V pokračování tématu „Řešení rovnic“ vám materiál v tomto článku představí kvadratické rovnice.

Podívejme se na vše podrobně: podstatu a záznam kvadratické rovnice, definujme související pojmy, rozebereme schéma řešení neúplných a kompletní rovnice, seznámíme se se vzorcem odmocnin a diskriminantu, navážeme souvislosti mezi kořeny a koeficienty a praktické příklady samozřejmě názorně vyřešíme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnice, její typy

Definice 1

Kvadratická rovnice je rovnice napsaná jako a x 2 + b x + c = 0, Kde X– proměnná, a , b a C– některá čísla, zatímco A není nula.

Často se kvadratické rovnice také nazývají rovnicemi druhého stupně, protože kvadratická rovnice je v podstatě algebraická rovnice druhého stupně.

Pro ilustraci dané definice uveďme příklad: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atd. Jsou to kvadratické rovnice.

Definice 2

Čísla a, b a C jsou koeficienty kvadratické rovnice a x 2 + b x + c = 0, zatímco koeficient A se nazývá první, nebo vyšší, nebo koeficient při x 2, b - druhý koeficient, nebo koeficient při X, A C nazvaný volný člen.

Například v kvadratické rovnici 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vedoucí koeficient je 6, druhý koeficient je − 2 , a volný termín se rovná − 11 . Věnujme pozornost tomu, že když koeficienty b a/nebo c jsou záporné, pak se použije krátká forma formuláře 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ale ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ujasněme si také tento aspekt: ​​pokud koeficienty A a/nebo b rovnat se 1 nebo − 1 , pak se nesmí explicitně podílet na psaní kvadratické rovnice, což je vysvětleno zvláštnostmi psaní uvedených číselných koeficientů. Například v kvadratické rovnici y 2 − y + 7 = 0 vedoucí koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Na základě hodnoty prvního koeficientu se kvadratické rovnice dělí na redukované a neredukované.

Definice 3

Redukovaná kvadratická rovnice je kvadratická rovnice, kde vedoucí koeficient je 1. Pro ostatní hodnoty vedoucího koeficientu je kvadratická rovnice neredukovaná.

Uveďme příklady: kvadratické rovnice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 jsou redukovány, v každé z nich je vedoucí koeficient 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnice, kde první koeficient je odlišný od 1 .

Jakákoli neredukovaná kvadratická rovnice může být převedena na redukovanou rovnici vydělením obou stran prvním koeficientem (ekvivalentní transformace). Transformovaná rovnice bude mít stejné kořeny jako daná neredukovaná rovnice nebo také nebude mít žádné kořeny.

Ohleduplnost konkrétní příklad nám umožní názorně demonstrovat přechod z neredukované kvadratické rovnice na redukovanou.

Příklad 1

Je dána rovnice 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Původní rovnici je nutné převést do redukovaného tvaru.

Řešení

Podle výše uvedeného schématu vydělíme obě strany původní rovnice vodícím koeficientem 6. Pak dostaneme: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, a to je stejné jako: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 a dál: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odtud: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Získá se tedy rovnice ekvivalentní dané rovnici.

Odpovědět: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Pojďme k definici kvadratické rovnice. V něm jsme to upřesnili a ≠ 0. Podobná podmínka je nutná pro rovnici a x 2 + b x + c = 0 byl přesně čtvercový, protože v a = 0 v podstatě se proměňuje v lineární rovnice b x + c = 0.

V případě, kdy koeficienty b A C jsou rovny nule (což je možné, jednotlivě i společně), kvadratická rovnice se nazývá neúplná.

Definice 4

Neúplná kvadratická rovnice- taková kvadratická rovnice a x 2 + b x + c = 0, kde je alespoň jeden z koeficientů b A C(nebo obojí) je nula.

Kompletní kvadratická rovnice– kvadratická rovnice, ve které se všechny číselné koeficienty nerovnají nule.

Pojďme spekulovat, proč typy kvadratické rovnice Toto jsou uvedená jména.

Když b = 0, kvadratická rovnice má tvar a x 2 + 0 x + c = 0, což je stejné jako a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratická rovnice se zapisuje jako a x 2 + b x + 0 = 0, což je ekvivalentní a x 2 + b x = 0. Na b = 0 A c = 0 rovnice bude mít tvar a x 2 = 0. Rovnice, které jsme získali, se liší od úplné kvadratické rovnice tím, že jejich levé strany neobsahují ani člen s proměnnou x, ani volný člen, ani obojí. Tato skutečnost dala tomuto typu rovnice jméno – neúplná.

Například x 2 + 3 x + 4 = 0 a − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 jsou úplné kvadratické rovnice; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – neúplné kvadratické rovnice.

Řešení neúplných kvadratických rovnic

Výše uvedená definice umožňuje rozlišit následující typy neúplných kvadratických rovnic:

• a x 2 = 0, tato rovnice odpovídá koeficientům b = 0 a c = 0;
• a x 2 + c = 0 při b = 0;
• a x 2 + b x x = 0 při c = 0.

Uvažujme postupně řešení každého typu neúplné kvadratické rovnice.

Řešení rovnice a x 2 =0

Jak bylo uvedeno výše, tato rovnice odpovídá koeficientům b A C, rovno nule. Rovnice a x 2 = 0 lze převést na ekvivalentní rovnici x 2 = 0, kterou získáme vydělením obou stran původní rovnice číslem A, nerovná se nule. Zřejmým faktem je, že kořen rovnice x 2 = 0 to je nula, protože 0 2 = 0 . Tato rovnice nemá žádné další kořeny, což lze vysvětlit vlastnostmi stupně: pro libovolné číslo p, nerovná se nule, nerovnost je pravdivá p 2 > 0, z čehož vyplývá, že kdy p ≠ 0 rovnost p2 = 0 nebude nikdy dosaženo.

Definice 5

Pro neúplnou kvadratickou rovnici a x 2 = 0 tedy existuje jedinečný kořen x = 0.

Příklad 2

Řešme například neúplnou kvadratickou rovnici − 3 x 2 = 0. Je ekvivalentní rovnici x 2 = 0, jeho jediným kořenem je x = 0, pak má původní rovnice jediný kořen - nulu.

Stručně řečeno, řešení je napsáno takto:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Řešení rovnice a x 2 + c = 0

Další na řadě je řešení neúplných kvadratických rovnic, kde b = 0, c ≠ 0, tedy rovnice tvaru a x 2 + c = 0. Transformujme tuto rovnici tak, že přesuneme člen z jedné strany rovnice na druhou, změníme znaménko na opačné a vydělíme obě strany rovnice číslem, které se nerovná nule:

• převod C na pravou stranu, což dává rovnici a x 2 = − c;
• vydělte obě strany rovnice A, skončíme s x = - c a .

