilmus Itaalias 1478. aastal. Saksa matemaatiku M. Stiefeli (16. sajandi algus) Täielik aritmeetika sisaldab juba negatiivsed arvud ja isegi logaritmi idee.
Umbes 16. sajandil puhtaritmeetiliste küsimuste arendamine voolas algebra peavoolu - olulise verstapostina võib märkida prantsuse teadlase F. Vieta tööde ilmumist, kus numbrid on tähistatud tähtedega. Sellest ajast alates on aritmeetika põhireeglid algebra seisukohast täielikult mõistetud.
Aritmeetika põhiobjekt on arv. Naturaalarvud, s.o. numbrid 1, 2, 3, 4, ... jne tekkisid konkreetsete üksuste kokkulugemisel. Möödus palju aastatuhandeid, enne kui inimene sai teada, et kaks faasanit, kaks kätt, kaks inimest jne. võib nimetada sama sõna "kaks". Aritmeetika oluline ülesanne on õppida ületama loendatavate esemete nimetuste spetsiifilist tähendust, abstraheerima nende kujust, suurusest, värvist jne. Fibonaccil on juba ülesanne: „Seitse vana naist sõidavad Rooma. Igas muulas on 7 muula, igal muul on 7 kotti, igas kotis on 7 pätsi, igal pätsil on 7 nuga, igal noal on 7 tuppi. Kui palju? Probleemi lahendamiseks peate kokku panema vanad naised ja muulad, kotid ja leib.
Arvukontseptsiooni areng - null- ja negatiivsete arvude, tava- ja kümnendmurdude ilmumine, numbrite kirjutamise viisid (numbrid, sümbolid, numbrisüsteemid) - kõigel sellel on rikkalik ja huvitav ajalugu.
“Arvuteadus tähendab kahte teadust: praktilist ja teoreetilist. Praktiline õpib numbreid niivõrd, kuivõrd me räägime loendatavatest arvudest. Seda teadust kasutatakse turu- ja tsiviilasjades. Arvuteoreetiline teadus uurib numbreid absoluutne mõte abstraheeritud mõistusega kehadest ja kõigest, mis neis üles loetakse. al-Farabi
Aritmeetikas numbreid liidetakse, lahutatakse, korrutatakse ja jagatakse. Nende toimingute kiireks ja täpseks sooritamiseks mis tahes numbritega on pikka aega kaalutud kõige tähtsam ülesanne aritmeetika. Nüüd, mõtetes või paberil, teeme ainult kõige rohkem lihtsad arvutused, üha sagedamini usaldades keerukamaid arvutustöid mikrokalkulaatoritele, mis järk-järgult asendavad selliseid seadmeid nagu aabits, masina lisamine (vt Arvutiteadus), slaidireegel. Kõigi arvutite – lihtsate ja keerukate – töö põhineb aga kõige lihtsamal operatsioonil – naturaalarvude liitmisel. Selgub, et kõige keerulisemad arvutused saab taandada liitmisele, ainult seda toimingut tuleb teha palju miljoneid kordi. Kuid siin tungime teise matemaatika valdkonda, mis pärineb aritmeetikast - arvutusmatemaatikast.
Aritmeetilistel tehtetel arvudega on mitmesuguseid omadusi. Neid omadusi saab kirjeldada sõnadega, näiteks: “Summa ei muutu terminite kohtade muutumisest”, võib kirjutada tähtedega:, võib väljendada eriterminites.
Näiteks seda liitmise omadust nimetatakse kommutatiivseks või kommutatiivseks seaduseks. Me rakendame aritmeetika seadusi sageli harjumusest, ise seda teadvustamata. Sageli küsivad õpilased koolis: "Miks õppida kõiki neid nihke- ja kombineerimisseadusi, sest see on nii selge, kuidas numbreid liita ja korrutada?" 19. sajandil matemaatika astus olulise sammu – hakkas süstemaatiliselt liitma ja korrutama mitte ainult numbreid, vaid ka vektoreid, funktsioone, nihkeid, arvutabeleid, maatrikseid ja palju muud ning isegi ainult tähti, sümboleid, hoolimata nende konkreetsest tähendusest. Ja siin selgus, et kõige tähtsam on see, millistele seadustele need toimingud alluvad. Suvaliste objektidega (mitte tingimata arvudega) antud tehte uurimine on juba algebra pärusmaa, kuigi see ülesanne põhineb aritmeetikal ja selle seadustel.