Naše transformace jsou ekvivalentní, tedy i výsledná rovnice je ekvivalentní té původní a tato skutečnost umožňuje vyvozovat závěry o kořenech rovnice. Z toho, jaké jsou hodnoty A A C hodnota výrazu - c a závisí: může mít znaménko mínus (například if a = 1 A c = 2, pak - c a = - 2 1 = - 2) nebo znaménko plus (například pokud a = - 2 A c = 6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); není to nula, protože c ≠ 0. Zastavme se podrobněji u situací, kdy - c a< 0 и - c a > 0 .

V případě, kdy - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnost p 2 = - c a nemůže být pravdivá.

Všechno je jinak, když - c a > 0: zapamatujte si druhou odmocninu a bude zřejmé, že kořenem rovnice x 2 = - c a bude číslo - c a, protože - c a 2 = - c a. Není těžké pochopit, že číslo - - c a je také kořenem rovnice x 2 = - c a: skutečně - - c a 2 = - c a.

Rovnice nebude mít žádné další kořeny. Můžeme to demonstrovat pomocí metody kontradikce. Pro začátek si definujme označení pro kořeny nalezené výše jako x 1 A − x 1. Předpokládejme, že rovnice x 2 = - c a má také kořen x 2, která se liší od kořenů x 1 A − x 1. Poznáme to dosazením do rovnice X její kořeny, transformujeme rovnici na spravedlivou číselnou rovnost.

Pro x 1 A − x 1 píšeme: x 1 2 = - c a , a pro x 2- x 2 2 = - c a . Na základě vlastností číselných rovností odečteme jeden správný člen rovnosti po členu od druhého, čímž získáme: x 1 2 − x 2 2 = 0. Pomocí vlastností operací s čísly přepíšeme poslední rovnost jako (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Je známo, že součin dvou čísel je nula právě tehdy, když je alespoň jedno z čísel nulové. Z výše uvedeného vyplývá, že x 1 − x 2 = 0 a/nebo x 1 + x 2 = 0, což je stejné x 2 = x 1 a/nebo x 2 = − x 1. Vznikl zřejmý rozpor, protože nejprve bylo dohodnuto, že kořen rovnice x 2 se liší od x 1 A − x 1. Takže jsme dokázali, že rovnice nemá jiné kořeny než x = - ca a x = - - c a.

Shrňme všechny výše uvedené argumenty.

Definice 6

Neúplná kvadratická rovnice a x 2 + c = 0 je ekvivalentní rovnici x 2 = - c a, která:

• nebude mít žádné kořeny v - c a< 0 ;
• bude mít dva kořeny x = - ca a x = - - c a pro - c a > 0.

Uveďme příklady řešení rovnic a x 2 + c = 0.

Příklad 3

Je dána kvadratická rovnice 9 x 2 + 7 = 0. Je potřeba najít řešení.

Řešení

Přesuňme volný člen na pravou stranu rovnice, rovnice pak bude mít tvar 9 x 2 = - 7.
Vydělme obě strany výsledné rovnice 9 , dojdeme k x 2 = - 7 9 . Na pravé straně vidíme číslo se znaménkem mínus, což znamená: y daná rovnicežádné kořeny. Pak původní neúplná kvadratická rovnice 9 x 2 + 7 = 0 nebude mít kořeny.

Odpovědět: rovnice 9 x 2 + 7 = 0 nemá kořeny.

Příklad 4

Rovnici je třeba vyřešit − x 2 + 36 = 0.

Řešení

Přesuňme 36 na pravou stranu: − x 2 = − 36.
Rozdělme obě části podle − 1 , dostaneme x 2 = 36. Na pravé straně je kladné číslo, ze kterého můžeme usuzovat x = 36 nebo x = -36.
Vyjmime kořen a zapišme si konečný výsledek: neúplná kvadratická rovnice − x 2 + 36 = 0 má dva kořeny x=6 nebo x = − 6.

Odpovědět: x=6 nebo x = − 6.

Řešení rovnice a x 2 +b x=0

Pojďme analyzovat třetí typ neúplných kvadratických rovnic, kdy c = 0. Najít řešení neúplné kvadratické rovnice a x 2 + b x = 0, použijeme metodu faktorizace. Rozložme na faktor polynom, který je na levé straně rovnice, přičemž společný faktor vyjmeme ze závorek X. Tento krok umožní transformovat původní neúplnou kvadratickou rovnici na její ekvivalent x (a x + b) = 0. A tato rovnice je zase ekvivalentní soustavě rovnic x = 0 A a x + b = 0. Rovnice a x + b = 0 lineární a jeho kořen: x = − b a.

Definice 7

Tedy neúplná kvadratická rovnice a x 2 + b x = 0 bude mít dva kořeny x = 0 A x = − b a.

Zpevněme materiál příkladem.

Příklad 5

Je třeba najít řešení rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Řešení

Vyndáme to X mimo závorky dostaneme rovnici x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Tato rovnice je ekvivalentní rovnicím x = 0 a 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nyní byste měli vyřešit výslednou lineární rovnici: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Krátce zapište řešení rovnice takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 nebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 nebo x = 3 3 7

Odpovědět: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

K nalezení řešení kvadratických rovnic existuje kořenový vzorec:

Definice 8

x = - b ± D 2 · a, kde D = b 2 − 4 a c– tzv. diskriminant kvadratické rovnice.

Zápis x = - b ± D 2 · a v podstatě znamená, že x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bylo by užitečné pochopit, jak byl tento vzorec odvozen a jak jej použít.

Odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice

Postavíme se před úkol vyřešit kvadratickou rovnici a x 2 + b x + c = 0. Proveďme několik ekvivalentních transformací:

• vydělte obě strany rovnice číslem A, odlišné od nuly, dostaneme následující kvadratickou rovnici: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• zvýrazněme dokonalý čtverec na levé straně výsledné rovnice:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Poté bude rovnice mít tvar: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nyní je možné přenést poslední dva členy na pravou stranu a změnit znaménko na opačné, po čemž dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Nakonec transformujeme výraz napsaný na pravé straně poslední rovnosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dostáváme se tedy k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentní původní rovnici a x 2 + b x + c = 0.

Řešení takových rovnic jsme zkoumali v předchozích odstavcích (řešení neúplných kvadratických rovnic). Již získané zkušenosti umožňují učinit závěr ohledně kořenů rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• když b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, rovnice je x + b 2 · a 2 = 0, pak x + b 2 · a = 0.

Odtud je zřejmý jediný kořen x = - b 2 · a;

• pro b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 bude platit následující: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 nebo x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , což je stejné jako x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 nebo x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, tzn. rovnice má dva kořeny.

Je možné usoudit, že přítomnost či nepřítomnost kořenů rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a tedy původní rovnice) závisí na znaménku výrazu b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napsáno na pravé straně. A znaménko tohoto výrazu je dáno znaménkem čitatele, (jmenovatel 4 a 2 bude vždy kladný), tedy znak výrazu b 2 − 4 a c. Tento výraz b 2 − 4 a c je uveden název - diskriminant kvadratické rovnice a písmeno D je definováno jako její označení. Zde si můžete zapsat podstatu diskriminantu - na základě jeho hodnoty a znaménka mohou usoudit, zda kvadratická rovnice bude mít reálné kořeny, a pokud ano, jaký je počet kořenů - jeden nebo dva.

Vraťme se k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Přepišme to pomocí diskriminačního zápisu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Znovu zformulujme naše závěry:

Definice 9

• na D< 0 rovnice nemá žádné skutečné kořeny;
• na D=0 rovnice má jediný kořen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 rovnice má dva kořeny: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 nebo x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na základě vlastností radikálů lze tyto kořeny zapsat ve tvaru: x = - b 2 · a + D 2 · a nebo - b 2 · a - D 2 · a. A když otevřeme moduly a přivedeme zlomky ke společnému jmenovateli, dostaneme: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Takže výsledkem naší úvahy bylo odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D vypočítané podle vzorce D = b 2 − 4 a c.

Tyto vzorce umožňují určit oba reálné kořeny, když je diskriminant větší než nula. Když je diskriminant nulový, aplikace obou vzorců dá stejný kořen jako jediné řešení kvadratické rovnice. V případě, že je diskriminant záporný, pokusíme-li se použít vzorec pro kořen kvadratické rovnice, budeme čelit potřebě extrahovat Odmocnina ze záporného čísla, což nás zavede za reálná čísla. S negativním diskriminantem nebude mít kvadratická rovnice skutečné kořeny, ale je možný pár komplexně sdružených kořenů, určených stejnými kořenovými vzorci, které jsme získali.

Algoritmus pro řešení kvadratických rovnic pomocí kořenových vzorců

Je možné vyřešit kvadratickou rovnici okamžitým použitím kořenového vzorce, ale obecně se to dělá, když je nutné najít komplexní kořeny.

Ve většině případů to obvykle znamená hledání nikoli komplexních, ale skutečných kořenů kvadratické rovnice. Pak je optimální před použitím vzorců pro kořeny kvadratické rovnice nejprve určit diskriminant a ujistit se, že není záporný (jinak dojde k závěru, že rovnice nemá žádné skutečné kořeny), a poté přistoupit k výpočtu hodnotu kořenů.

Výše uvedené úvahy umožňují formulovat algoritmus pro řešení kvadratické rovnice.

Definice 10

Řešení kvadratické rovnice a x 2 + b x + c = 0, nutné:

• podle vzorce D = b 2 − 4 a c najít diskriminační hodnotu;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pro D = 0 najděte jediný kořen rovnice pomocí vzorce x = - b 2 · a ;
• pro D > 0 určete dva reálné kořeny kvadratické rovnice pomocí vzorce x = - b ± D 2 · a.

Všimněte si, že když je diskriminant nulový, můžete použít vzorec x = - b ± D 2 · a, dá to stejný výsledek jako vzorec x = - b 2 · a.

Podívejme se na příklady.

Příklady řešení kvadratických rovnic

Uveďme řešení příkladů pro různé významy diskriminační.

Příklad 6

Musíme najít kořeny rovnice x 2 + 2 x − 6 = 0.

Řešení

Zapišme si číselné koeficienty kvadratické rovnice: a = 1, b = 2 a c = − 6. Dále postupujeme podle algoritmu, tzn. Začněme počítat diskriminant, za který dosadíme koeficienty a,b A C do diskriminačního vzorce: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dostaneme tedy D > 0, což znamená, že původní rovnice bude mít dva reálné kořeny.
K jejich nalezení použijeme kořenový vzorec x = - b ± D 2 · a a dosazením odpovídajících hodnot dostaneme: x = - 2 ± 28 2 · 1. Zjednodušme výsledný výraz tím, že vyjmeme faktor z kořenového znaménka a pak zlomek zmenšíme:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 nebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 nebo x = - 1 - 7

Odpovědět: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Příklad 7

Je potřeba vyřešit kvadratickou rovnici − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Řešení

Definujme diskriminant: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. S touto hodnotou diskriminantu bude mít původní rovnice pouze jeden kořen, určený vzorcem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odpovědět: x = 3,5.

Příklad 8

Rovnici je třeba vyřešit 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Řešení

Číselné koeficienty této rovnice budou: a = 5, b = 6 a c = 2. K nalezení diskriminantu použijeme tyto hodnoty: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Vypočtený diskriminant je záporný, takže původní kvadratická rovnice nemá žádné skutečné kořeny.

V případě, že je úkolem označit komplexní kořeny, použijeme kořenový vzorec a provedeme akce s komplexními čísly:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 nebo x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i nebo x = - 3 5 - 1 5 · i.

Odpovědět: neexistují žádné skutečné kořeny; komplexní kořeny jsou následující: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Ve školních osnovách není standardní požadavek na hledání komplexních kořenů, proto, pokud je v průběhu řešení diskriminant určen jako záporný, je okamžitě zapsána odpověď, že žádné skutečné kořeny neexistují.

Kořenový vzorec pro sudé sekundové koeficienty

Kořenový vzorec x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) umožňuje získat jiný vzorec, kompaktnější, umožňující najít řešení kvadratických rovnic se sudým koeficientem pro x ( nebo s koeficientem ve tvaru 2 · n, například 2 3 nebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážeme si, jak je tento vzorec odvozen.

Stojíme před úkolem najít řešení kvadratické rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postupujeme podle algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) a poté použijeme kořenový vzorec:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Označme výraz n 2 − a · c jako D 1 (někdy se označuje D "). Pak vzorec pro kořeny uvažované kvadratické rovnice s druhým koeficientem 2 · n bude mít tvar:

x = - n ± D 1 a, kde D 1 = n 2 − a · c.

Je snadné vidět, že D = 4 · D 1 nebo D 1 = D 4. Jinými slovy, D 1 je čtvrtina diskriminantu. Je zřejmé, že znaménko D 1 je stejné jako znaménko D, což znamená, že znaménko D 1 může také sloužit jako indikátor přítomnosti nebo nepřítomnosti kořenů kvadratické rovnice.

Definice 11

K nalezení řešení kvadratické rovnice s druhým koeficientem 2 n je tedy nutné:

• najděte D 1 = n 2 − a · c ;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• když D 1 = 0, určete jediný kořen rovnice pomocí vzorce x = - n a;
• pro D 1 > 0 určete dva reálné kořeny pomocí vzorce x = - n ± D 1 a.

Příklad 9

Je třeba vyřešit kvadratickou rovnici 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Řešení

Druhý koeficient dané rovnice můžeme reprezentovat jako 2 · (− 3) . Poté danou kvadratickou rovnici přepíšeme jako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kde a = 5, n = − 3 a c = − 32.

Vypočítejme čtvrtou část diskriminantu: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Výsledná hodnota je kladná, což znamená, že rovnice má dva reálné kořeny. Pojďme je určit pomocí odpovídajícího kořenového vzorce:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 nebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 nebo x = - 2

Bylo by možné provádět výpočty pomocí obvyklého vzorce pro kořeny kvadratické rovnice, ale v tomto případě by bylo řešení těžkopádnější.

Odpovědět: x = 3 1 5 nebo x = - 2 .

Zjednodušení tvaru kvadratických rovnic

Někdy je možné optimalizovat tvar původní rovnice, což zjednoduší proces výpočtu kořenů.