Aritmeetika sisaldab palju reegleid ülesannete lahendamiseks. Vanadest raamatutest võib leida ülesandeid "kolmikreeglile", "proportsionaalsele jagamisele", "kaalumeetodile", "valereeglile" jne. Enamik neist reeglitest on nüüdseks aegunud, kuigi nende abiga lahendatud ülesandeid ei saa mingil juhul pidada aegunuks. Kuulus probleem mitme toruga täidetud basseiniga on vähemalt kaks tuhat aastat vana ja see pole koolilastele endiselt lihtne. Aga kui varem oli selle probleemi lahendamiseks vaja teada erireeglit, siis täna on see juba nii nooremad koolilapsedõppige sellist ülesannet lahendama, sisestades soovitud väärtuse tähemärgistuse. Seega tingisid aritmeetilised ülesanded võrrandite lahendamise vajaduse ja see on jällegi algebra ülesanne.
|
PYTHAGORAS
Samose Pythagorase kohta puuduvad kirjalikud dokumendid ning hilisemate tõendite kohaselt on tema elust ja saavutustest tõsist pilti raske taastada. On teada, et Pythagoras lahkus oma sünnisaarelt Samose saarelt Egeuse meres Väike-Aasia ranniku lähedal protestiks valitseja türannia vastu ja ilmus juba küpses eas (legendi järgi 40-aastaselt) Kreeka linna Crotone Lõuna-Itaalias. Pythagoras ja tema järgijad - Pythagoreanid - moodustasid salaliidu, mis mängis olulist rolli Kreeka kolooniate elus Itaalias. Pythagoraslased tundsid üksteist ära tähekujulise viisnurga – pentagrammi – järgi. Ida filosoofial ja religioonil oli Pythagorase õpetustele suur mõju. Ta reisis palju idamaades: oli Egiptuses ja Babülonis. Seal tutvus Pythagoras idamaise matemaatikaga. Matemaatikast on saanud tema õpetuste osa ja kõige olulisem osa. Pythagoraslased uskusid, et maailma saladus peitub numbrilistes mustrites. Numbrimaailm elas Pythagorase jaoks erilist elu, numbritel oli oma eripära elu mõte. Nende jagajate summaga võrdseid numbreid peeti täiuslikeks (6, 28, 496, 8128); sõbralikeks nimetati arvupaare, millest igaüks oli võrdne teise jagajate summaga (näiteks 220 ja 284). Pythagoras jagas esimesena arvud paaris- ja paarituteks, alg- ja liitarvudeks ning võttis kasutusele kujundarvu mõiste. Tema koolis käsitleti üksikasjalikult Pythagorase kolmikud naturaalarvud, milles ühe ruut oli võrdne kahe teise ruutude summaga (vt Fermat' suurt teoreemi). Pythagorasele omistatakse ütlust: "Kõik on arv." Arvude all (ja ta pidas silmas ainult naturaalarve) tahtis ta vähendada kogu maailma ja eelkõige matemaatikat. Kuid Pythagorase koolis endas tehti avastus, mis rikkus seda harmooniat. On tõestatud, et see ei ole ratsionaalne arv, s.t. ei väljendata naturaalarvudes. Loomulikult oli Pythagorase geomeetria allutatud aritmeetikale, see väljendus selgelt tema nime kandvas teoreemis ja sai hiljem geomeetrias arvuliste meetodite rakendamise aluseks. (Hiljem tõstis Eukleides taas esiplaanile geomeetria, allutades sellele algebra.) Ilmselt teadsid pütagoorlased õigeid tahkeid kehasid: tetraeedrit, kuubikut ja dodekaeedrit. Pythagorasele omistatakse tõestuste süstemaatiline juurutamine geomeetriasse, sirgjooneliste kujundite planimeetria loomine ja sarnasuse õpetus. Pythagorase nimi on seotud aritmeetiliste, geomeetriliste ja harmooniliste proportsioonide, keskmiste õpetusega. Tuleb märkida, et Pythagoras pidas Maad ümber Päikese liikuvaks palliks. Kui 16. sajandil kirik hakkas Koperniku õpetusi ägedalt taga kiusama, seda õpetust kutsuti kangekaelselt Pythagorase’iks. |
|
ARCHIMEDES
Suurest matemaatikust ja mehaanikust Archimedesest teatakse rohkem kui teistest antiikateadlastest. Esiteks on usaldusväärne tema surmaaasta - Sürakuusa langemise aasta, mil teadlane suri Rooma sõduri käe läbi. Muistsed ajaloolased Polybius, Livius, Plutarch rääkis aga tema matemaatilistest eelistest vähe, neilt on meie aegadesse jõudnud teave teadlase imeliste leiutiste kohta, mis tehti kuningas Hieron II teenistuses. Kuninga kuldkrooni kohta on kuulus lugu. Archimedes kontrollis selle koostise puhtust leitud ujuvusseaduse ja tema hüüatuse “Eureka!”, s.o. "Leitud!". Teine legend räägib, et Archimedes ehitas plokkide