Například kvadratická rovnice 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je jednoznačně vhodnější k řešení než 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Častěji se zjednodušení tvaru kvadratické rovnice provádí vynásobením nebo dělením jejích obou stran určitým číslem. Například výše jsme ukázali zjednodušenou reprezentaci rovnice 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, získanou vydělením obou stran 100.

Taková transformace je možná, když koeficienty kvadratické rovnice nejsou prvočísla. Pak obvykle dělíme obě strany rovnice největší společný dělitel absolutní hodnoty jeho koeficientů.

Jako příklad použijeme kvadratickou rovnici 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Určíme GCD absolutních hodnot jeho koeficientů: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vydělme obě strany původní kvadratické rovnice 6 a dostaneme ekvivalentní kvadratickou rovnici 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Vynásobením obou stran kvadratické rovnice se obvykle zbavíte zlomkových koeficientů. V tomto případě se násobí nejmenším společným násobkem jmenovatelů jeho koeficientů. Pokud je například každá část kvadratické rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 vynásobena LCM (6, 3, 1) = 6, bude zapsána v jednodušším tvaru x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Nakonec si všimneme, že mínus na prvním koeficientu kvadratické rovnice se téměř vždy zbavíme změnou znamének každého členu rovnice, čehož dosáhneme vynásobením (nebo dělením) obou stran − 1. Například z kvadratické rovnice − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 lze přejít na její zjednodušenou verzi 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Vztah mezi kořeny a koeficienty

Nám již známý vzorec pro kořeny kvadratických rovnic x = - b ± D 2 · a vyjadřuje kořeny rovnice prostřednictvím jejích číselných koeficientů. Spoléhat se na tento vzorec, máme možnost specifikovat další závislosti mezi kořeny a koeficienty.

Nejznámější a nejpoužitelnější vzorce jsou Vietův teorém:

x 1 + x 2 = - ba a x 2 = c a.

Konkrétně pro danou kvadratickou rovnici je součet kořenů druhý koeficient s opačným znaménkem a součin kořenů je roven volnému členu. Například při pohledu na tvar kvadratické rovnice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 je možné okamžitě určit, že součet jejích kořenů je 7 3 a součin kořenů je 22 3.

Mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice lze nalézt i řadu dalších souvislostí. Například součet druhých mocnin kořenů kvadratické rovnice lze vyjádřit pomocí koeficientů:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

V moderní společnost schopnost provádět operace s rovnicemi obsahujícími proměnnou druhou mocninu může být užitečná v mnoha oblastech činnosti a je široce používána v praxi ve vědeckém a technickém rozvoji. Důkazem toho mohou být konstrukce námořních a říčních plavidel, letadel a raket. Pomocí takových výpočtů se určují trajektorie pohybu široké škály těles, včetně vesmírných objektů. Příklady s řešením kvadratických rovnic se používají nejen v ekonomickém předpovídání, při projektování a výstavbě budov, ale i v nejběžnějších každodenních podmínkách. Mohou být potřeba na pěších výletech, na sportovních akcích, v obchodech při nákupech a v dalších velmi běžných situacích.

Rozdělme výraz na jeho dílčí faktory

Stupeň rovnice je určen maximální hodnotou stupně proměnné, kterou výraz obsahuje. Pokud se rovná 2, pak se taková rovnice nazývá kvadratická.

Pokud mluvíme jazykem vzorců, pak naznačené výrazy, ať vypadají jakkoliv, lze vždy uvést do podoby, kdy levá strana výrazu sestává ze tří pojmů. Mezi nimi: ax 2 (tj. proměnná na druhou se svým koeficientem), bx (neznámá bez druhé mocniny se svým koeficientem) a c (volná složka, tzn. běžné číslo). To vše na pravé straně je rovno 0. V případě, že takový polynom postrádá jeden ze členů, s výjimkou ax 2, nazývá se neúplnou kvadratickou rovnicí. Nejprve je třeba zvážit příklady s řešením takových problémů, hodnoty proměnných, ve kterých lze snadno najít.

Pokud výraz vypadá, že má na pravé straně dva členy, přesněji ax 2 a bx, nejjednodušší způsob, jak najít x, je dát proměnnou ze závorek. Nyní bude naše rovnice vypadat takto: x(ax+b). Dále je zřejmé, že buď x=0, nebo problém spočívá v nalezení proměnné z následujícího výrazu: ax+b=0. To je dáno jednou z vlastností násobení. Pravidlo říká, že součin dvou faktorů má za následek 0 pouze v případě, že jeden z nich je nula.

Příklad

x=0 nebo 8x - 3 = 0

Výsledkem jsou dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohoto druhu mohou popisovat pohyb těles pod vlivem gravitace, která se začala pohybovat od určitého bodu braného jako počátek souřadnic. Zde má matematický zápis následující tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Dosazením potřebných hodnot, přirovnáním pravé strany k 0 a nalezením možných neznámých můžete zjistit čas, který uplyne od okamžiku, kdy se těleso zvedne do okamžiku jeho pádu, stejně jako mnoho dalších veličin. Ale o tom si povíme později.

Faktorizace výrazu

Výše popsané pravidlo umožňuje řešit tyto problémy více těžké případy. Podívejme se na příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tento kvadratický trinom je kompletní. Nejprve transformujme výraz a rozložme jej. Jsou dva: (x-8) a (x-25) = 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.

Příklady s řešením kvadratických rovnic v 9. ročníku umožňují touto metodou najít proměnnou ve výrazech nejen druhého, ale dokonce i třetího a čtvrtého řádu.

Například: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Při rozkladu pravé strany na faktory s proměnnou jsou tři z nich, tedy (x+1), (x-3) a (x+ 3).

V důsledku toho je zřejmé, že tato rovnice má tři kořeny: -3; -1; 3.

Odmocnina

Dalším případem neúplné rovnice druhého řádu je výraz reprezentovaný v řeči písmen tak, že pravá strana je sestrojena ze složek ax 2 a c. Zde se pro získání hodnoty proměnné přenese volný člen na pravou stranu a poté se z obou stran rovnosti extrahuje druhá odmocnina. Je třeba poznamenat, že v tomto případě jsou obvykle dva kořeny rovnice. Jedinou výjimkou mohou být rovnosti, které vůbec neobsahují člen s, kde se proměnná rovná nule, a také varianty výrazů, kdy se pravá strana ukáže jako záporná. V druhém případě neexistují vůbec žádná řešení, protože výše uvedené akce nelze provést s kořeny. Je třeba zvážit příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.

V tomto případě budou kořeny rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet výměry pozemku

Potřeba tohoto druhu výpočtů se objevila ve starověku, protože vývoj matematiky v těchto vzdálených dobách byl do značné míry určován potřebou určit s největší přesností plochy a obvody pozemků.

Měli bychom také zvážit příklady řešení kvadratických rovnic založených na problémech tohoto druhu.

Řekněme tedy, že existuje obdélníkový pozemek, jehož délka je o 16 metrů větší než šířka. Délku, šířku a obvod pozemku byste měli zjistit, pokud víte, že jeho plocha je 612 m2.

Chcete-li začít, nejprve vytvořte potřebnou rovnici. Označme x šířku oblasti, její délka pak bude (x+16). Z napsaného vyplývá, že plocha je určena výrazem x(x+16), což je podle podmínek naší úlohy 612. To znamená, že x(x+16) = 612.

Řešení úplných kvadratických rovnic, a tento výraz je přesně to, nelze provést stejným způsobem. Proč? Přestože levá strana stále obsahuje dva faktory, jejich součin se vůbec nerovná 0, takže se zde používají různé metody.

Diskriminační

Nejprve udělejme potřebné transformace vzhled tohoto výrazu bude vypadat takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že jsme obdrželi výraz ve tvaru odpovídajícím dříve specifikovanému standardu, kde a=1, b=16, c=-612.

To by mohl být příklad řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu. Tady potřebné výpočty se vyrábějí podle schématu: D = b 2 - 4ac. Tato pomocná veličina nejenže umožňuje najít požadované veličiny v rovnici druhého řádu, ale určuje počet možných možností. Pokud D>0, jsou dva; pro D=0 je jeden kořen. V případě D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O kořenech a jejich vzorcích

V našem případě je diskriminant roven: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpověď. Pokud znáte k, řešení kvadratických rovnic musí pokračovat pomocí vzorce níže. Umožňuje vypočítat kořeny.

To znamená, že v prezentovaném případě: x 1 =18, x 2 =-34. Druhá možnost v tomto dilematu nemůže být řešením, protože rozměry pozemku nelze měřit v záporných veličinách, což znamená x (tj. šířka pozemku) je 18 m. Odtud vypočítáme délku: 18 +16=34 a obvod 2(34+18)=104(m2).

Příklady a úkoly

Pokračujeme ve studiu kvadratických rovnic. Příklady a podrobná řešení několika z nich budou uvedeny níže.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Přesuneme vše na levou stranu rovnosti, provedeme transformaci, to znamená, že dostaneme typ rovnice, který se obvykle nazývá standardní, a srovnáme ji s nulou.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sečtením podobných určíme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znamená, že naše rovnice bude mít dva kořeny. Vypočítejme je podle výše uvedeného vzorce, což znamená, že první z nich se bude rovnat 4/3 a druhý 1.

2) Nyní pojďme řešit záhady jiného druhu.

Pojďme zjistit, zda zde existují nějaké kořeny x 2 - 4x + 5 = 1? Abychom získali vyčerpávající odpověď, zredukujme polynom na odpovídající obvyklý tvar a vypočítejme diskriminant. Ve výše uvedeném příkladu není nutné řešit kvadratickou rovnici, protože to vůbec není podstatou problému. V tomto případě D = 16 - 20 = -4, což znamená, že ve skutečnosti neexistují žádné kořeny.

Vietova věta

Je vhodné řešit kvadratické rovnice pomocí výše uvedených vzorců a diskriminantu, kdy se druhá odmocnina bere z hodnoty diskriminantu. To se ale nestává vždy. V tomto případě však existuje mnoho způsobů, jak získat hodnoty proměnných. Příklad: řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty. Je pojmenována po tom, kdo žil v 16. století ve Francii a udělal skvělou kariéru díky svému matematickému talentu a konexím u dvora. Jeho portrét je k vidění v článku.

Vzor, kterého si slavný Francouz všiml, byl následující. Dokázal, že kořeny rovnice se numericky sčítají na -p=b/a a jejich součin odpovídá q=c/a.

Nyní se podíváme na konkrétní úkoly.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pro zjednodušení výraz transformujme:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Použijme Vietovu větu, to nám dá následující: součet kořenů je -7 a jejich součin je -18. Odtud dostaneme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po kontrole se ujistíme, že tyto hodnoty proměnných skutečně zapadají do výrazu.

Parabolový graf a rovnice

Pojmy kvadratická funkce a kvadratické rovnice spolu úzce souvisí. Příklady toho již byly uvedeny dříve. Nyní se podívejme na některé matematické hádanky trochu podrobněji. Jakákoli rovnice popsaného typu může být znázorněna vizuálně. Takový vztah, nakreslený jako graf, se nazývá parabola. Jeho různé typy jsou znázorněny na obrázku níže.

Každá parabola má vrchol, tedy bod, ze kterého vycházejí její větve. Pokud a>0, jdou vysoko do nekonečna, a když a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuální reprezentace funkcí pomáhají řešit jakékoli rovnice, včetně kvadratických. Tato metoda se nazývá grafická. A hodnota proměnné x je souřadnice v bodech, kde se čára grafu protíná s 0x. Souřadnice vrcholu lze zjistit pomocí právě daného vzorce x 0 = -b/2a. A dosazením výsledné hodnoty do původní rovnice funkce lze zjistit y 0, tedy druhou souřadnici vrcholu paraboly, která patří k ose pořadnice.

Průsečík větví paraboly s osou úsečky

Existuje spousta příkladů řešení kvadratických rovnic, ale existují i ​​obecné vzorce. Pojďme se na ně podívat. Je jasné, že průsečík grafu s osou 0x pro a>0 je možný pouze v případě, že 0 nabývá záporných hodnot. A pro a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jinak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z grafu paraboly můžete také určit kořeny. Platí to i naopak. Tedy pokud získáte vizuální představu kvadratická funkce Není to snadné, můžete pravou stranu výrazu přirovnat k 0 a vyřešit výslednou rovnici. A když známe průsečíky s osou 0x, je jednodušší sestrojit graf.

Z historie

Pomocí rovnic obsahujících druhou mocninu proměnné se za starých časů nejen matematicky počítalo a určovaly plochy geometrických obrazců. Staří lidé potřebovali takové výpočty pro velké objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako pro vytváření astrologických předpovědí.

Jak moderní vědci naznačují, obyvatelé Babylonu byli mezi prvními, kdo řešili kvadratické rovnice. Stalo se tak čtyři století před naším letopočtem. Jejich výpočty se samozřejmě radikálně lišily od těch, které jsou v současné době přijímány, a ukázalo se, že jsou mnohem primitivnější. Například mezopotámští matematici neměli tušení o existenci záporných čísel. Neznali ani další jemnosti, které zná každý moderní školák.

Možná ještě dříve než vědci z Babylonu začal mudrc z Indie Baudhayama řešit kvadratické rovnice. Stalo se to asi osm století před Kristovou érou. Pravda, rovnice druhého řádu, metody řešení, které uvedl, byly nejjednodušší. Kromě něj se o podobné otázky za starých časů zajímali i čínští matematici. V Evropě se kvadratické rovnice začaly řešit až na počátku 13. století, ale později je ve svých dílech začali používat takoví velcí vědci jako Newton, Descartes a mnozí další.

Prostě. Podle vzorců a jasných, jednoduchých pravidel. V první fázi

je nutné uvést danou rovnici do standardního tvaru, tzn. do formuláře:

Pokud je rovnice již uvedena v této podobě, nemusíte dělat první fázi. Nejdůležitější je udělat to správně

určit všechny koeficienty, A, b A C.