süsteemi, mille abil suutis üks inimene vette lasta tohutu laeva "Syracosia". Seejärel muutusid tiivuliseks Archimedese sõnad: "Anna mulle tugipunkt ja ma pööran Maa ümber." Archimedese insenerigeenius avaldus eriti jõuliselt Sitsiilia saarel asuva rikka kaubalinna Syracuse piiramise ajal. Rooma konsuli Marcelluse sõdureid pidasid linna müüride ääres pikka aega kinni enneolematud masinad: võimsad katapuldid tulistasid täpselt kiviplokke, lünkadesse paigaldati viskemasinad, mis viskasid välja südamikurahet, rannikukraanad pöörati müüridest väljapoole. ja loopis vaenlase laevu kivi- ja pliiplokkidega, konksud tõstsid laevu ja nad viskasid need suurelt kõrguselt alla, nõguspeeglite süsteemid (mõnes loos - kilbid) süütasid laevu. Plutarchos kirjeldab Marcelluse ajaloos õudust, mis Rooma sõdurite ridades valitses: „Niipea, kui nad märkasid, et kindlusemüüri tagant paistab köis või palk, põgenesid nad karjudes, et ka Archimedes on välja mõelnud. uus masin nende surma jaoks”. Tohutu on ka Archimedese panus matemaatika arengusse. Archimedese spiraal (vt Spiraalid), mida kirjeldas pöörlevas ringis liikuv punkt, eristus tema kaasaegsetele teadaolevatest arvukatest kõveratest. Järgmine kinemaatiliselt määratletud kõver, tsükloid, ilmus alles 17. sajandil. Archimedes õppis leidma puutujat oma spiraalile (ja tema eelkäijad suutsid sellega tõmmata puutujaid ainult koonuselistele lõikudele), leidis selle mähise pindala, samuti ellipsi pindala, koonuse pinna ja pall, kuuli mahud ja sfääriline segment. Eriti uhke oli ta enda avastatud kera ja selle ümber kirjeldatud silindri ruumala suhte üle, mis on 2:3 (vt sissekirjutatud ja piiritletud joonised). Archimedes tegeles palju ka ringi ruudu ruudustamise probleemiga (vt Antiikaja kuulsad probleemid). Teadlane arvutas ümbermõõdu ja läbimõõdu (arvu) suhte ja leidis, et see on vahemikus ja. Tema loodud meetod kujundi ümbermõõdu ja pindala arvutamiseks oli oluline samm diferentsiaal- ja integraalarvutuse loomisel, mis ilmus alles 2000 aastat hiljem. Archimedes leidis ka lõpmatu summa geomeetriline progressioon koos nimetajaga. Matemaatikas oli see esimene näide lõpmatust jadast. Olulist rolli matemaatika arengus mängis tema essee "Psammit" - "Liivaterade arvust", milles ta näitab, kuidas olemasolevat numbrisüsteemi kasutades saab suvaliselt väljendada. suured numbrid. Oma arutluse põhjusena kasutab ta nähtava universumi sees olevate liivaterade loendamise ülesannet. Nii lükati ümber toonane arvamus salapäraste "suurimate arvude" olemasolust. |
Aritmeetika poolt kasutusele võetud oluliste mõistete hulgas tuleks ära märkida proportsioonid ja protsendid. Enamik aritmeetika mõisteid ja meetodeid põhinevad erinevate arvudevaheliste seoste võrdlemisel. Matemaatika ajaloos toimus aritmeetika ja geomeetria liitmise protsess paljude sajandite jooksul.
Aritmeetika "geometriseerimist" saab selgelt jälgida: keerulised reeglid ja mustrid väljendatakse valemitega, muutuvad selgemaks, kui neid on võimalik geomeetriliselt kujutada. Matemaatikas endas ja selle rakendustes mängib olulist rolli pöördprotsess - visuaalse, geomeetrilise teabe tõlkimine arvude keelde (vt Graafilised arvutused). See tõlge põhineb prantsuse filosoofi ja matemaatiku R. Descartes'i ideel tasandi punktide määratlemisest koordinaatide järgi. Muidugi oli seda ideed kasutatud juba enne teda, näiteks merenduses, kui oli vaja kindlaks määrata laeva asukoht, samuti astronoomias ja geodeesias. Aga just Descarteselt ja tema õpilastelt pärineb koordinaatide keele järjekindel kasutamine matemaatikas. Ja meie ajal eelistavad nad keerukate protsesside (näiteks kosmoseaparaadi lendude) haldamisel, et kogu teave oleks numbrite kujul, mida arvuti töötleb. Vajadusel aitab masin inimesel kogunenud numbrilise teabe joonise keelde tõlkida.
Näete, et aritmeetikast rääkides ületame alati selle piirid – algebrasse, geomeetriasse ja muudesse matemaatikaharudesse.
Kuidas piiritleda aritmeetika enda piire?
Mis tähenduses seda sõna kasutatakse?