Vzorec pro nalezení kořenů kvadratické rovnice.

Výraz pod kořenovým znakem se nazývá diskriminační . Jak vidíte, abychom našli X, my

používáme pouze a, b a c. Tito. koeficienty od kvadratická rovnice. Jen opatrně vložte

hodnoty a, b a c Počítáme do tohoto vzorce. Nahrazujeme s jejich znamení!

Například, v rovnici:

A =1; b = 3; C = -4.

Dosadíme hodnoty a zapíšeme:

Příklad je téměř vyřešen:

Toto je odpověď.

Nejčastějšími chybami je záměna s hodnotami znaménka a, b A S. Nebo spíše se střídáním

záporné hodnoty do vzorce pro výpočet kořenů. Zde přichází na pomoc podrobný záznam vzorce

s konkrétními čísly. Pokud máte problémy s výpočty, udělejte to!

Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit následující příklad:

Tady A = -6; b = -5; C = -1

Vše popisujeme podrobně, pečlivě, aniž by něco chybělo se všemi znaky a závorkami:

Kvadratické rovnice často vypadají trochu jinak. Například takto:

Nyní si všimněte praktických technik, které dramaticky snižují počet chyb.

První schůzka. Předtím nebuďte líní řešení kvadratické rovnice uvést do standardní podoby.

Co to znamená?

Řekněme, že po všech transformacích dostanete následující rovnici:

Nespěchejte s psaním kořenového vzorce! Téměř jistě si spletete šance a, b a c.

Správně sestavte příklad. Nejprve X na druhou, pak bez čtverce a poté volný člen. Takhle:

Zbavte se mínusu. Jak? Musíme celou rovnici vynásobit -1. Dostaneme:

Nyní si ale můžete klidně zapsat vzorec pro kořeny, vypočítat diskriminant a dořešit příklad.

Rozhodněte se sami. Nyní byste měli mít kořeny 2 a -1.

Recepce druhá. Zkontrolujte kořeny! Podle Vietova věta.

K řešení daných kvadratických rovnic, tzn. pokud koeficient

x 2 +bx+c=0,

Pakx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 =-b

Pro úplnou kvadratickou rovnici, ve které a≠1:

x 2 +bx+C=0,

vyděl celou rovnici tím A:

→ →

Kde x 1 A X 2 - kořeny rovnice.

Recepce třetí. Pokud má vaše rovnice zlomkové koeficienty, zbavte se zlomků! Násobit

rovnice se společným jmenovatelem.

Závěr. Praktické rady:

1. Před řešením uvedeme kvadratickou rovnici do standardního tvaru a sestavíme ji Že jo.

2. Pokud je před druhou mocninou X záporný koeficient, odstraníme jej vynásobením všeho

rovnice o -1.

3. Pokud jsou koeficienty zlomkové, zlomky odstraníme vynásobením celé rovnice odpovídajícím

faktor.

4. Je-li x na druhou čistou, její koeficient je roven jedné, řešení lze snadno zkontrolovat

Kvadratická rovnice - snadné řešení! *Dále jen „KU“. Přátelé, zdálo by se, že v matematice nemůže být nic jednoduššího než řešení takové rovnice. Ale něco mi říkalo, že mnoho lidí s ním má problémy. Rozhodl jsem se zjistit, kolik zobrazení na vyžádání Yandex za měsíc rozdá. Zde je to, co se stalo, podívejte se:

Co to znamená? To znamená, že tyto informace hledá asi 70 000 lidí měsíčně, a to je léto a co se bude dít během školního roku - žádostí bude dvakrát tolik. To není překvapivé, protože tyto informace hledají ti kluci a dívky, kteří již dávno ukončili školu a připravují se na jednotnou státní zkoušku, a také školáci se snaží osvěžit si paměť.

Navzdory skutečnosti, že existuje spousta stránek, které vám poradí, jak tuto rovnici vyřešit, rozhodl jsem se také přispět a materiál zveřejnit. Za prvé chci, aby návštěvníci přišli na můj web na základě tohoto požadavku; za druhé, v dalších článcích, až se objeví téma „KU“, uvedu odkaz na tento článek; za třetí, řeknu vám o jeho řešení trochu více, než je obvykle uvedeno na jiných stránkách. Začněme! Obsah článku:

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru:

kde koeficienty a,ba c jsou libovolná čísla, přičemž a≠0.

V školní kurz materiál je uveden v následující podobě - ​​rovnice jsou podmíněně rozděleny do tří tříd:

1. Mají dva kořeny.

2. *Mít pouze jeden kořen.

3. Nemají kořeny. Zde stojí za zmínku zejména to, že nemají skutečné kořeny

Jak se počítají kořeny? Prostě!

Vypočítáme diskriminant. Pod tímto „strašným“ slovem se skrývá velmi jednoduchý vzorec:

Kořenové vzorce jsou následující:

*Tyto vzorce musíte znát nazpaměť.

Můžete okamžitě napsat a vyřešit:

Příklad:

1. Je-li D > 0, pak má rovnice dva kořeny.

2. Je-li D = 0, pak má rovnice jeden kořen.

3. Pokud D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Podívejme se na rovnici:

V tomto ohledu, když je diskriminant roven nule, školní kurz říká, že se získá jeden odmocnina, zde je roven devíti. Všechno je správně, je to tak, ale...

Tato myšlenka je poněkud nesprávná. Ve skutečnosti existují dva kořeny. Ano, ano, nedivte se, dostanete dva stejné kořeny, a abychom byli matematicky přesní, pak by odpověď měla psát dva kořeny:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. Ve škole si to můžete zapsat a říct, že existuje jeden kořen.

Nyní další příklad:

Jak víme, odmocninu ze záporného čísla nelze vzít, takže v tomto případě neexistuje žádné řešení.

To je celý rozhodovací proces.

Kvadratická funkce.

To ukazuje, jak vypadá řešení geometricky. To je nesmírně důležité pochopit (v budoucnu v jednom z článků podrobně rozebereme řešení kvadratické nerovnosti).

Toto je funkce formuláře:

kde x a y jsou proměnné

a, b, c – daná čísla, kde a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že se ukáže, že řešením kvadratické rovnice s „y“ rovným nule najdeme průsečíky paraboly s osou x. Mohou existovat dva z těchto bodů (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) a žádný (diskriminant je záporný). Podrobnosti o kvadratické funkci Můžete prohlížetčlánek Inny Feldmanové.

Podívejme se na příklady:

Příklad 1: Řešte 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpověď: x 1 = 8 x 2 = –12

*Levou a pravou stranu rovnice bylo možné okamžitě vydělit 2, tedy zjednodušit. Výpočty budou jednodušší.

Příklad 2: Rozhodni se x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Zjistili jsme, že x 1 = 11 a x 2 = 11

V odpovědi je přípustné napsat x = 11.

Odpověď: x = 11

Příklad 3: Rozhodni se x 2 – 8 x + 72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálných číslech neexistuje řešení.

Odpověď: žádné řešení

Diskriminant je záporný. Existuje řešení!

Zde budeme hovořit o řešení rovnice v případě, kdy to dopadne negativní diskriminant. Víte něco o komplexní čísla? Nebudu se zde rozepisovat o tom, proč a kde vznikly a jaká je jejich specifická role a nutnost v matematice, to je téma na velký samostatný článek.

Koncept komplexního čísla.

Trochu teorie.

Komplexní číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b jsou reálná čísla, i je tzv. imaginární jednotka.

a+bi – toto je JEDNO ČÍSLO, nikoli sčítání.

Imaginární jednotka se rovná odmocnině mínus jedna:

Nyní zvažte rovnici:

Získáme dva konjugované kořeny.

Neúplná kvadratická rovnice.

Uvažujme speciální případy, kdy koeficient „b“ nebo „c“ je roven nule (nebo jsou oba rovny nule). Lze je snadno vyřešit bez jakýchkoli diskriminátorů.

Případ 1. Koeficient b = 0.

Rovnice se stává:

Pojďme se transformovat:

Příklad:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Případ 2. Koeficient c = 0.

Rovnice se stává:

Pojďme transformovat a faktorizovat:

*Součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule.

Příklad:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 nebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Případ 3. Koeficienty b = 0 ac = 0.

Zde je jasné, že řešení rovnice bude vždy x = 0.

Užitečné vlastnosti a vzorce koeficientů.

Existují vlastnosti, které umožňují řešit rovnice s velkými koeficienty.

AX 2 + bx+ C=0 platí rovnost

A + b+ c = 0,Že

- pokud pro koeficienty rovnice AX 2 + bx+ C=0 platí rovnost

A+ c =b, Že

Tyto vlastnosti pomáhají řešit určitý typ rovnic.

Příklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Součet kurzů je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, což znamená

Příklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnost platí A+ c =b, Prostředek

Zákonitosti koeficientů.

1. Je-li v rovnici ax 2 + bx + c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 +1) a koeficient „c“ je číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Je-li v rovnici ax 2 – bx + c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 +1) a koeficient „c“ číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Je-li v rov. ax 2 + bx – c = 0 koeficient „b“ se rovná (a 2 – 1) a koeficient „c“ se číselně rovná koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny stejné

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Je-li v rovnici ax 2 – bx – c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 – 1) a koeficient c je číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietova věta.

Vietův teorém je pojmenován po slavném francouzském matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocí Vietovy věty můžeme vyjádřit součet a součin kořenů libovolné KU pomocí jejích koeficientů.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Celkově číslo 14 dává pouze 5 a 9. To jsou kořeny. S určitou dovedností, pomocí předložené věty, můžete okamžitě vyřešit mnoho kvadratických rovnic ústně.

Navíc Vietův teorém. Je výhodné v tom, že po vyřešení kvadratické rovnice obvyklým způsobem (přes diskriminant) lze výsledné kořeny zkontrolovat. Doporučuji to dělat vždy.

ZPŮSOB DOPRAVY

U této metody se koeficient „a“ násobí volným členem, jako by mu byl „hozen“, proto se nazývá "přenosová" metoda. Tato metoda se používá, když lze kořeny rovnice snadno najít pomocí Vietovy věty a hlavně, když je diskriminant přesný čtverec.

Li A± b+c≠ 0, pak se použije technika přenosu, například:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pomocí Vietovy věty v rovnici (2) je snadné určit, že x 1 = 10 x 2 = 1

Výsledné kořeny rovnice je třeba vydělit 2 (protože byly „vyhozeny“ z x 2), dostaneme

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Jaké je zdůvodnění? Podívej, co se děje.

Diskriminanty rovnic (1) a (2) jsou stejné:

Pokud se podíváte na kořeny rovnic, dostanete pouze různé jmenovatele a výsledek závisí přesně na koeficientu x 2:

Druhý (upravený) má kořeny, které jsou 2x větší.

Proto výsledek vydělíme 2.

*Pokud trojici přehodíme, vydělíme výsledek 3 atd.

Odpověď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie a Jednotná státní zkouška.

Krátce vám řeknu o jeho důležitosti – MUSÍTE SE UMĚT ROZHODOVAT rychle a bez přemýšlení, musíte znát vzorce odmocnin a rozlišovačů nazpaměť. Mnoho problémů obsažených v úlohách jednotné státní zkoušky se scvrkává na řešení kvadratické rovnice (včetně geometrických).

Něco, co stojí za zmínku!

1. Forma zápisu rovnice může být „implicitní“. Je například možný následující záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 nebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 nebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte to přinést do standardního formuláře (abyste se při řešení nespletli).

2. Pamatujte, že x je neznámá veličina a lze ji označit libovolným jiným písmenem - t, q, p, h a dalšími.

Kopyevskaya venkovská střední škola

10 způsobů, jak řešit kvadratické rovnice

Vedoucí: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učitel matematiky

vesnice Kopevo, 2007

1. Historie vývoje kvadratických rovnic

1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu

1.2 Jak Diophantus skládal a řešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII století

1.6 O Vietově větě

2. Metody řešení kvadratických rovnic

Závěr

Literatura

1. Historie vývoje kvadratických rovnic

1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu

Potřeba řešit rovnice nejen prvního, ale i druhého stupně již v dávných dobách byla vyvolána nutností řešit problémy související se zjišťováním výměr pozemků a s výkopovými pracemi vojenského charakteru. stejně jako s rozvojem samotné astronomie a matematiky. Kvadratické rovnice mohly být vyřešeny kolem roku 2000 před naším letopočtem. E. Babyloňané.

Pomocí moderní algebraické notace můžeme říci, že v jejich klínopisných textech jsou kromě neúplných například i úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo pro řešení těchto rovnic, stanovené v babylonských textech, se v podstatě shoduje s tím moderním, ale není známo, jak Babyloňané k tomuto pravidlu dospěli. Téměř všechny dosud nalezené klínopisné texty poskytují pouze problémy s řešeními ve formě receptů, bez náznaku, jak byly nalezeny.

I přes vysoká úroveň vývoj algebry v Babylonu, klínové texty postrádají pojem záporného čísla a obecné metodyřešení kvadratických rovnic.

1.2 Jak Diophantus skládal a řešil kvadratické rovnice.

Diophantusova aritmetika neobsahuje systematickou prezentaci algebry, ale obsahuje systematickou řadu problémů doprovázených vysvětleními a řešených konstrukcí rovnic různého stupně.

Při skládání rovnic Diophantus dovedně vybírá neznámé, aby řešení zjednodušil.

Tady je například jeden z jeho úkolů.

Problém 11.„Najděte dvě čísla s vědomím, že jejich součet je 20 a jejich součin je 96“

Diophantus to zdůvodňuje následovně: z podmínek úlohy vyplývá, že požadovaná čísla se nerovnají, protože pokud by se rovnala, jejich součin by nebyl roven 96, ale 100. Jedno z nich tedy bude větší než polovinu jejich součtu, tj. 10 + x, druhý je méně, tzn. 10 let. Rozdíl mezi nimi 2x .