Sõna "aritmeetika" võib mõista järgmiselt:
õppeaine, mis käsitleb eelkõige ratsionaalarvusid (täisarvud ja murrud), tehteid nendega ning nende abil lahendatavaid probleeme;
osa ajaloolisest matemaatikahoonest, kuhu on kogunenud mitmesugust infot arvutuste kohta;
"teoreetiline aritmeetika" - osa kaasaegsest matemaatikast, mis tegeleb erinevate arvsüsteemide (looduslik, täisarv, ratsionaalne, reaalne, kompleksarvud ja nende üldistused);
"formaalne aritmeetika" - matemaatilise loogika osa (vt. Mathematical logic), mis tegeleb aritmeetika aksiomaatilise teooria analüüsiga;
"kõrgem aritmeetika" ehk arvuteooria, matemaatika iseseisvalt arenev osa.
Matemaatika algab aritmeetikast. Aritmeetikaga siseneme, nagu ütles M. V. Lomonosov, "õppimise väravatesse".
Sõna "aritmeetika" pärineb kreekakeelsest sõnast arithmos, mis tähendab "arvu". See teadus uurib arvude tehteid, nende käsitlemise erinevaid reegleid, õpetab lahendama probleeme, mis taanduvad arvude liitmisele, lahutamisele, korrutamisele ja jagamisele. Aritmeetikat kujutatakse sageli ette mingi esimese sammuna matemaatikas, mille põhjal on võimalik uurida selle keerulisemaid lõike – algebrat, matemaatilist analüüsi jne.Aritmeetika sai alguse Vana-Ida riikidest: Babülonist, Hiinast, Indiast, Egiptusest. Näiteks Egiptuse papüürus Rinda (nimetatud selle omaniku G. Rinda järgi) pärineb 20. sajandist. eKr e.
Vana-Ida riikides kogutud matemaatiliste teadmiste aardeid arendasid ja jätkasid Vana-Kreeka teadlased. Ajalugu on meile säilitanud palju antiikmaailma aritmeetikaga tegelevate teadlaste nimesid - Anaxagoras ja Zeno, Euclid, Archimedes, Eratosthenes ja Diophantus. Pythagorase nimi (VI sajand eKr) sädeleb siin ereda tähena. Pythagoraslased kummardasid numbreid, uskudes, et need sisaldavad kogu maailma harmooniat. Üksikutele numbritele ja numbripaaridele määrati eriomadused. Numbrid 7 ja 36 olid au sees, samas pöörati tähelepanu nn täiuslikele numbritele, sõbralikele numbritele jne.
Keskajal seostatakse aritmeetika arengut ka idaga: India, araabia maailma riikide ja Kesk-Aasiaga. Indiaanlastelt jõudsid meieni numbrid, mida me kasutame, null ja positsiooniline numbrisüsteem; al-Kashist (XV sajand), Ulugbek - kümnendmurrud.
Tänu kaubanduse arengule ja idamaise kultuuri mõjule alates XIII sajandist. kasvav huvi aritmeetika vastu Euroopas. Tuleks meeles pidada itaalia teadlase Leonardo Pisa (Fibonacci) nime, kelle teos "Abakuse raamat" tutvustas eurooplastele idamaade matemaatika peamisi saavutusi ning oli paljude aritmeetika ja algebra uuringute algus.
Koos trükikunsti leiutamisega (15. sajandi keskpaik) ilmusid esimesed trükitud matemaatilised raamatud. Esimene trükitud aritmeetikaraamat ilmus Itaalias 1478. aastal. Saksa matemaatiku M. Stiefeli täielik aritmeetika (16. sajandi algus) sisaldab juba negatiivseid arve ja isegi logaritmi võtmise ideed.
Umbes 16. sajandil puhtaritmeetiliste küsimuste väljatöötamine voolas algebra peavoolu, olulise verstapostina võib märkida prantsuse teadlase F. Vieta tööde ilmumist, kus numbrid on tähistatud tähtedega. Sellest ajast alates on aritmeetika põhireeglid algebra seisukohast täielikult mõistetud.
Aritmeetika põhiobjekt on arv. Naturaalarvud, s.o. numbrid 1, 2, 3, 4, ... jne tekkisid konkreetsete üksuste kokkulugemisel. Möödus palju aastatuhandeid, enne kui inimene sai teada, et kaks faasanit, kaks kätt, kaks inimest jne. võib nimetada sama sõna "kaks". Aritmeetika oluline ülesanne on õppida ületama loendatavate objektide nimede spetsiifilist tähendust, olla häiritud nende kujust, suurusest, värvist jne. Aritmeetikas numbreid liidetakse, lahutatakse, korrutatakse ja jagatakse. Nende toimingute kiire ja täpse sooritamise kunsti mis tahes numbritega on pikka aega peetud aritmeetika kõige olulisemaks ülesandeks.Aritmeetilistel tehtetel arvudega on mitmesuguseid omadusi. Neid omadusi saab kirjeldada sõnadega, näiteks: "Summa ei muutu terminite kohtade muutumisest", võib kirjutada tähtedega: a + b \u003d b + a, saab väljendada eriterminites.