Proto rovnice:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtud x = 2. Jedno z požadovaných čísel se rovná 12 , jiný 8 . Řešení x = -2 neboť Diophantus neexistuje, protože řecká matematika znala pouze kladná čísla.

Pokud tento problém vyřešíme tak, že jedno z požadovaných čísel vybereme jako neznámé, pak dojdeme k řešení rovnice

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

Je zřejmé, že zvolením polovičního rozdílu požadovaných čísel jako neznámého Diophantus řešení zjednodušuje; podaří se mu problém zredukovat na řešení neúplné kvadratické rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Problémy s kvadratickými rovnicemi se nacházejí již v astronomickém pojednání „Aryabhattiam“, sestaveném v roce 499 indickým matematikem a astronomem Aryabhattou. Další indický vědec, Brahmagupta (7. století), nastínil obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukovaných na jedinou kanonickou formu:

ach 2 + b x = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) jsou koeficienty kromě A, může být také negativní. Brahmaguptovo pravidlo je v podstatě stejné jako naše.

Ve starověké Indii byly veřejné soutěže v řešení obtížných problémů běžné. Jedna ze starověkých indických knih říká o takových soutěžích toto: „Jako slunce převyšuje hvězdy svým leskem, tak vzdělaný člověk zastíní slávu druhého v lidová shromáždění, navrhování a řešení algebraických problémů." Problémy byly často prezentovány v poetické formě.

To je jeden z problémů slavného indického matematika 12. století. Bhaskaři.

Problém 13.

"Hejno hravých opic a dvanáct podél vinic...

Úřady se po jídle bavily. Začali skákat, viset...

Jsou na náměstí, část 8. Kolik tam bylo opic?

Na mýtině jsem se bavil. Řekni mi, v tomto balení?

Bhaskarovo řešení naznačuje, že věděl, že kořeny kvadratických rovnic jsou dvouhodnotové (obr. 3).

Rovnice odpovídající problému 13 je:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara pod rouškou píše:

x 2 - 64x = -768

a pro doplnění levé strany této rovnice na čtverec přidá k oběma stranám 32 2 , poté získáte:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi

V algebraickém pojednání al-Khorezmiho je uvedena klasifikace lineárních a kvadratických rovnic. Autor počítá 6 typů rovnic a vyjadřuje je takto:

1) „Čtverce se rovnají odmocninám“, tj. ax 2 + c = b X.

2) „Čtverce se rovnají číslům“, tzn. sekera 2 = c.

3) „Kořeny se rovnají číslu“, tj. ah = s.

4) „Čtverce a čísla se rovnají odmocninám“, tj. ax 2 + c = b X.

5) „Druhy a odmocniny se rovnají číslům“, tzn. ach 2 + bx = s.

6) „Odmocniny a čísla se rovnají čtvercům“, tj. bx + c = ax 2 .

Pro al-Khorezmiho, který se vyvaroval použití záporných čísel, jsou členy každé z těchto rovnic sčítání, nikoli odečitatelné. V tomto případě se zjevně neberou v úvahu rovnice, které nemají kladná řešení. Autor uvádí metody řešení těchto rovnic pomocí technik al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutí se samozřejmě úplně neshodují s našimi. Nemluvě o tom, že je to čistě rétorické, je třeba si uvědomit, že např. při řešení neúplné kvadratické rovnice prvního typu

al-Khorezmi, stejně jako všichni matematici před 17. stoletím, nebere v úvahu nulové řešení, pravděpodobně proto, že ve specifických praktické problémy to je jedno. Při řešení úplných kvadratických rovnic stanoví al-Khorezmi pravidla pro jejich řešení pomocí konkrétních numerických příkladů a poté geometrických důkazů.

Problém 14.„Čtverec a číslo 21 se rovnají 10 odmocninám. Najděte kořen" (implikuje kořen rovnice x 2 + 21 = 10x).

Autorovo řešení zní asi takto: rozdělte počet odmocnin na polovinu, dostanete 5, vynásobte 5 sebou samým, odečtěte 21 od součinu, zbyde 4. Vezměte odmocninu ze 4, dostanete 2. Odečtěte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný kořen. Nebo přidejte 2 k 5, což dává 7, to je také odmocnina.

Pojednání al-Khorezmiho je první knihou, která se k nám dostala a která systematicky uvádí klasifikaci kvadratických rovnic a dává vzorce pro jejich řešení.

1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII bb

Vzorce pro řešení kvadratických rovnic podél linií al-Khwarizmiho v Evropě byly poprvé uvedeny v knize Abacus, kterou v roce 1202 napsal italský matematik Leonardo Fibonacci. Tato objemná práce, která odráží vliv matematiky, jak islámských zemí, tak Starověké Řecko, se vyznačuje úplností a přehledností podání. Autor nezávisle vyvinul některé nové algebraické příkladyřešení problémů a jako první v Evropě zavedl záporná čísla. Jeho kniha přispěla k rozšíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale také v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho problémů z Knihy Abacus bylo použito téměř ve všech evropských učebnicích 16. - 17. století. a částečně XVIII.

Obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukované na jeden kanonický tvar:

x 2 + bx = c,

pro všechny možné kombinace znamének koeficientů b , S byl v Evropě formulován až v roce 1544 M. Stiefelem.

Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice v obecný pohled Viet to má, ale Viet uznával pouze pozitivní kořeny. Italští matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli byli mezi prvními v 16. století. Berou v úvahu kromě pozitivního i negativní kořeny. Teprve v 17. stol. Díky práci Girarda, Descarta, Newtona a dalších vědců dostává metoda řešení kvadratických rovnic moderní podobu.

1.6 O Vietově větě

Větu vyjadřující vztah mezi koeficienty kvadratické rovnice a jejími kořeny, pojmenovanou po Vietovi, formuloval poprvé v roce 1591 takto: „Pokud B + D, násobeno A - A 2 , rovná se BD, Že A rovná se V a rovné D ».

Abychom porozuměli Vietě, měli bychom si to zapamatovat A, jako každé samohláskové písmeno, znamenalo neznámé (naše X), samohlásky V, D- koeficienty pro neznámé. V jazyce moderní algebry výše uvedená formulace Vieta znamená: pokud existuje

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Vyjádřením vztahu mezi kořeny a koeficienty rovnic obecnými vzorci zapsanými pomocí symbolů Viète zavedl jednotnost v metodách řešení rovnic. K symbolice Vietu je však ještě daleko moderní vzhled. Nerozpoznal záporná čísla, a proto při řešení rovnic uvažoval pouze o případech, kdy všechny kořeny byly kladné.

2. Metody řešení kvadratických rovnic

Kvadratické rovnice jsou základem, na kterém spočívá majestátní stavba algebry. Kvadratické rovnice jsou široce používány při řešení goniometrických, exponenciálních, logaritmických, iracionálních a transcendentálních rovnic a nerovnic. Všichni víme, jak řešit kvadratické rovnice od školy (8. třída) až po maturitu.