Aritmeetika poolt kasutusele võetud oluliste mõistete hulgas tuleks ära märkida proportsioonid ja protsendid. Enamik aritmeetika mõisteid ja meetodeid põhinevad erinevate arvudevaheliste seoste võrdlemisel. Matemaatika ajaloos toimus aritmeetika ja geomeetria liitmise protsess paljude sajandite jooksul.
Sõna "aritmeetika" võib mõista järgmiselt:
õppeaine, mis käsitleb eelkõige ratsionaalarvusid (täisarvud ja murrud), tehteid nendega ning nende abil lahendatavaid probleeme;
osa ajaloolisest matemaatikahoonest, kuhu on kogunenud mitmesugust infot arvutuste kohta;
"teoreetiline aritmeetika" - osa kaasaegsest matemaatikast, mis tegeleb erinevate arvsüsteemide (looduslikud, täisarvud, ratsionaal-, reaal-, kompleksarvud ja nende üldistused) konstrueerimisega;
"formaalne aritmeetika" - matemaatilise loogika osa, mis tegeleb aritmeetika aksiomaatilise teooria analüüsiga;
"kõrgem aritmeetika" ehk arvuteooria, matemaatika iseseisvalt arenev osa Ja
/Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnaraamat, 1989/
Popova L.A. 1
Koshkin I.A. 1
1 Vallaeelarveline õppeasutus "Hariduskeskus - Gümnaasium nr 1"
Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".
Sissejuhatus
Asjakohasus. Peastarvestus kogub nüüd suurt populaarsust. Tänu uutele õpetamismeetoditele õpivad lapsed kiiresti uut teavet, arendavad oma loominguline potentsiaalõppida keerulisi lahendama matemaatika ülesandeid vaimselt, ilma kalkulaatorit kasutamata.
Mentaalne aritmeetika on ainulaadne meetod 4–16-aastaste laste vaimsete võimete arendamiseks, mis põhineb peast loendamise süsteemil. Selle tehnikaga õppides saab laps mõne sekundiga lahendada kõik aritmeetilised ülesanded (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, arvutamine ruutjuur numbrid) vaimselt kiiremini kui kalkulaatorit kasutades.
Töö eesmärk:
Õppige peastarvutamise ajalugu
Näidake, kuidas saate matemaatikaülesannete lahendamisel kasutada aabitsat
Analüüsida, millised muud alternatiivsed arvutusmeetodid lihtsustavad arvutamist ja muudavad selle meelelahutuseks
Hüpotees:
Oletame, et aritmeetika võib olla lõbus ja lihtne, seda saab arvutada palju kiiremini ja produktiivsemalt, kasutades peast arvutamise meetodeid ja erinevaid nippe.
Hiina kontodega klassidel on positiivne mõju mälule, mis kajastub assimilatsioonis õppematerjal. See kehtib luule ja proosa, teoreemide, erinevate matemaatiliste reeglite, võõrsõnade, see tähendab suure hulga teabe päheõppimise kohta.
Uurimismeetodid: Internetiotsing, kirjanduse uurimine, praktiline töö aabitsa valdamisest, näidete lahendamisest aabitsa abil,
Õppe läbiviimise plaan:
Õppida algusest peale aritmeetika ajaloo kirjandust
Tooge välja aabitsal arvutamise põhimõtted
Analüüsida, kuidas peastarvutamise tunnid käivad, ja teha oma tundidest järeldusi
Uurige eeliseid ja analüüsige vaimse konto võimalikke raskusi
Näidake, milliseid muid võimalusi aritmeetikas arvutada
1. peatükk. Aritmeetika arengulugu
Aritmeetika sai alguse Vana-Ida riikidest: Babülonist, Hiinast, Indiast, Egiptusest. Nimi "aritmeetika" pärineb kreeka sõnast "aritmos" - arv.
Aritmeetika uurib numbreid ja arvutehteid, erinevaid reegleid nende käsitlemiseks, õpetab lahendama ülesandeid, mis taanduvad arvude liitmisele, lahutamisele, korrutamisele ja jagamisele.
Aritmeetika tekkimine on seotud inimeste töötegevuse ja ühiskonna arenguga.
Matemaatika tähtsus Igapäevane elu isik. Ilma loendamiseta, ilma oskuseta numbreid õigesti liita, lahutada, korrutada ja jagada, on areng mõeldamatu. inimühiskond. Uurime nelja aritmeetilist tehtet, suulise ja kirjaliku arvutamise reegleid, alustades Põhikool. Kõiki neid reegleid ei leiutanud ega avastanud ükski inimene. Aritmeetika sai alguse inimeste igapäevaelust.
1.1 Esimesed loendusseadmed
Inimesed on pikka aega püüdnud oma kontot erinevate vahendite ja seadmete abil kergendada. Esimene, kõige iidseim "arvutusmasin" olid sõrmed ja varbad. Sellest lihtsast seadmest piisas täiesti – näiteks kogu hõimu tapetud mammutite kokkulugemiseks.
Siis toimus kauplemine. Ja iidsed kaupmehed (Babüloonia ja teised linnad) tegid arvutusi terade, veeriste ja kestade abil, mida nad hakkasid paigutama spetsiaalsele tahvlile, mida nimetatakse aabikaks.
Abakuse analoog iidne Hiina seal oli loendusseade "su-anpan", see on väike piklik kast, mis on piki vaheseintega jagatud ebavõrdseteks osadeks. Üle kasti on oksad, mille külge on nööritud pallid.
Jaapanlased ei jäänud hiinlastest maha ja lõid nende eeskujul 16. sajandil oma loendusseadme – sorobani. See erines Hiina omast selle poolest, et seadme ülemises lahtris oli kummaski üks pall, Hiina versioonis aga kaks.
Vene aabits ilmus Venemaal esmakordselt 16. sajandil. Need olid tahvel, millele oli tõmmatud paralleelsed jooned. Hiljem hakati plaadi asemel kasutama traadi ja luudega raami.
1.2 Abacus
Umbes neljandal sajandil eKr leiutati esimene loendusseade. Selle looja on teadlane Abacus ja seade sai nime tema järgi. See nägi välja selline: saviplaat soontega, millesse asetati numbreid tähistavad kivid. Üks soon oli ühikute ja teine kümnete jaoks.
Sõna "abakus" (abacus) tähendab tulemustabelit.
Vaatame nüüdisaegset aabitsat...
Kontode kasutamise õppimiseks peate teadma, mis need on.
Kontod koosnevad:
eraldusjoon;
ülemised luud;
alumised luud.
Keskel on keskpunkt. Ülemised luud tähistavad viite ja alumised ühed. Iga vertikaalne luuriba, alustades paremalt vasakule, tähistab ühte numbrite numbritest:
kümneid tuhandeid jne.
Näiteks näite edasilükkamiseks: 9 - 4=5, peate nihutama ülemist luu esimesel real paremal (see tähendab viit) ja tõsta 4 alumist luud üles. Seejärel langetage 4 alumist luud. Nii saame vajaliku numbri 5.
Peatükk 2. Mis on peastarvutamine?
peast aritmeetikat on 4–14-aastaste laste vaimsete võimete arendamise meetod. Peastarvutamise aluseks on aabitsaskoor. See tekkis iidses Jaapanis üle 2000 aasta tagasi. Laps loeb kahe käega aabitsale, tehes arvutusi kaks korda kiiremini. Kontodel mitte ainult liita ja lahutada, vaid ka õppida korrutama ja jagama.
mentaliteet - see on inimese vaimne võimekus.
Matemaatikatundides areneb ainult vasak ajupoolkera, mis vastutab loogiline mõtlemine, ja õigust arendavad sellised ained nagu kirjandus, muusika, joonistamine. On olemas spetsiaalsed treeningtehnikad, mis on suunatud mõlema poolkera arendamisele. Teadlaste sõnul saavutavad edu need inimesed, kellel on täielikult välja arenenud mõlemad ajupoolkerad. Paljudel inimestel on vasak poolkera rohkem arenenud ja parem poolkera vähem arenenud.
Eeldatakse, et peastarvutamine võimaldab teil kasutada mõlemat poolkera, tehes erineva keerukusega arvutusi.
Aabitsa kasutamine paneb vasaku ajupoolkera tööle – areneb peenmotoorikat ja võimaldab lapsel loendamise protsessi visuaalselt näha.
Oskusi treenitakse järk-järgult, üleminekul lihtsast keeruliseks. Selle tulemusena saab laps programmi lõpuks kolme- ja neljakohalisi arve vaimselt liita, lahutada, korrutada ja jagada.
Lisaks näidete lahendamisele ilma märkmeid ja mustandeid kasutamata võimaldab peast arvutamine teil:
parandada õppeedukust koolis erinevates õppeainetes;
mitmekesistada matemaatikast muusikani;
õppida võõrkeeli kiiremini;
muutuda proaktiivsemaks ja iseseisvamaks;
arendada juhiomadusi;
ole enesekindel.
kujutlusvõime: edaspidi nõrgeneb seos kontodega, mis võimaldab mõtetes arvutusi teha, kujuteldavate kontodega töötada;
arvu esitust tajutakse mitte objektiivselt, vaid kujundlikult, arvu kujutis moodustub luude kombinatsioonide kujutise kujul;
vaatlus;
kuulmine, meetod aktiivne kuulamine parandab kuulamisoskust;
tähelepanu kontsentratsioon, samuti tähelepanu jaotus suureneb: samaaegne kaasamine mitut tüüpi mõtteprotsessidesse.
Peastarvutamise harjutamine ei ole otsene matemaatiliste oskuste treenimine. Kiirloendamine on vaid mõtlemise kiiruse vahend ja indikaator, kuid mitte eesmärk omaette. Peastarvestuse eesmärk on intellektuaalsete ja loominguliste võimete arendamine ning see tuleb kasuks tulevastele matemaatikutele ja humanitaarteadustele. Siiski tuleb olla valmis selleks, et juba treeningu alguses on vaja piisavalt pingutada, usinust, visadust ja tähelepanelikkust. Arvutustes võib esineda vigu - nii et ärge kiirustage.
Peatükk 3. Tunnid peastarvutamise koolis.
Kogu suulise loendamise arendamise programm on üles ehitatud kahe etapi järjestikusele läbimisele.
Esimesel neist toimub luude abil aritmeetiliste toimingute sooritamise tehnikaga tutvumine ja valdamine, mille käigus on kaasatud korraga kaks kätt. Oma töös kasutab laps aabitsat. See üksus võimaldab tal täiesti vabalt lahutada ja korrutada, liita ja jagada, arvutada ruut- ja kuupjuuri.
Teise etapi läbimisel õpetatakse õpilastele peast loendamist, mida tehakse meeles. Laps lakkab olemast pidevalt aabitsa külge kinni, mis ergutab ka tema kujutlusvõimet. Laste vasak poolkera tajub numbreid ja parem ajupoolkera sõrmenukkide kujutist. See on vaimse loendamise meetodi aluseks. Aju hakkab töötama kujuteldava aabitsaga, tajudes samal ajal numbreid piltide kujul. Matemaatilise arvutuse sooritamine on seotud luude liikumisega.
Peastarvutamises kasutatakse meelde jätmist vajavate arvutuste tegemiseks (lähisugulased, venna abi, sõbra abi jne) üle 20 valemi.
Näiteks vennad peastarvutamises on kaks numbrit, mille liitmine annab viis.
Kokku on 5 venda.
1+4 = 5 vend 1–4 4+1 = 5 vend 4–1
2+3 = 5 vend 2-3 5+0 = 5 vend 5-0
3+2 = 5 vend 3–2
Peastarvutamise sõbrad on kaks numbrit, mis kokku annavad kümme.
Ainult 10 sõpra.
1+9 = 10 Sõber 1-9 6+4 = 10 Sõber 4-6
2+8 = 10 Sõber 2-8 7+3 = 10 Sõber 7-3
3+7 = 10 Sõber 3-7 8+2 = 10 Sõber 8-2
4+6 = 10 Sõber 4-6 9-1 = 10 Sõber 9-1
5+5 = 10 Sõber 5–5
4. peatükk. Minu õpingud peastarvutamises.
Proovitunnis näitas õpetaja meile aabitsat, rääkis lühidalt nende kasutamisest ja loendamise põhimõttest.
Tunnis toimus vaimne soojendus. Ja alati olid pausid, kus saime veidi näksida, vett juua või mänge mängida. Kodus jagati meile alati näidetega lehti, eest iseseisev töö Majad. Samuti treenisin spetsiaalses programmis, kus näidised käivitati - need vilkusid monitoril erineva kiirusega.
Oma koolituse alguses tegin ma:
Tutvuge kontodega. Õppisin õigesti käsi kasutama loendamisel: mõlema käe pöidlaga tõstame sõrmenukke aabitsale, nimetissõrmedega langetame sõrmenukke.
Aja jooksul ma:
Õppisin lugema kaheastmelisi näiteid kümnetega. Kümned asuvad paremalt paremalt teisel nõelal. Kümnetega lugedes kasutame juba vasaku käe pöialt ja nimetissõrme. Siin on tehnika sama, mis parema käega: tõstame suure käega, langetame indeksiga.
3. õppekuul:
Abakuse abil lahendasin ühikute ja kümnenditega lahutamise ja liitmise näiteid - kolmeastmeline.
Lahendage tuhandendikega lahutamise ja liitmise näiteid - kaheastmeline
Edasi:
Õppige tundma mõttekaarti. Kaarti vaadates pidin mõttes sõrmenukke liigutama ja vastust nägema.
Tegin 4 kuud iseseisvalt trenni 2 tundi nädalas ja 5-10 minutit päevas.
|
Esimene kuu koolitust |
neljas kuu |
|
1. Arvestan aabitsale 1 lehe (30 näidet 3 terminist) |
|
|
2. Loen mõttes 30 näidet (igaüks 5-7 terminit) |
|
|
3. Ma õpin luuletust (3. nelikvärss) |
|
|
4. Täitmine kodutöö(matemaatika: üks ülesanne, 10 näidet) |
|
|
Arvud tekkisid loendamise ja mõõtmise vajadusest ning on läbinud pika ajaloolise arengutee. Oli aeg, mil inimesed ei osanud lugeda. Lõplike hulkade võrdlemiseks kehtestati nende hulkade vahel üks-ühele vastavus või ühe hulga ja teise hulga alamhulga vahel, s.t. selles etapis tajus inimene objektide arvu neid ümber arvutamata. Näiteks kahest objektist koosneva rühma suuruse kohta võiks ta öelda: "Sama palju käsi on inimesel", viie eseme komplekti kohta - "nii palju, kui käel on sõrmi." Selle meetodi puhul pidid võrreldavad komplektid olema üheaegselt nähtavad. Väga pika arenguperioodi tulemusena jõudis inimene naturaalarvude loomise järgmisse etappi – hulkade võrdlemiseks hakati kasutama vahehulka: väikseid kivikesi, kestasid, sõrmi. Need vahekomplektid esindasid juba kontseptsiooni alge naturaalarv, kuigi selles etapis ei olnud numbrit loendatud objektidest eraldatud: see oli näiteks umbes viis kivi, viis sõrme ja mitte üldiselt arv "viis". Vahehulkade nimesid hakati kasutama selleks, et määrata kindlaks, kui palju kogumeid nendega võrreldi. Nii tähistati mõne hõimu seas viiest elemendist koosneva komplekti numbrit sõnaga "käsi" ja 20 elemendist koosneva komplekti numbrit sõnadega "terve inimene". Alles pärast seda, kui inimene on õppinud vahekomplektidega opereerima, on ta kindlaks teinud selle tavalise asja, mis eksisteerib näiteks viie sõrme ja viie õuna vahel, s.t. kui vahehulkade elementide olemusest abstraheeriti, tekkis naturaalarvu idee. Selles etapis ei olnud näiteks õunte loendamisel loetletud “üks õun”, “kaks õuna” jne, vaid hääldati sõnu “üks”, “kaks” jne. See oli verstapost arvu mõiste väljatöötamisel. Ajaloolased usuvad, et see juhtus kiviajal, ürgse kommunaalsüsteemi ajastul, umbes 10-5 aastatuhandel eKr. Aja jooksul õppisid inimesed mitte ainult numbreid nimetama, vaid ka neid tähistama ja nendega toiminguid tegema. Üldiselt ei tekkinud arvude loomulik jada kohe, selle kujunemise ajalugu on pikk. Skoori säilitamisel kasutatud numbrite varu suurenes järk-järgult. Tasapisi arenes välja ka naturaalarvude hulga lõpmatuse mõiste. Niisiis näitas Vana-Kreeka matemaatik Archimedes (III sajand eKr) teoses “Psammit” - liivaterade arvutus, et arvude seeriat saab lõputult jätkata, ning kirjeldas meetodit meelevaldselt suurte vormide moodustamiseks ja sõnaliseks määramiseks. numbrid. Naturaalarvu mõiste tekkimine oli matemaatika arengu olulisim hetk. Neid numbreid sai võimalik uurida nendest sõltumata. konkreetsed ülesanded, millega seoses need tekkisid. Teoreetilist teadust, mis hakkas uurima numbreid ja nendega tehteid, nimetati "aritmeetikaks". Sõna "aritmeetika" pärineb kreeka keelest aritmos, mida tähendab "number"? Seetõttu on aritmeetika arvude teadus. Aritmeetika sai alguse Vana-Ida riikidest: Babülonist. Hiina. India ja Egiptus. Nendes riikides kogutud matemaatilisi teadmisi arendasid ja jätkasid Vana-Kreeka teadlased. Keskajal andsid aritmeetika arengusse suure panuse India, araabia maailma ja Kesk-Aasia maade matemaatikud ning alates 13. sajandist Euroopa teadlased. Mõistet "looduslik arv" kasutati esmakordselt 5. sajandil. Rooma teadlane A. Boethius, kes on tuntud mineviku kuulsate matemaatikute tööde tõlkijana ladina keel ja raamatu "Sissejuhatus aritmeetikasse" autorina, mis kuni 16. sajandini oli eeskujuks kogu Euroopa matemaatikale. 19. sajandi teisel poolel said naturaalarvud kõige aluseks matemaatikateadus, mille seisundist sõltus kogu matemaatikahoone tugevus. Sellega seoses tekkis vajadus naturaalarvu mõiste range loogilise põhjendamise järele, sellega seonduva süstematiseerimiseks. Kuna 19. sajandi matemaatika pöördus oma teooriate aksiomaatilise konstrueerimise poole, töötati välja naturaalarvu aksiomaatiline teooria. 19. sajandil loodud hulgateoorial oli suur mõju ka naturaalarvu olemuse uurimisele. Loomulikult on loodud teooriates naturaalarvude ja nendega seotud toimingute mõisted muutunud abstraktsemaks, kuid see käib alati kaasas üksikute faktide üldistamise ja süstematiseerimise protsessiga. § 14. LOODUSLIKKUDE SÜSTEEMI AKSIOMAATNE KONSTRUKTSIOON Nagu juba mainitud, saadakse naturaalarvud objektide loendamise ja suuruste mõõtmise teel. Kuid kui mõõtmise ajal ilmuvad naturaalarvudest erinevad arvud, siis arvutatakse ainult naturaalarvud. Loenduse hoidmiseks vajate numbrijada, mis algab ühega ja võimaldab Võib-olla olete huvitatud | |
